彭 煜，高 洪，陳 嘯，蔣 璇，胡如方

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基于正位移解的DELTA機(jī)器人工作空間分析

彭 煜，*高 洪，陳 嘯，蔣 璇，胡如方

（安徽工程大學(xué)先進(jìn)數(shù)控與伺服驅(qū)動技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽，蕪湖 241000）

針對DELTA并聯(lián)機(jī)器人，基于空間機(jī)構(gòu)學(xué)理論和矢量法，建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位移模型，給出其正、逆向位移解數(shù)值求取方法，提出基于正位移解的工作空間分析方法，采用MATLAB軟件進(jìn)行了仿真，為DELTA機(jī)器人的軌跡規(guī)劃奠定了良好的基礎(chǔ)。

DELTA機(jī)器人；位移模型；正位移解；逆位移解；工作空間

0 引言

Clavel教授于1985年提出的空間三自由度DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)，是目前設(shè)計(jì)最成功、應(yīng)用最廣泛的并聯(lián)機(jī)構(gòu)之一[1-4]。其運(yùn)動簡圖如圖1所示，由靜平臺（上部平臺）、動平臺（下部平臺）、三根主動桿（驅(qū)動桿）、三個(gè)從動支鏈（平行四邊形閉環(huán)）組成，基座靜平臺通過三條相同的運(yùn)動鏈分別連接動平臺的三邊來傳遞運(yùn)動，每條運(yùn)動鏈由一根驅(qū)動桿和一個(gè)由四個(gè)球鉸和桿件組成的平行四邊形閉環(huán)組成，驅(qū)動桿與平行四邊形閉環(huán)通過轉(zhuǎn)動副連接，三組平行四邊形閉環(huán)機(jī)構(gòu)保證了靜平臺與動平臺的平行關(guān)系，使動平臺不能繞任何軸旋轉(zhuǎn)，只保留了平動功能。根據(jù)空間機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算通式可得DELTA型機(jī)器人具有三個(gè)自度，簡單緊湊的結(jié)構(gòu)賦予其良好的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)特性。

針對DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)，趙杰教授運(yùn)用空間幾何學(xué)方法給出了其運(yùn)動學(xué)正解[1]；C. Szep等采用基于逆解的數(shù)值方法，研究了其定姿態(tài)的位置空間[3]。本文則基于空間機(jī)構(gòu)學(xué)理論[5]推導(dǎo)DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)空間運(yùn)動位移方程，又運(yùn)用Matlab軟件編程[6]，實(shí)現(xiàn)其正、逆向位移解求取的程序化，然后，基于正位移解確定DELTA型機(jī)器人的工作空間，最后，對所求工作空間中任意點(diǎn)進(jìn)行了逆解程序驗(yàn)證。

圖1 DELTA機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖

1 DELTA機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型

1.1 DELTA機(jī)器人的位移方程

為方便求取靜、動平臺位置關(guān)系，將機(jī)構(gòu)簡化，在平行四邊形閉環(huán)上下兩邊的中點(diǎn)之間，加入三根虛擬連桿，由于動平臺只有平移運(yùn)動沒有轉(zhuǎn)動，即 相對于靜平臺的姿態(tài)固定，所以機(jī)構(gòu)中各支鏈的平行四邊形閉環(huán)不會發(fā)生扭曲。在這種情況下，平行四邊形左右兩邊的運(yùn)動，可以用其上下兩中點(diǎn)連線的運(yùn)動代替，簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 簡化后的DELTA機(jī)構(gòu)

圖3 靜、動平臺坐標(biāo)系

在簡化后的模型基礎(chǔ)上，建立靜、動平臺坐標(biāo)系，如圖3所示，以靜平臺中心O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立靜坐標(biāo)系O-XYZ，動平臺中心O￠點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立動坐標(biāo)系O￠-X￠Y￠Z￠，AiBi(i=1, 2, 3)為三根驅(qū)動桿，長度為L1；BiCi(i=1, 2, 3)為三根從動桿，長度為L2；qi(i=1, 2, 3)為三根驅(qū)動桿相對于靜平臺的張角；OX與O￠X￠分別垂直于OA3和O￠C3, 靜平臺上OAi與X軸的夾角為hi(i=1, 2, 3)，如圖4所示。

圖4 靜平臺X-Y坐標(biāo)系

確定靜、動平臺的結(jié)構(gòu)參數(shù)，令|OAi|=R,|O￠Ci|=r, 則Ai點(diǎn)在靜平臺坐標(biāo)系O-XYZ中的位置矢量和Ci點(diǎn)在動平臺坐標(biāo)系O￠-X￠Y￠Z￠中的位置矢量分別為：

其中，h1=p/6,h2=5p/6,h3=3p/2;

利用幾何關(guān)系，將Bi點(diǎn)的位置矢量在靜平臺坐標(biāo)系O-XYZ中表示出來，

假設(shè)矢量OO￠在坐標(biāo)系O-XYZ中的表示為O￠o=[]T，則矢量OCi可以表示為：

圖5 矢量圖

如圖5，很容易得到矢量關(guān)系式CiBi+BiO=CiO，其中BiO和CiO已知，得

利用|CiBi|=L2, 可得：

式(1)即為將DELTA機(jī)構(gòu)驅(qū)動桿相對靜平臺張角（輸入量）與動平臺中心點(diǎn)位置（輸出量）相關(guān)聯(lián)的位移方程。

1.2 DELTA機(jī)器人逆位移解

運(yùn)動學(xué)逆位移解即已知機(jī)構(gòu)的輸出參數(shù)，求機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)；對于DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)，即給出結(jié)構(gòu)參數(shù)R, r, L1, L2,hi和位置參數(shù)x, y, z,求驅(qū)動桿相對于靜平臺的輸入角。

在(1)式中，令g=tan(/2)，由萬能代換得：

(2)式中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，系數(shù)Di，Ei，F(xiàn)i均為由結(jié)構(gòu)參數(shù)R, r, L1, L2,hi和位置參數(shù)x, y, z構(gòu)成的已知量，用通式解此一元二次方程，得：

當(dāng)已知結(jié)構(gòu)參數(shù)R, r, L1, L2,hi和位置參數(shù)x, y, z時(shí)基于式（1）、（2）及（3）利用Matlab編程，不難求出，這里不作贅述。

1.3 DELTA機(jī)器人的正位移解

運(yùn)動學(xué)正位移解即已知機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)，求機(jī)構(gòu)的輸出參數(shù)。在已知輸入?yún)?shù)q1,q2,q3的情況下，可將運(yùn)動學(xué)位移方程（1）整理成非線性方程組：

為求解式（4）的非線性方程組，定義目標(biāo)函數(shù)：

(x, y, z)= F(x, y, z)TF(x, y, z) (5)

其中：

F(x, y, z)=[f1(x, y, z) f2(x, y, z) f3(x, y, z)]T(6)

則求非線性方程組（3）解的問題等價(jià)于求目標(biāo)函數(shù)(x, y, z)的極小值問題。

2 基于正位移解的工作空間分析方法及其軟件實(shí)現(xiàn)

機(jī)器人的工作空間是指末端執(zhí)行器上某點(diǎn)（一般取中心點(diǎn)）在空間所能達(dá)到的位置的集合，它是衡量機(jī)器人工作特性的重要指標(biāo)之一，使用者要求機(jī)器人能夾持工具或工件到達(dá)一系列位置，因而研究機(jī)器人的工作空間可以判斷其是否滿足工況要求，完成規(guī)定任務(wù)。

影響工作空間的因素有很多，例如：(1)桿長的限制：當(dāng)連桿長度到達(dá)運(yùn)動極限時(shí)，工作空間的邊界點(diǎn)也就確定了；(2)運(yùn)動副轉(zhuǎn)角的限制：各運(yùn)動副受結(jié)構(gòu)尺寸影響，運(yùn)動角度和范圍有限；(3)連桿的干涉：各桿在運(yùn)動過程中有可能發(fā)生干涉，應(yīng)避免。

確定機(jī)器人的工作空間，即在多個(gè)變量受限制的情況下，例如機(jī)構(gòu)尺寸受限、運(yùn)動副運(yùn)動范圍受限等，求解動平臺所能到達(dá)的位置集合。DELTA型機(jī)器人的結(jié)構(gòu)相對簡單，其輸入?yún)?shù)為驅(qū)動桿相對靜平臺的張角qi(i=1, 2, 3), 同時(shí)動平臺只作X, Y, Z三個(gè)方向的平移，其姿態(tài)角不變，因此對于DELTA機(jī)器人而言，是分析單一姿態(tài)下機(jī)構(gòu)的工作空間。此外，式(1)是基于矢量法的運(yùn)動學(xué)位移方程，式中已經(jīng)包含了DELTA機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)、動平臺位置參數(shù)和驅(qū)動桿輸入角度之間的關(guān)系；只要給定合理的輸入角并正確地求解方程，就能得到有效的動平臺位置參數(shù)，而所有這些可達(dá)位置點(diǎn)的集合就是DELTA機(jī)器人的工作空間。

綜上所述，基于運(yùn)動學(xué)正位移解方程，從輸入角度受限這一角度入手，通過代入合理輸入角度求解其工作空間；每給定一組輸入角度q1,q2,q3可得到一組位置正解，若能給定所有運(yùn)動副允許范圍內(nèi)的輸入角度，得到的正解的集合即為機(jī)器人的工作空間。令輸入角度的范圍為qmin到qmax，為了使qi能取到所有輸入角度，采用蒙塔卡洛法，取qi為qmin到qmax之間的隨機(jī)數(shù)，在Matlab中用rand函數(shù)實(shí)現(xiàn)，生成輸入量的隨機(jī)數(shù)：

當(dāng)K足夠大，通過(7)式可以使q1,q2,q3取到qmin到qmax范圍內(nèi)的所有值，且此處rand生成的是0~1之間的K個(gè)隨機(jī)數(shù)，q1,q2,q3取值時(shí)得到的隨機(jī)數(shù)分布是不同的，可以保證q1,q2,q3之間各種角度的排列組合。因此，當(dāng)K取值較大時(shí)，基于正位移解，將輸入量qi代入方程組(4)，定義,,三個(gè)變量，利用Matlab庫函數(shù)lsqnonlin求解，由于輸入量qi有K組，求解的正位移解也有K組，再通過庫函數(shù)scatter3將K組結(jié)果用點(diǎn)集的形式繪制在三維坐標(biāo)系內(nèi)，就可以準(zhǔn)確地表達(dá)DELTA機(jī)器人的工作空間。

3 仿真與分析

工作空間仿真算例：

給定一組DELTA型機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)：靜平臺R = 200 mm，動平臺r = 40 mm，驅(qū)動桿L1= 600 mm，從動支鏈L2= 800 mm；輸入量qi的范圍定為0°~150°，變量取2000組采樣點(diǎn)；運(yùn)用Matlab編程，生成可視化的工作空間仿真圖形：

通過生成的仿真圖形可以看到，工作空間以z=0為界，分成上下兩部分；由給定的DELTA機(jī)器人結(jié)構(gòu)分析可知，當(dāng)輸入角q1,q2,q3同時(shí)大于90°時(shí)，工作空間中會出現(xiàn)z>0的點(diǎn)，因此實(shí)際工作中qi不能同時(shí)超過90°；此外，工作空間中z30的點(diǎn)由于DELTA的裝配模式?jīng)Q定是不可達(dá)的。

綜上所述，在給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸入角度范圍下，DELTA機(jī)器人的工作空間分布在靜平臺以下，呈現(xiàn)半球型分布，且隨著輸入量采樣點(diǎn)的增加，半球呈現(xiàn)實(shí)體化;本文同時(shí)給出了求解DELTA機(jī)器人的正解和逆解方法，工作空間是基于正解得到的，若在工作空間中任取一點(diǎn)代入逆解計(jì)算公式中，求出的相應(yīng)輸入角都在給定的輸入角范圍內(nèi)，則說明基于正解的工作空間分析方法是有效的。

現(xiàn)從工作空間中任取兩點(diǎn)為例，(x1, y1, z1)T= (200, 200, -400)T和(x2, y2, z2)T= (-300, -300, -750)T分別代入逆解公式計(jì)算，得到結(jié)果分別為q1=2.052rad,q2=1.026rad,q3=0.761rad和q1=0.342rad ,q2=0.979rad,q3=1.313rad，換算為角度值后均在0°~150°范圍內(nèi)，驗(yàn)證了基于正解的工作空間分析方法的合理性，說明DELTA機(jī)器人在其結(jié)構(gòu)尺寸內(nèi)，具有較大的工作空間，能夠完成生產(chǎn)裝配線上的多種分揀、搬運(yùn)等任務(wù)，是一種實(shí)用的工業(yè)機(jī)器人。

4 結(jié)論

（1）基于空間機(jī)構(gòu)學(xué)理論，建立了DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)空間位移模型；

（2）在DELTA并聯(lián)機(jī)構(gòu)正位移解求取時(shí)，將非線性方程組求解問題化歸為最小平方和問題，使用數(shù)值方法在Matlab軟件中編程求解，得到了符合工程實(shí)際的位置解。

（3）通過逆解驗(yàn)證了基于正解的工作空間分析方法的有效性、合理性。

[1] 趙杰.朱延河.蔡鶴皋. Delta型并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)正解幾何解法[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003, 35(1): 25-27.

[2] 馬曉麗.陳艾華.張雪蓮.等. 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的創(chuàng)新與應(yīng)用研究進(jìn)展[J]. 機(jī)床與液壓,2007, 35(2): 235-243.

[3] Szep C , Stan S D, Csibi V . Design, workspace analysis and inverse kinematics problem of Delta parallel robot [J]. MECHANIKA, 2011,17(3): 296-299.

[4] 畢樹生.宗光華. Delta 并聯(lián)微操作手運(yùn)動學(xué)的矢量法分析[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2003, 29(4): 339-341.

[5] 黃真.趙永生.趙鐵石. 高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[6] 劉正君. MATLAB科學(xué)計(jì)算與可視化仿真寶典[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社,2009.

Workspace Analysis of DELTA Robot Based on Forward Solution

PENG Yu, *GAO Hong, CHEN Xiao, JIANG Xuan, HU Ru Fang

(Anhui Polytechnic University, Anhui Key Laboratory of Advanced Numerical Control & Servo Technology, Wuhu, Anhui 241000, China)

A parallel mechanism displacement model based on the space agency theory and vector method was built up for the DELTA parallel robot. The numerical solution method of its forward and inverse solutions was investigated and provided the workspace analysis method based on the forward solution. The workspace was simulated by the MATLAB program. The research provides a foundation of trajectory planning of the DELTA robot.

DELTA robot; displacement model; forward solution; inverse solution; workspace

1674-8085(2013)05-0060-05

TP242

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.05.014

2013-01-24；

2013-04-16

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(090414172）

彭 煜(1989-），男，安徽合肥人，碩士生，主要從事數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造研究(E-mail：398818321@qq.com);

*高 洪(1963-)，男，安徽樅陽人，教授，博士，碩導(dǎo)，主要從事現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與CAD等研究(E-mail：gaohong0706@sina.com);

陳 嘯(1986-），男，安徽安慶人，碩士生，主要從事汽車數(shù)字設(shè)計(jì)與制造研究(E-mail：stevenchan219@foxmail.com);

蔣 璇(1986-），女，安徽馬鞍山人，碩士生，主要從事數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造研究(E-mail:491054460@qq.com);

胡如方(1986-），女，山東菏澤人，碩士生，主要從事數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造研究(E-mail:1415602593@qq.com).