戴中林

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充 637002）

1 引 言

問題1 韓信點兵.有兵一隊，若列成五行縱隊，則末行一人；成六行縱隊，則末行五人；成七行縱隊，則末行四人；成十一行縱隊，則末行十人 ；求兵數(shù).

問題2 黃宗憲《求一術通解》.今有數(shù)不知總，以五累減之無剩，以七百十五累減之剩十，以二百四十七累減之剩一百四十，以三百九十一累減之剩二百四十五，以一百八十七累減之剩一百零九，問總數(shù)若干？

上述問題的解法，中國古代數(shù)學家稱之為“大衍求一術”，即求解同余式組的問題，一般利用孫子定理［1］來解決.但其解法較為繁瑣，且不能直接求出最小正整數(shù)解.為此本文給出了一種簡便的并能直接求出同余式組最小正整數(shù)解的遞推公式解法.

2 本文的結果

首先給出引理.

依次求得的最小正整數(shù)解時，則解

3 “韓信點兵”問題新解

4 兩種解法之比較

本文定理解法 孫子定理解法k的個數(shù) n－1個 n個計算k的難易程度計算較為簡單m1k1≡a2－a1（mod m2），m1m2k2≡a3－x1（mod m3），……m1m2…mn－1kn－1≡an－xn－2（mod mn），其中xi＝a1＋ ∑計算較為麻煩，尤為mi過多時更甚.m2m3…mnk1≡1（mod m1），m1m3…mnk2≡1（mod m2），……m1m2…mn－1kn≡1（mod mn）.n－1 m1…miki.i＝1解的結構可直接得到最小正整數(shù)解x＝xn－1，且解x的結構簡單易記.x＝a1＋m1k1＋m1m2k2＋…＋m1m2…mn－1kn－1解x的結構復雜，最后還應適當選取k使得解x大于零，才能將其化為最小正整數(shù)解.x＝（a1m2m3…mnk1＋a2m1m3…mnk2＋…＋anm1…mn－1kn）－m1…mnk

［1］閔嗣鶴，嚴仕健.初等數(shù)論［M］.北京：人民教育出版社，1957.

［2］杜德利U.基礎數(shù)論［M］.上海：科學技術出版社，1980.

［3］陳景潤.初等數(shù)論Ⅰ［M］.北京：科學出版社，1978.