唐 斌 陳客松 楊曉波

（1.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都610054；2.成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空電子工程系，四川 成都610100）

引 言

圓口徑天線陣能在360°范圍形成任意方向的波束，所以在諸如艦船、飛機等運動載體上和地面雷達系統(tǒng)中都具有重要的應(yīng)用［1-2］.當(dāng)陣列口徑較大時，半徑間隔半波長的均勻同心圓環(huán)平面陣需要相當(dāng)多的陣元，這使得天線系統(tǒng)的成本較高［3］.為保證高的空間分辨率，低的副瓣特性等性能，同時又盡量降低天線系統(tǒng)的成本，可采用稀布天線陣元位置的方法來設(shè)計圓口徑天線陣列，以提高性價比.

優(yōu)化設(shè)計稀布天線陣列是復(fù)雜的非線性優(yōu)化過程［4］，一種方案是對均勻間隔陣列進行稀疏化設(shè)計，可獲得稀疏陣列［5］；另一種方案是陣元隨機稀布，約束相鄰陣元間距不小于半波長，以減小陣元間的互耦和消除柵瓣，后一種方案可使陣元在優(yōu)化布陣過程中有更大的自由度，因而可獲得比稀疏陣列更優(yōu)的性能［6-7］，文獻［8-10］中稱它為稀布陣列 .近年來，隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，研究高效的稀布陣列的設(shè)計方法正逐漸受到重視［9-16］.對圓口徑天線陣列，國內(nèi)外研究者已經(jīng)展開了稀疏化的設(shè)計方法研究［10-12，16］，但對更復(fù)雜的稀布優(yōu)化設(shè)計的方法研究還未見報道，本文研究約束口徑、陣元數(shù)和最小陣元間距的圓口徑陣列的稀布優(yōu)化設(shè)計方法.

由于非均勻圓形陣的歸一化方向圖的數(shù)學(xué)表達式無法用像線陣一樣的解析式來表示，要導(dǎo)出波束寬度、旁瓣電平等與陣元數(shù)、陣半徑的關(guān)系是非常困難的，只能用數(shù)學(xué)仿真的方法來論證試驗［2］.對于多約束的“稀布”圓口徑平面陣綜合問題，至今國內(nèi)外還沒有文獻報道過基于遺傳算法的實現(xiàn)，這是因為遺傳算法應(yīng)用于多約束最優(yōu)化問題時會遇到諸如怎樣找到可行解，如何避免不可行解在遺傳操作后的子代中出現(xiàn)，以及計算量大等不少實際的困難［10］，本文將它作為研究主題來討論.

1 稀布圓口徑陣列多約束綜合

遺傳算法是一種全局性概率搜索算法，其基本思想是模擬生物進化過程，目前已經(jīng)應(yīng)用于大量復(fù)雜的最優(yōu)化問題中.由于遺傳算法的普遍適用性，它在陣列天線設(shè)計等電磁學(xué)問題中正廣泛地應(yīng)用著［10-12］，它可以求解非線性優(yōu)化，所以適合于求解圓口徑陣列的稀布優(yōu)化問題.

1.1 優(yōu)化問題的描述

不妨設(shè)優(yōu)化布陣問題為如圖1所示的半徑為R的圓口徑平面陣，平面xoy上，陣元位置用極坐標(biāo)表示為dn＝rnejφn，陣元數(shù)為 N＋1（N 為正整數(shù)，1表示口徑心處始終布置一個陣元），所有陣元相同且均勻等幅激勵，為保持口徑圓約束為R，使rN≤R，求取陣元位置 D＝（d1，…，dN），滿足約束 min其中dc為最小陣元間距，1≤j＜i≤N，使該陣的峰值旁瓣電平（LPSL）最低.將該約束最優(yōu)化問題描述為

圖1 稀布圓口徑面陣的陣列結(jié)構(gòu)

1.2 GA編碼和適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)造

取陣元位置矢量（d1，…，dN）作為上述最優(yōu)化問題的決策變量，它是一個復(fù)向量，每個元素的模和相角用某一范圍內(nèi)的一個浮點數(shù)來表示，即所謂浮點數(shù)編碼方法，又叫真值編碼方法，其特點是編碼使用決策變量的真實值，它不僅使遺傳算法（GA）的變異操作能夠保持更好的種群多樣性，還克服了二進制編碼方法運行性能差的缺點，使GA有較高精度和運算效率.

設(shè)陣元為全向性陣元，該平面陣列的方向圖函數(shù)可以表示為［4］

式中

k＝2π/λ，λ為工作波長；0≤θ≤π；0≤φ≤2π；所有陣元等幅同相激勵，即取In＝1，ψn＝0取適應(yīng)度函數(shù)為整個φ平面的旁瓣電平，則

式中：FFmax為主瓣最大值；φ，θ所對應(yīng)的范圍為除主瓣外的所有旁瓣區(qū)域.最優(yōu)化模型為

1.3 初始群體的創(chuàng)建

為了方便遺傳算法的運用和充分利用約束條件下各陣元的布陣自由度，同時為了使創(chuàng)建的初始群體滿足最小陣元間距約束，這里先構(gòu)造用于間接描述個體的模板輔助矢量C.分析圖2所示的半徑相隔dc的均勻同心圓環(huán)陣列的陣元位置分布特性，并以此為基礎(chǔ)來構(gòu)造滿足多個約束的可行解個體，再組建多個可行解個體組成的集合，從而構(gòu)建初始群體.

圖2 均勻同心圓環(huán)柵格上布陣的均勻圓口徑面陣

設(shè)圖2所示的圓形陣列的口徑為R＝（a＋1）dc，a∈Z.在半徑相隔dc的均勻同心圓環(huán)柵格上，均布陣元間距不小于dc的盡可能多的陣元，這種陣元分布特性盡可能地運用了陣元的布陣自由度，同時滿足優(yōu)化約束｜dm-dn｜≥dc＞0.取復(fù)矢量

為模板輔助矢量，它表示的陣列滿足最小陣元間距約束.式中a＝｜R/dc｜-1為柵格圓的數(shù)目，k1，k2，…，ka分別為第1，2，…，a層?xùn)鸥駡A上最多可以布置的陣元數(shù)目，Δ1，Δ2，…，Δa為第1，2，…，a層?xùn)鸥駡A上布置最多陣元數(shù)目時相位角坐標(biāo)值的間隔.C與陣元間距約束和相角間隔約束有關(guān)，因而又稱為約束矢量.如取最小陣元間距約束為dc＝λ/2，可計算得到半徑相隔dc均勻同心圓環(huán)的各柵格圓上的最多陣元數(shù)目和各柵格圓上陣元相位坐標(biāo)值的最小間隔，如表1所示.

模板矢量Ft的構(gòu)造方法如下：

1）生成所有元素均屬于區(qū)間［0，0.5λ］的實隨機列向量，其維數(shù)為并將該列向量的元素按行從小到大排序，得向量M0，設(shè)M0的第一節(jié)由第1行至第k1行的共k1個元素組成，第二節(jié)由第k1＋1行至第k1＋k2＋1行的共k2個元素組成，依此類推，第a節(jié)有ka個元素，參見表1，第一節(jié)取k1＝6個元素，第二節(jié)取k2＝12個元素，以此類推.再將屬于各節(jié)的元素按大小隨機排列，得向量

表1 各柵格圓上最大可能陣元數(shù)目及陣元相角間隔

該向量的特征是：節(jié)內(nèi)元素是按大小隨機排列的，且后一節(jié)的最小值元素不小于前節(jié)的任一元素，稱其為η特性.

2）生成元素均屬于區(qū)間［0，2π］的實隨機列向量［ξ1，ξ2，…，ξa］T，然后將它擴展成

3）向量η的各元素作為模加到模板輔助向量C各對應(yīng)元素的模；向量ζ的各元素作為相角加到模板輔助向量C各對應(yīng)元素的相角，得模板矢量Ft，如式（9）所示為

可以證明，以模板矢量Ft的各元素為陣元坐標(biāo)的圓口徑陣列滿足兩兩陣元間距不小于dc.為了從模板矢量Ft得到陣元數(shù)目為N＋1的個體矢量FA，下面定義個體索引矢量S：

定義1： 個體u由模板矢量Ft稀疏化處理而得，若Ft的第q個元素被稀疏，則對應(yīng)的個體索引矢量S的第q個元素記“0”，若該元素被選取，則記為“1”，稱S為對應(yīng)于個體u的索引矢量.

若個體索引矢量S為

則對應(yīng)的個體u如式（10）所示.

個體u與模板矢量Ft的關(guān)系表示為

即視Ft和S為數(shù)組，它們進行對應(yīng)元素相乘的數(shù)組乘運算即得稀疏向量u，用它的非零元表示決策變量.

陣列的N個陣元坐標(biāo)作為待優(yōu)化的決策變量，從模板矢量（9）中隨機索引出有N個非零元素的矢量u，不難將它的維數(shù)再擴展一維，用這一維表示圓口徑中心的固定陣元的坐標(biāo)，擴展后的稀疏向量記為FA.可以證明，F(xiàn)A表示的陣列是滿足口徑不大于R，陣元數(shù)為N＋1且陣元間距不小于dc的一個可行解個體，它是由最小陣元間距約束dc、向量η，S和ζ間接表示的，遺傳算法中，對個體FA直接進行遺傳操作生成子代個體的過程，可以間接地由η，S和ζ等遺傳信息進行遺傳操作來代替.

生成M個形如u的個體，可以組成規(guī)模為M的初始群體U.容易證明群體U變換出的每個成員個體都是滿足優(yōu)化約束的可行解個體.這里，以群體U的每個個體索引向量為列向量的矩陣記為種群索引矩陣SM.

1.4 遺傳操作預(yù)處理及后處理

該最優(yōu)化中，標(biāo)準(zhǔn)GA的交叉算子和變異算子不能直接使用，原因是即使父代個體全部滿足最小陣元間距約束，常規(guī)的交叉和變異也可能使子代個體成為不滿足最小陣元間距約束的不可行解，使得優(yōu)化過程無法繼續(xù).因此，需要修正交叉和變異算子，我們分別稱修正后的交叉和變異算子為廣義交叉算子和廣義變異算子.同樣為了避免優(yōu)化過程中出現(xiàn)不可行解，這里還需要設(shè)計兩個變換，第一，廣義交叉和變異之前，需要一個變換從遺傳群體中提取遺傳信息（遺傳預(yù)處理）；第二，廣義交叉和變異之后，需要一個逆變換由遺傳信息重構(gòu)遺傳群體.

定義3： 以種群約束矩陣SM為索引從整體約束矩陣CA取得的元素所組成的M 列矩陣CM矩陣稱為該種群的種群約束矩陣

定義4： 由形如U的父代群體U1得到遺傳操作（廣義交叉和廣義變異）前的基因矩陣P的如下變換為遺傳操作預(yù)處理：

式中 ：CM是種群U1的種群約束矩陣；｜｜表示對矩陣的各元素取模得到模矩陣；∠（）表示對矩陣的各元素取相角得到相角矩陣.

定義5： 由遺傳操作（廣義交叉和廣義變異）后的基因矩陣P′得到子代群體U2的如下變換為遺傳操作后處理：

式中：P′是基因矩陣P經(jīng)廣義交叉算子和廣義變異算子作用后得到的基因信息矩陣；CM′是對應(yīng)于種群P′的種群約束矩陣.

1.5 廣義交叉算子和廣義變異算子

將遺傳算法應(yīng)用于約束最優(yōu)化問題的關(guān)鍵是對約束條件的處理，可以按無約束問題那樣進行交叉和變異操作，再檢查是否違反約束，如果沒有違反，則表明是可行解，否則就是不可行解.然而這樣的處理實際上是行不通的（實際應(yīng)用中計算量大，效率低），因為要找到一個可行解同樣是很難的［11］.這里需要設(shè)計新的交叉和變異算子來避免不可行解的出現(xiàn).

新的交叉算子首先選定基因矩陣P的某兩列，然后把隨機選定的交叉位置上對應(yīng)非零元素的模值進行交換，最后將得到的兩個基因向量的模向量元素排序，方法是取出模向量，使它具備η特性：節(jié)內(nèi)元素按大小隨機排列，且后一節(jié)的最小值元素大于前節(jié)的任一元素.

新的變異算子旨在使表示遺傳信息的索引矢量S突變，首先按變異概率隨機選定需變異的基因矩陣P的某列，然后隨機選定一個位置上的元素進行變異，若該元素為0，則用復(fù)數(shù)riejφi替代，模值ri取為該節(jié)內(nèi)最大模值和最小模值之間的一個隨機數(shù)，相角值φi變異為屬于區(qū)間［0，2π］的隨機數(shù)，且變異該元素所在節(jié)內(nèi)的其他陣元的相角值等于該隨機數(shù).廣義交叉算子和廣義變異算子作用時保證非零元的個數(shù)始終為N，且使遺傳信息矢量保持η特性和ζ特性.

經(jīng)典遺傳算法的交叉算子和變異算子作用的對象是個體的編碼，而本文的廣義交叉和變異的對象不再是真正意義上的個體編碼，是父代群體析出的遺傳信息S，η和ζ.另外，經(jīng)過一般的交叉和變異操作后，還需對得到的遺傳信息重新排序整理才得到有效的子代遺傳信息S2，η2，ζ2.基于上述兩方面的原因，本文稱之為廣義交叉算子和廣義變異算子.

為了讓子代個體遺傳信息的模值元素滿足η特性，本文采用如下的排序整理方法：首先找出遺傳操作后子代遺傳信息矢量的各節(jié)模值元素的最小值，然后從最后一節(jié)依次向前一節(jié)作排序處理，最后一節(jié)的元素不需處理.以第i節(jié)元素為例，設(shè)第i節(jié)元素的模最小值為a，將a與第i-1節(jié)的所有模元素比較，若第i-1節(jié)內(nèi)的某模元素大于a，則用a替換該元素的模值.子代遺傳信息矢量中的元素經(jīng)過此廣義遺傳操作后得到了滿足η特性和ζ特性的遺傳信息向量P′，再經(jīng)遺傳后處理式（15），可以重構(gòu)出由可行解個體組成的子代群體.

2 算法流程

在基本遺傳算法（SGA）的算法流程中，本文改進了初始群體生成的方法，擴展了交叉和變異算子以及增加了遺傳預(yù)處理和后處理，最終實現(xiàn)了本文的多約束綜合問題的求解，具體的修正遺傳算法的算法流程如圖3所示.

圖3 修正遺傳算法流程圖

3 仿真實例

以環(huán)間距為0.5λ、孔徑為2λ的4層同心圓環(huán)均勻陣列為基礎(chǔ)構(gòu)造模板輔助矢量，由表1可知，模板輔助矢量的維數(shù)為61.設(shè)待優(yōu)化的圓形陣列的孔徑為2.5λ.優(yōu)化約束為在孔徑范圍內(nèi)的任意兩陣元間距不小于0.5λ.設(shè)定稀布率為70%，即經(jīng)過稀布優(yōu)化后需布置的陣元數(shù)為42（口徑中心固定的一個陣元不計）.

利用本文介紹的修正遺傳算法，選取式（4）為適應(yīng)度函數(shù)，遺傳算法的基本參數(shù)選取如下：種群體數(shù)為100，交叉、變異概率分別為0.7和0.01，進化代數(shù)為200.采取輪盤賭的選擇方案，為保證收斂，采用了最佳保留選擇機制.為檢驗本文所提方法的穩(wěn)健性，獨立地進行了5次仿真試驗.最差和最好仿真實驗結(jié)果得到的峰值旁瓣電平分別為-20.797dB和-19.838dB.表2給出了最優(yōu)個體向量，圖4是經(jīng)過綜合后得到的最優(yōu)個體對應(yīng)的方向圖，圖5是其在φ＝0°，φ＝45°，φ＝90°截平面的波束圖，圖6是最優(yōu)個體的陣元布置圖.

表2 最優(yōu)個體陣元坐標(biāo)（第一元素是模值，第二元素是相角）

4 結(jié) 論

對于圓形稀布陣列，陣元位置的設(shè)計需進行復(fù)雜的數(shù)值優(yōu)化計算.基于改進的實數(shù)遺傳算法，文中提出了一種綜合有陣元數(shù)、孔徑和最小陣元間距約束的圓形口徑稀布面陣的新方法.采用新的編碼方法，使間接描述的優(yōu)化變量適用于修正的實數(shù)遺傳算法，設(shè)計的廣義遺傳操作、預(yù)處理和后處理使得遺傳算法在優(yōu)化過程中不再需要去校驗每個個體解的可行性，顯著地提高了優(yōu)化效率.該方法將稀布圓陣的綜合從規(guī)則柵格的稀疏約束拓展為最小陣元間距約束，最小陣元間距可以事先依據(jù)陣元間的互耦情況設(shè)定，算法有很強的有效性和穩(wěn)健性，因此該方法相對于經(jīng)典的遺傳算法能更大程度地滿足實際工程設(shè)計的需要.

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