高麗萍，高建設(shè)，，楊偉偉，劉德平

(1.安陽鑫盛機床股份有限公司，河南安陽455000;2.鄭州大學(xué)機械工程學(xué)院，河南鄭州450001)

對于一般的機械系統(tǒng)，應(yīng)從系統(tǒng)工程學(xué)及工程價值學(xué)的觀點去解決該系統(tǒng)機電及其他物理參數(shù)的協(xié)調(diào)和匹配的分析與綜合問題。研究這種分析與綜合的方法和理論就導(dǎo)致了機電一體化學(xué)科的形成和發(fā)展。機器人系統(tǒng)就是一個極其典型的機電一體化系統(tǒng)，機器人運動學(xué)及動力學(xué)則為這種系統(tǒng)的機電一體化的分析與綜合提供必要的預(yù)備理論知識［1］。作者將機器人運動學(xué)的研究方法運用到加工中心中去。

機器人的運動學(xué)方程是表示機器人操作機或機械手每個桿件在空間相對于絕對坐標(biāo)系或相對于機器人機座坐標(biāo)系的位置及方向的方程［2］。對于加工中心來說，就是把具有相對運動的各個部件看成桿件，用方程來表示銑頭刀尖點相對于機床坐標(biāo)系的位置和方向。

1 加工中心運動學(xué)方程的建立

根據(jù)五軸加工中心的結(jié)構(gòu)特點 (如圖1所示)，建立D-H坐標(biāo)系 (如圖2所示)，求解加工中心的運動學(xué)參數(shù)。圖中，{M}為機床坐標(biāo)系，{W}為旋轉(zhuǎn)工作臺坐標(biāo)系，{T}為刀具坐標(biāo)系，xiyizi為中間坐標(biāo)系，i=1，2，3，4。

圖1 五軸車銑復(fù)合加工中心

圖2 五軸車銑復(fù)合加工中心D-H坐標(biāo)系

D-H變換矩陣［2］為:

設(shè)刀尖點在刀具坐標(biāo)系{T}中的坐標(biāo)為:

設(shè)刀尖點在旋轉(zhuǎn)工作臺坐標(biāo)系 {W}中的坐標(biāo)為:

由坐標(biāo)系尺寸鏈可得:

故運動學(xué)方程為:

2 加工中心運動學(xué)方程的求解

(1)運動學(xué)方程的正解［3］

當(dāng)加工中心操作機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)已確定，并給出各運動關(guān)節(jié)的運動參數(shù)，就可確定加工中心末端執(zhí)行器在機座坐標(biāo)系中所處的位置和姿態(tài)，這就是求解加工中心運動學(xué)的正問題，也稱直接位置求解。

運動學(xué)正問題的求解方法是利用其運動學(xué)方程進(jìn)行坐標(biāo)系的連續(xù)變換，即變換矩陣的連乘，計算出矩陣中每個元素的值，它們就表示了在指定的參考坐標(biāo)系中，加工中心末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)。矩陣是唯一的，因此在驅(qū)動裝置作用下操作機動作時，就給定了一組結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動參數(shù)，加工中心運動學(xué)方程的正解也是唯一的。

(2)運動學(xué)方程的逆解［3］

當(dāng)加工中心末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)給定時，如何求出各關(guān)節(jié)變量，這就是求解加工中心運動學(xué)的逆問題，也稱間接位置求解。根據(jù)式 (6)兩端矩陣元素應(yīng)相等的原理，可得一組多變量的三角函數(shù)方程。求解這些運動參數(shù)，需解一組非線性超越函數(shù)方程。求解方法有3種:代數(shù)法、幾何法和數(shù)值解法。前兩類方法是基于給出封閉解，它們適用于存在封閉逆解的加工中心。關(guān)于加工中心是否存在封閉逆解，對一般具有3～6個關(guān)節(jié)的加工中心，有以下充分條件:①有3個相鄰關(guān)節(jié)軸交于一點;②有3個相鄰關(guān)節(jié)軸相互平行。只要滿足上述一個條件，就存在封閉逆解。如CX五軸車銑復(fù)合加工中心就滿足第二個條件。數(shù)值法由于只給出數(shù)值，無需滿足上述條件，是一種通用的逆問題求解方法，但計算工作量大，目前尚難滿足實時控制的要求。

下面介紹代數(shù)法中的遞推逆變換法。

將一組逆矩陣連續(xù)左乘式 (6)兩端，可得若干矩陣方程，每個矩陣有12個方程式;在這些關(guān)系式中可選擇只包含一個或不多于兩個待求運動參數(shù)的關(guān)系式，然后遞推求解，一般遞推過程不一定全部作完，就可利用等式兩端矩陣中所包含對應(yīng)元素相等的關(guān)系式，求得所需全部待求運動參數(shù)。

等式兩邊對應(yīng)元素分別相等，即:

進(jìn)而得出:

矩陣的最后一列對應(yīng)元素相等，又已知 d2=得出:

3 加工中心的工作空間

加工中心工作空間代表了加工中心的活動范圍，它是衡量加工中心工作能力的一個重要運動學(xué)指標(biāo)。加工中心的工作空間定義為:加工中心正常運行時，末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的原點能在空間活動的最大范圍。這一空間又稱可達(dá)工作空間［4］。目前求解工作空間的方法有很多，這里分別運用蒙特卡洛法和極限邊界數(shù)值搜索法來求解，具體方法如下:

(1)蒙特卡洛法。各關(guān)節(jié)變量在各自范圍內(nèi)隨機取值，代入運動學(xué)方程求出運動學(xué)正解，即得到末端三維坐標(biāo)。

(2)極限邊界數(shù)值搜索法，也稱窮舉法。首先求解運動學(xué)逆解，然后在一定的范圍內(nèi)取樣，通過運動學(xué)逆解來確定各運動學(xué)參數(shù)，再根據(jù)約束條件來判斷是否在工作空間之內(nèi)，由此搜索符合條件的點即構(gòu)成工作空間。

首先運用蒙特卡洛法，具體方法為讓各運動參數(shù)在各自范圍內(nèi)按照一定步長取值，然后求得相應(yīng)的運動方程的正解，也就得到了加工中心末端點的三維坐標(biāo)值，將這些點用圖形表示出來即可得到加工中心的工作空間［5］，如圖3、圖4所示。

圖3 加工中心工作空間云圖(蒙特卡洛法)

圖4 加工中心工作空間截面云圖(蒙特卡洛法)

然后運用極限邊界數(shù)值搜索法求取加工中心工作空間，加工中心運動學(xué)方程的逆解在上一節(jié)中已經(jīng)給出，在加工中心所能達(dá)到的最大范圍內(nèi) (x∈［-1 300，1 300］，y∈ ［-1 300，1 300］，z∈［-100，800］)取樣，通過運動學(xué)逆解來確定各運動學(xué)參數(shù)，再根據(jù)約束條件來判斷是否在工作空間之內(nèi)，符合條件的點構(gòu)成工作空間的點云，如圖5、圖6所示。

圖5 加工中心工作空間云圖(極限邊界數(shù)值搜索法)

圖6 加工中心工作空間截面云圖(極限邊界數(shù)值搜索法)

對比兩種方法所得到的加工中心工作空間點云圖，可以看出:兩種方法所得到的圖形吻合得很好，證明工作空間的求解是正確的。

4 結(jié)論

建立了五軸加工中心的運動學(xué)方程，分析了運動學(xué)方程的正逆解?；谡娼猓謩e利用蒙特卡羅法和窮舉法求出加工中心的工作空間，利用MATLAB編程得出加工中心工作空間云圖。對比兩種方法的結(jié)果，圖形吻合得很好，證明了結(jié)果的正確性，由此可知五軸加工中心的工作空間為近似的八面圓柱體。加工中心的工作空間結(jié)構(gòu)緊湊，沒有空腔和空洞，證明加工中心有較強的靈活性和加工能力。

【1】謝存禧，張鐵.機器人技術(shù)及其應(yīng)用［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2005.

【2】蔡自興.機器人學(xué)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2009.

【3】鄭笑紅，唐道武.工業(yè)機器人技術(shù)及其應(yīng)用［M］.北京:煤炭工業(yè)出版社，2004.

【4】金振林，王軍，高峰.新型6-PSS并聯(lián)機器人工作空間分析［J］.中國機械工程，2002，13(13):1088-1090.

【5】張志涌.精通MATLAB 6.5版教程［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2003.