周文俊，吳 熙 ，施偉成

(1.鎮(zhèn)江供電公司調(diào)度控制中心，江蘇鎮(zhèn)江212000；2.東南大學電氣工程學院，江蘇南京210096)

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化是保證系統(tǒng)安全經(jīng)濟運行的有效手段，是提高電力系統(tǒng)電壓質(zhì)量的重要措施之一。所謂無功優(yōu)化，就是指在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及負荷情況給定、無功電源較為充裕的情況下，通過調(diào)節(jié)發(fā)電機機端電壓或出力、調(diào)整變壓器抽頭變比、改變無功補償裝置的出力等措施來調(diào)整無功潮流，在滿足所有指定約束條件的前提下，使系統(tǒng)的某一個或多個性能指標達到最優(yōu)時的無功調(diào)節(jié)手段。通過無功優(yōu)化不僅使全網(wǎng)電壓在額定值附近運行，且能取得可觀的經(jīng)濟效益，使電能質(zhì)量、系統(tǒng)運行的安全性和經(jīng)濟性完美的結(jié)合在一起，因而無功優(yōu)化的前景十分廣闊[1-3]。

1數(shù)學模型

1.1無功優(yōu)化模型

無功優(yōu)化通常的數(shù)學描述為：

式（1）中：u為控制變量，是人為可調(diào)節(jié)的變量，通?？扇“l(fā)電機端電壓、可調(diào)變壓器的抽頭位置和節(jié)點裝設(shè)無功補償設(shè)備的補償容量；x為狀態(tài)變量，包括除發(fā)電機節(jié)點和平衡節(jié)點外所有節(jié)點的電壓、發(fā)電機無功出力和線路無功功率；f（u，x）為無功優(yōu)化的目標函數(shù)，本文取最小網(wǎng)損；h（u，x）為等式約束條件，即節(jié)點潮流方程；g（u，x）為控制變量與狀態(tài)變量須滿足的約束條件。

1.2算例模型及控制變量

本文以IEEE30節(jié)點標準系統(tǒng)為例進行研究，IEEE30節(jié)點標準測試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，含6臺發(fā)電機和4臺可調(diào)變壓器；2個無功補償節(jié)點。取節(jié)點l為系統(tǒng)平衡節(jié)點，節(jié)點10，24安裝無功補償設(shè)備，每組并聯(lián)補償裝置中有電容器2 Mvar×16組，電抗器為-2Mvar×8 組;支路 4-12，6-9，6-10，28-27為有載可調(diào)變壓器支路，變壓器最大變比1.1，最小0.9，分接頭數(shù)目為16個?？刂谱兞繉?yīng)為發(fā)電機的機端電壓、4臺可調(diào)變壓器的變比K及2臺無功裝置的補償電納值。狀態(tài)變量x則為發(fā)電機的無功出力和所有PQ節(jié)點電壓。

圖1待研系統(tǒng)

2基于序列二次規(guī)劃的非線性規(guī)劃法

二次規(guī)劃法將目標函數(shù)作為二階泰勒級數(shù)展開，把非線性約束轉(zhuǎn)化為一系列線性約束，構(gòu)成二次規(guī)劃優(yōu)化模型，從而通過多次二次規(guī)劃來逼近最優(yōu)解[4]。即：

在matlab中，可用fmincon函數(shù)求多變量有約束非線性函數(shù)的最小值。fmincon運行時首先檢查有無梯度表達提供，如有則選擇大規(guī)模算法，如果沒有梯度表達式提供，fmincon選擇序列二次規(guī)劃（SQP）算法。需要

式（3）中：fmax為上代群體最優(yōu)適應(yīng)值；favr為上代群體平均適應(yīng)值；fc為要交叉的兩串中較大適應(yīng)值。指出的是，該算法僅能用于控制變量為連續(xù)變量的優(yōu)化，優(yōu)化的最后結(jié)果必須進行離散化。二次規(guī)劃法計算結(jié)果統(tǒng)計如表1所示，計算得到有功網(wǎng)損最小值為1.980 8 p.u.。在此取進行離散化后的最小有功網(wǎng)損1.982 6 p.u.。

表1二次規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果

3改進遺傳算法

遺傳算法是由美國學者Holland提出的一種基于達爾文生物進化論及門德爾基因遺傳理論的仿生學概率性迭代搜索算法，同時也是一種組合優(yōu)化算法。其最大特點就是不依賴函數(shù)性質(zhì)，對函數(shù)是否連續(xù)，是否能求二階導數(shù)沒有要求，非常適合求解非線性規(guī)劃問題。該方法主要包括編碼、控制參數(shù)、適應(yīng)值函數(shù)、遺傳算子（交叉及變異）、選擇及終止條件。 遺傳算法雖在復(fù)雜的工程優(yōu)化問題中得到了廣泛應(yīng)用[2，5，6]，但由于算法隨機搜索而帶來的算法收斂速度慢及計算穩(wěn)定性差已成為其應(yīng)用的最大阻礙。為了改善算法的性能，已對其進行了大量研究，提出了不少改進方法。為了彌補遺傳算法在工程應(yīng)用上的不足，本文針對無功優(yōu)化問題采用了一種改進的遺傳算法。

3.1混合編碼方式

IEEE30節(jié)點系統(tǒng)總共有12個控制量，其中包括6個連續(xù)可調(diào)的發(fā)電機端電壓，2個離散可調(diào)的無功補償和4個離散可調(diào)的變壓器變比。發(fā)電機端電壓采用實數(shù)編碼，直接表示機端電壓；其他兩種離散變量采用整數(shù)編碼，通過對定義數(shù)組的搜索得到其對應(yīng)實際值。

3.2優(yōu)選父代自適應(yīng)交叉操作

借助優(yōu)生學原理，該操作在進行交叉操作時，提高被交叉父代個體的質(zhì)量，以期望產(chǎn)生高質(zhì)量的子代。具體操作是從上代群體中隨機選擇2個個體，保留適應(yīng)值大的個體(如二者適應(yīng)值相同，則隨機保留一個)，再進行一次上述兩兩優(yōu)選操作。對保留下來的2個個體進行交叉。為了保證交叉質(zhì)量，交叉概率采用自適應(yīng)方式產(chǎn)生，即交叉概率由進化程度來控制。自適應(yīng)交叉概率為：

3.3非一致自適應(yīng)變異操作

變異算子保證算法能搜索到解空間中的每一點，使算法具有全局收斂性。使用實數(shù)編碼時，變異算子不再像二進制編碼時僅是簡單的恢復(fù)群體的多樣性，它已成了一個重要的搜索算子。變異對經(jīng)過優(yōu)選交叉的個體進行，具體采用實數(shù)編碼的非一致變異方式。該算子的結(jié)果同進化代數(shù)密切相關(guān)，使得在進化初期，變異范圍相對較大，而隨著進化代數(shù)的推進,變異范圍越來越小，起一種對進化系統(tǒng)微調(diào)的作用。

3.4產(chǎn)生新種群

將原種群和雜交變異生成的新種群依照網(wǎng)損最小原則進行排序，并去處相同的個體?？紤]到目標函數(shù)計算時，加入了罰函數(shù)，單純依照網(wǎng)損最小原則選擇前30%的個體會照成種群多樣性的下降，出現(xiàn)“早熟”。而且對于狀態(tài)量越界的個體，某幾位變異后可能得到更優(yōu)解，所以不能單純的排除這些越界個體。為了解決這個問題，采用了保留網(wǎng)損最小的個體 （也就是最優(yōu)個體），對其他個體采用平均概率法選擇出其中的剩余新父代個體的方法。這樣既保證了遺傳算法的收斂性，也盡可能的保證了父代種群的多樣性，有利于避免過早收斂的問題。初始種群為30個個體，交雜生成40個新個體，變異生成60個新個體，將這130個個體放在匹配池。首先保留最優(yōu)個體，再在剩下的個體中選擇出另外29個個體作為新的父代。最大迭代次數(shù)為100次，當十次迭代最優(yōu)值不變時，則認為計算收斂，輸出最優(yōu)個體的控制參數(shù)和網(wǎng)損。改進遺傳算法流程圖如圖2所示。改進遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計如表2所示。

圖2改進遺傳算法流程圖

表2改進遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

4改進粒子群算法

粒子群算法[7-9]是1995年由美國社會心理學家James Kennedy和電氣工程師Russell Eberhart共同提出，其基本思想是受他們早期對鳥類群體行為研究結(jié)果的啟發(fā)，并利用生物學家Frank Heppner的生物群體模型。粒子群算法與其他進化類算法相類似，也采用“群體”與“進化”的概念，同樣也是依據(jù)個體（粒子）的適應(yīng)值大小進行操作。所不同的是粒子群算法不像其他進化算法那樣對于個體使用進化算子，而是將每個個體看作是在n維搜索空間中的一個沒有重量和體積的粒子，并在搜索空間中以一定的速度飛行。該飛行速度由個體的飛行經(jīng)驗和群體的飛行經(jīng)驗進行動態(tài)調(diào)整。 設(shè) Xi=（xi1，xi2，…，xin）為粒子 i的當前位置；Vi=（vi1，vi2，…，vin）為粒子 i的當前飛行速度；Pi=（pi1，pi2，…，pin）為粒子 i所經(jīng)歷的最好位置，也就是粒子i所經(jīng)歷過的具有最好適應(yīng)值的位置，稱為個體最好位置。對于最小化問題，目標函數(shù)值越小，對應(yīng)的適應(yīng)值越好。Pg為所有粒子經(jīng)過的最好位置?；玖Ｗ尤核惴ǖ倪M化方程可描述為：式（4）中：下標“j”為粒子的第 j維；“i” 為粒子 i；t為第t代；c1，c2為加速常數(shù)， 通常在 0～2 間取值；r1，r2為 2個相互獨立的0到1之間的隨機數(shù)。為了減少在進化過程中，粒子離開搜索空間的可能性，vij通常限定于一定范圍內(nèi)。

對于不同的問題，如何確定局部搜索能力與全局搜索能力的比例關(guān)系，對于其求解過程非常重要。甚至對于同一個問題而言，進化過程中也要求不同的比例。為此，Yuhui Shi 1998年提出了帶有慣性權(quán)重的改進粒子群算法[8，9]。 其進化方程為：

進化過程中動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重以平衡收斂的全局性和收斂速度：

其中，MaxNumber為最大截止代數(shù)。這樣，將慣性權(quán)重看作迭代次數(shù)的函數(shù)，可從0.9到0.4線性減少。改進粒子群算法的流程如圖3所示。其計算結(jié)果統(tǒng)計如表3所示，且結(jié)果表明粒子群法收斂速度快，收斂點相對穩(wěn)定，較其他算法表現(xiàn)出更多的優(yōu)良特性。

圖3改進粒子群算法流程圖

表3改進粒子群算法優(yōu)化結(jié)果

5算法比較

各種不同算法的結(jié)果匯總?cè)绫?所示。

表4優(yōu)化結(jié)果匯總

通過以上結(jié)果來看，序列二次規(guī)劃法、和粒子群算法所得的結(jié)果最優(yōu)，在同時處理連續(xù)變量的情況下，PSO算法的平均值沒有二次規(guī)劃法好，但最優(yōu)值比二次規(guī)劃法略好。由于實際的電力系統(tǒng)中無功補償容量和變壓器變比是離散變量，因此將所得結(jié)果離散化后再和直接處理離散變量的PSO算法相比較，發(fā)現(xiàn)PSO算法更優(yōu)。PSO算法也存在一些弱勢，比如算法還不夠穩(wěn)定，不是每次所得結(jié)果都能收斂到一個點，但總體來每次結(jié)果相差很小。二次規(guī)劃法是傳統(tǒng)優(yōu)化方法，具有穩(wěn)定性好，局部尋優(yōu)能力強的等特點，而粒子群法屬于現(xiàn)代算法，具有對目標函數(shù)要求低，能可靠地收斂到較優(yōu)解等特點。

遺傳算法和粒子群法同屬進化算法，但PSO算法在進化過程中同時保留和利用位置與速度 （即位置的變化程度）信息，而遺傳算法僅保留和利用位置的信息。 如果將 xij（t+1）=xij（t）+vij（t+1）看作一個變異，則PSO算法與進化規(guī)劃很相似。所不同之處在于，在每一代，PSO算法中的每個粒子只朝一些根據(jù)群體的經(jīng)驗認為是好的方向飛行，而在進化規(guī)劃中可通過一個隨機函數(shù)變異到任何方向。也就是說，PSO算法執(zhí)行一種有“意識”的變異。從理論上講，進化規(guī)劃具有更多的機會在優(yōu)化點附近開發(fā)，而PSO則有更多的機會更快地飛到更好解的區(qū)域，如果“意識”能提供有用的信息。

總體來說，從理論上講粒子群算法比遺傳算法要表現(xiàn)出更多的優(yōu)良特性，但在優(yōu)化領(lǐng)域中，有一個值得一提的著名理論，“No Free Lunch Theorems for Optimization”，即無免費午餐定理。在這2種算法的比較中也有所體現(xiàn)，PSO算法雖然能得到較好的結(jié)果，全局搜索能力強，但其局部搜索能力就相對較差，若用兩次最優(yōu)解不變作為算法的收斂條件，很容易就會返回一個較差的解，因為在搜索到較好解區(qū)域后，其局部搜索能力較差，往往會連續(xù)幾次都不能找到更好的解，但遺傳算法的局部搜索性能就相對較好，往往能很快在小區(qū)域內(nèi)搜索到最優(yōu)解，不過遺傳算法往往更容易陷入局部最優(yōu)解，因為其變異是沒有方向的，尋到更好解區(qū)域的概率較小。另外，對于這2種算法本身，無免費午餐定理也有一定體現(xiàn)，首先看遺傳算法，在遺傳算法中，父代基因的保留個數(shù)和變異雜交概率率是此算法中最重要的兩個量，父代基因保留得越全變異雜交率越小，則越容易收斂到局部最優(yōu)解。反之則越難收斂，最極限的情況就是將變異概率置為無窮，不保留父代基因，則該算法就等同于隨機搜索。粒子群算法也一樣慣性權(quán)重取得越大，則越容易搜索到全局最優(yōu)解，搜索速度最慢，反之取得越小，局部搜索能力越強，越容易收斂。理論上可以通過調(diào)節(jié)速度因子來使PSO算法的搜索能力更強，但這種調(diào)節(jié)是非常難做到的，目前位置并沒有統(tǒng)一的調(diào)節(jié)方案，Yuhui Shi的調(diào)節(jié)方法也僅僅是一種指導性的方案，對于不同的對象，慣性權(quán)重的取法是很有講究的，因為很難確定是否已經(jīng)進入了全局最優(yōu)解區(qū)域，若過早將慣性權(quán)重調(diào)小，則容易收斂到局部解，若慣性權(quán)重過大，則粒子每次位置變動過大，不但局部搜索能力變差，還很容易越界。

6結(jié)束語

本文分析了3種常用的優(yōu)化方法在解決電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題時的優(yōu)劣性。結(jié)果表明序列二次規(guī)劃法屬于傳統(tǒng)算法，收斂性和穩(wěn)定性非常好，每次都收斂到同一個點，且速度較快。遺傳算法和粒子群算法屬于現(xiàn)代搜索算法，對原函數(shù)要求低，搜索能力強，但穩(wěn)定性和速度不如序列二次規(guī)劃法。遺傳算法比粒子群算法的局部收斂能力強，但更容易收斂到局部最優(yōu)解，而粒子群全局搜索能力強，但局部搜索能力不如遺傳算法。總體來說，這3種算法中粒子群算法最優(yōu)，它能處理離散變量，計算速度較快，并且優(yōu)化所得到的結(jié)果最好。

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