張新明，吳艷青，黃風(fēng)雷

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

0 引言

塑料黏結(jié)炸藥(PBXs)可看作是一種特殊的顆粒復(fù)合材料，其主要組成部分包括HMX 含能顆粒(質(zhì)量分?jǐn)?shù)約占95%)、黏結(jié)劑、增塑劑及鈍感劑等(質(zhì)量分?jǐn)?shù)約占5%).PBXs 在受到?jīng)_擊加載時(shí)，HMX 炸藥顆粒為主要的承載對(duì)象，因此，在進(jìn)行PBXs 沖擊起爆研究時(shí)，為了簡(jiǎn)化模型，有時(shí)忽略黏結(jié)劑、增塑劑等的作用，將PBXs 看成由HMX 炸藥顆粒構(gòu)成的顆粒床進(jìn)行研究。另外，對(duì)于無空隙的均質(zhì)含能材料，由于化學(xué)構(gòu)成的不穩(wěn)定性、老化、損傷等因素會(huì)出現(xiàn)孔隙，研究這類材料的性能，也經(jīng)常將它們看成顆粒炸藥床進(jìn)行研究［1］。

燃燒轉(zhuǎn)爆轟(DDT)的研究已有幾十年的歷史［2-10］，也是顆粒含能材料受沖擊加載時(shí)常常產(chǎn)生的一個(gè)現(xiàn)象。文獻(xiàn)［3 -8］均表明顆粒含能材料的燃燒轉(zhuǎn)爆轟是顆粒材料的壓實(shí)(Material Compaction)和熱量釋放(Heat Release)的相互作用，而多數(shù)情況下，燃燒轉(zhuǎn)爆轟都與致密波(Compaction Wave)作用密切相關(guān)［11］。所謂致密波，即為使顆粒床孔隙率發(fā)生變化的行進(jìn)波［11］，Sandusky 等［12］最早在試驗(yàn)中觀察到穩(wěn)態(tài)致密波。在致密區(qū)內(nèi)，由于顆粒與顆粒之間的摩擦、應(yīng)力集中、塑性變形等原因會(huì)導(dǎo)致材料的局部溫度大幅升高，形成所謂的熱點(diǎn)(Hot-spot)，在整體平均溫度很低，甚至還沒達(dá)到熔點(diǎn)的情況下，就有可能使材料局部熔化，發(fā)生相變，激起劇烈的化學(xué)反應(yīng)，并最終導(dǎo)致爆燃甚至是爆轟。自上世紀(jì)80年代始，國內(nèi)外很多學(xué)者開展了這方面的實(shí)驗(yàn)、理論和數(shù)值研究［13-19］。

但宏觀尺度的整體平均模型［13-17］不能有效地反映出顆粒尺度的響應(yīng)，而基于單個(gè)顆粒的統(tǒng)計(jì)模型［18-19］由于計(jì)算量太大，不適合工程計(jì)算。近年來，Gonthier 等［20］根據(jù)Hertz 接觸力學(xué)建立了顆粒材料沖擊加熱的多尺度模型，該模型能夠有效地反映出顆粒尺度的響應(yīng)，且適合大量工程計(jì)算。但是，Gonthier［20］沒有考慮顆?？蓧嚎s性和固液相變對(duì)壓縮過程的影響，并且顆粒構(gòu)形應(yīng)力函數(shù)由準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)測(cè)得，工作量大。本文選取Tait 狀態(tài)方程，由顆粒構(gòu)形應(yīng)力的定義式來確定該函數(shù)，避免進(jìn)行大量試驗(yàn)，從而減小工作量;同時(shí)引入化學(xué)反應(yīng)進(jìn)程變量，并考慮炸藥顆粒的可壓縮性以及固液相變的影響，對(duì)活塞沖擊顆粒床進(jìn)行多尺度數(shù)值計(jì)算。

1 計(jì)算模型

Baer 等［7］的兩相流模型，通常稱為BN 模型，成為國內(nèi)外學(xué)者研究致密波及含能材料燃燒轉(zhuǎn)爆轟基礎(chǔ)，本文在BN 模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化，并結(jié)合顆粒尺度熱點(diǎn)模型和阿倫尼烏斯反應(yīng)速率方程，對(duì)活塞沖擊顆粒床進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

1.1 一維單相流模型

根據(jù)Baer 等［13］和Lovey 等［21］的工作，氣相對(duì)致密波的影響很小，本文忽略氣相作用，一維單相流模型如下:

式中:t 為時(shí)間;x 為位置;ρs為固相密度;φs為固相體積分?jǐn)?shù);vs為顆粒速度;ps為壓強(qiáng);E 為單位體積炸藥的總能量，其中E =es+B，es為單位體積炸藥的內(nèi)能，B 為單位體積炸藥的壓縮潛能;β 為顆粒構(gòu)形應(yīng)力函數(shù)，表示顆粒床受到擠壓后，顆粒之間的相互作用力;常數(shù)μc為壓縮粘性。(1)～(3)式分別為質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒方程;(4)式表示由于固相壓力與顆粒構(gòu)形應(yīng)力存在壓差而引起的固相體積分?jǐn)?shù)的變化。

1.2 顆粒尺度的熱點(diǎn)模型

圖1為Gonthier［20］根據(jù)Hertz 接觸力學(xué)建立的熱點(diǎn)模型。圖中，rc為接觸球半徑，r0為接觸球半徑的最大值。當(dāng)顆粒床受到外載荷時(shí)，顆粒與顆粒之間由于摩擦、應(yīng)力集中、塑性變形等因素使得顆粒接觸面附近溫度升高，形成所謂的“熱點(diǎn)”，在整體平均溫度很低的情況下有可能發(fā)生燃燒轉(zhuǎn)爆轟。

圖1 顆粒與顆粒間接觸的幾何模型Fig.1 Illustration of the intergranular contact geometry used for the thermal energy localization strategy

為簡(jiǎn)化模型，假設(shè)HMX 顆粒不在發(fā)生破碎和聚并，顆粒半徑為R，單位體積內(nèi)的顆粒數(shù)n，顆粒數(shù)守恒方程為

本文忽略顆粒與顆粒之間的摩擦作用，單位體積內(nèi)塑性功功率等于內(nèi)能的變化率，

式中:nc為單位體積內(nèi)的接觸球個(gè)數(shù);Vc=4/3r3c為單個(gè)接觸球的體積;σY=3.0Y 為塑形應(yīng)力，Y 為HMX的屈服強(qiáng)度;des/dt 為內(nèi)能變化率。

阿倫尼烏斯反應(yīng)速率方程［20］

式中:λ(x，r，t)(0≤λ≤1)為沿接觸球徑向(r 方向，見圖1)變化的化學(xué)反應(yīng)過程變量，λ =0 表示無化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，λ=1 表示完全反應(yīng);z 為阿倫尼烏斯因子;Tα為活化溫度。

內(nèi)能變化率

式中:q 為傳導(dǎo)熱通量，q = -k ?T(x，r，t)/?r，k 為熱傳導(dǎo)率;ρs0為固相初始密度。(8)式右端第1 項(xiàng)為由熱傳導(dǎo)引起的內(nèi)能變化率，第2 項(xiàng)為由化學(xué)反應(yīng)引起的內(nèi)能變化率，第3 項(xiàng)為由顆粒材料孔隙率變化引起的內(nèi)能變化率Sφ以及由顆粒密度變化引起的內(nèi)能變化率Sρ.

HMX 在常溫常壓下的熔點(diǎn)T0m為552 K，根據(jù)Kraut-Kennedy［22］關(guān)系，熔點(diǎn)Tm= T0m(1 +αΔV/V0)，其中，常數(shù)α =1.53，V 為比容，V0為初始比容;在ps≈5 GPa 的條件下，ΔV≈0.1，熔點(diǎn)升高到約636 K，而本文條件下ps?5 GPa，因此假設(shè)Tm=T0m，顆粒床發(fā)生等溫相變:

式中:cvs為定容比熱;q0m為熔化潛熱;0≤χ≤1 為液相質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

1.3 本構(gòu)關(guān)系

為使方程組封閉，還需要給出固相狀態(tài)方程和顆粒構(gòu)形應(yīng)力函數(shù)β.本文對(duì)Powers 等［23］給出的狀態(tài)方程進(jìn)行修改，引入化學(xué)反應(yīng)進(jìn)程變量λs，Helmholtz 自由能的表達(dá)式為:

式中:Ts0為固相初始溫度;ps0為固相初始?jí)簭?qiáng);pg0為氣相初始?jí)簭?qiáng);φs0為固相初始體積分?jǐn)?shù)。

狀態(tài)方程

顆粒構(gòu)形應(yīng)力函數(shù)β 的表達(dá)式如下:

Tait 狀態(tài)方程中的參數(shù)如表1所示。

表1 Tait 狀態(tài)方程中的參數(shù)Tab.1 Parameters in Tait EOS for solid HMX

2 計(jì)算模型的無量綱化

本文以HMX 顆粒為例，對(duì)其致密波傳播特性進(jìn)行分析，表2為HMX 的物性參數(shù)及初始條件。

表2 HMX 物理性質(zhì)參數(shù)及初始條件Tab.2 HMX material properties and initial conditions

假設(shè)致密波以波速D 向右傳播，利用伽利略坐標(biāo)變換公式:相對(duì)位置ξ=x-D·t 和相對(duì)速度v=vs-D 以及定常假設(shè)，?/?t ≡0.定義如下無量綱量:

將計(jì)算模型寫成無量綱形式

3 計(jì)算結(jié)果

為確定壓縮過程的終態(tài)，令β =ps，即顆粒床達(dá)到壓力平衡。圖2為顆粒構(gòu)形應(yīng)力函數(shù)β 與固相體積分?jǐn)?shù)φs之間的關(guān)系。由圖可知，β 為體積分?jǐn)?shù)φs的單調(diào)遞增函數(shù)。圖3為不同致密波速D，固相壓力Ps與體積分?jǐn)?shù)φs之間的關(guān)系。由圖可知，隨著致密波速度的增加，終態(tài)體積分?jǐn)?shù)φs逐漸增加，當(dāng)D ＞500 m/s 時(shí)，終態(tài)體積分?jǐn)?shù)φs≈1，即顆粒床處于完全壓實(shí)狀態(tài)。

圖2 顆粒構(gòu)形應(yīng)力β 與固相體積分?jǐn)?shù)φs之間的關(guān)系Fig.2 Intergranular stress β vs.solid volume fraction φs

圖3 固相壓力ps與固相體積分?jǐn)?shù)φs之間的關(guān)系Fig.3 Solid pressure ps vs.solid volume fraction φs

3.1 惰性顆粒藥床

圖4 初始體積分?jǐn)?shù)φs0 =0.76，活塞速度up =100 m/s 時(shí)模型物理量在ξ 方向上的分布Fig.4 Variation of model parameters in ξ direction for φs0 =0.76 and up =100 m/s

圖4為活塞速度up=100 m/s 撞擊顆粒藥床，產(chǎn)生亞音速致密波(D=418.7 m/s ＜C0)，固相體積分?jǐn)?shù)φs、壓力ps、顆粒間的應(yīng)力β、整體平均溫度Ts和顆粒密度ρs的分布。由圖4可知，各物理量由初始狀態(tài)光滑地過渡到平衡狀態(tài)，終態(tài)值φs=0.995，ps=67.73 MPa，Ts=304.08 K，ρs=1 906.62 kg/m3.由圖4(b)可知，在初始階段顆粒床處于平衡狀態(tài)，即Ps0=β(φs0)，隨著活塞向右運(yùn)動(dòng)，壓力增加，顆粒間構(gòu)形應(yīng)力增加，當(dāng)ps=β(φs)時(shí)，顆粒床再次達(dá)到壓力平衡狀態(tài)。

圖5為up=100 m/s 撞擊顆粒床時(shí)，顆粒半徑R、接觸球半徑rc和顆粒溫度T 的分布。由圖5(a)可知，壓縮過程中顆粒半徑R 幾乎保持不變，接觸球半徑rc由初始值rc0≈1.859 8 μm 光滑地過渡到穩(wěn)態(tài)值rc≈4.849 4 μm;由圖5(b)可知，由于顆粒之間的擠壓，發(fā)生塑性變形，在顆粒接觸面附近，顆粒溫度明顯升高，最大值T≈973 K，超過了HMX 的熔點(diǎn)T0m=552 K，并可以觀察到相變發(fā)生。而由圖4(c)可知，相同的加載條件下，整體平均溫度Ts≈304 K，遠(yuǎn)低于顆粒尺度溫度的最大值，即整體平均模型不能有效地反應(yīng)顆粒尺度的響應(yīng)。

圖5 顆粒半徑和顆粒尺度溫度的分布(up =100 m/s)Fig.5 Variation of grain radius in ξ direction and grainscale temperature in ξ and radial directions at up =100 m/s

3.2 考慮化學(xué)反應(yīng)

圖6為考慮固相可壓縮性和相變的情況下，化學(xué)反應(yīng)進(jìn)程變量λ、顆粒溫度T、整體平均反應(yīng)進(jìn)程變量λs和整體平均溫度Ts的分布。由(19)式可知，由于考慮了固相可壓縮性，接觸球半徑rc會(huì)增大，這就意味著內(nèi)能將會(huì)分布在顆粒接觸面附近更大的區(qū)域上，從而使顆粒溫度降低;另外由于相變會(huì)消耗掉一部分能量，也將使顆粒溫度降低，因此在相同的初始條件下要激發(fā)化學(xué)反應(yīng)必須增大活塞速度。當(dāng)活塞速度up=79.0 m/s 時(shí)，致密波速度D=348.75 m/s，由圖6(a)和圖6(b)可知，在顆粒接觸面附近化學(xué)反應(yīng)進(jìn)程變量λ =1，即完全反應(yīng)，相應(yīng)地溫度出現(xiàn)了突跳，顆粒溫度的最大值為1 638 K，并且可以觀察到相變的發(fā)生。由圖6(c)和圖6(d)可知，整體平均化學(xué)反應(yīng)進(jìn)程變量λ≈7.5 ×10-7，整體平均溫度Ts≈302.5 K.結(jié)果再次表明整體平均模型不能有效地反應(yīng)顆粒尺度的響應(yīng)。

3.3 參數(shù)研究

圖7為活塞速度up、初始體積分?jǐn)?shù)φs0、顆粒半徑R 等模型參數(shù)對(duì)顆粒床壓縮過程的影響。由圖7(a)可知，隨著活塞速度up的增加，固相體積分?jǐn)?shù)φs逐漸增加，up～φs曲線的斜率逐漸減小，表明顆粒床更難被壓實(shí);當(dāng)活塞速度up＞100 m/s 時(shí)，固相體積分?jǐn)?shù)φs≈1，即顆粒藥床被完全壓實(shí)。圖7(b)為活塞速度up與致密波速度D 之間的關(guān)系，由圖可知，隨著活塞速度up的增加，致密波速度D 逐漸增加，且兩者之間近似成線性關(guān)系。由圖7(c)可知，隨著初始體積分?jǐn)?shù)φs0的增加，要想激起化學(xué)反應(yīng)，所需壓力逐漸增加;當(dāng)φs0＞0.90 時(shí)，所需壓力急劇增加，也即致密的顆粒床更難發(fā)生化學(xué)反應(yīng)。由圖7(d)可知，隨著顆粒半徑R 的增加，激起化學(xué)反應(yīng)所需的活塞速度逐漸減小，即粗顆粒床更容易發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，這一結(jié)果與已有的試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果［25-28］相一致。

4 結(jié)論

本文對(duì)活塞沖擊HMX 顆粒床進(jìn)行多尺度數(shù)值模擬。結(jié)果表明，對(duì)于亞音速致密波，固相體積分?jǐn)?shù)、壓力、密度和整體平均溫度光滑地從初始值過渡到平衡狀態(tài)，致密波速度隨著活塞速度的增加而逐漸增加，顆粒床的致密程度隨著致密波速度的增加而增加，直到藥床被完全壓實(shí)(φs≈1).顆粒尺度的溫度分布表明，在相同的加載條件下(up=100 m/s)，顆粒尺度的溫度明顯高于整體平均溫度，并超過了熔點(diǎn)，同時(shí)可以觀察到固液相變的發(fā)生，結(jié)果表明整體平均模型不能有效地反映出材料顆粒尺度的響應(yīng)。在考慮化學(xué)反應(yīng)的情況下，由于顆粒材料可壓縮性和固液相變的影響，在相同的初始條件下，必須增大活塞速度才能激起化學(xué)反應(yīng)。計(jì)算結(jié)果還表明，隨著固相初始體積分?jǐn)?shù)的增大，發(fā)生化學(xué)反應(yīng)所需的外界載荷越大，即致密床更難發(fā)生化學(xué)反應(yīng);隨著顆粒半徑的增大，發(fā)生化學(xué)反應(yīng)所需的活塞速度越小，即粗顆粒床更容易發(fā)生化學(xué)反應(yīng)。

圖6 化學(xué)反應(yīng)進(jìn)程變量和溫度的分布Fig.6 Predicted chemical reaction progress variable and temperature through the compaction zone

圖7 模型參數(shù)研究Fig.7 Parametric sensitivity analysis results

References)

［1］ Greenaway M W.Measurement of intergranular stress and porosity during dynamic compaction of porous beds of HMX［J］.Journal of Applied Physics，2005，97(9):093521 -093521-7.

［2］ Gonthier K A，Powers J M.A high resolution numerical method for a two-phase model of deflagration-to-detonation transition［J］.Journal of Computational Physics，2000，163(2):376 -433.

［3］ Cochran M T，Powers J M.Computation of compaction in compressible granular material［J］.Mechanics Research Communications，2008，35(1 -2):96 -103.

［4］ Bernecker R R，Price D.Studies in the transition from deflagration to detonation in granular explosives-Ⅰ.Experimental arrangement and behavior of explosives which fail to exhibit detonation［J］.Combust and Flame，1974，22(1):111 -118.

［5］ Bernecker R R，Price D.Studies in the transition from deflagration to detonation in granular explosives-Ⅱ.Transitional characteristics and mechanics observed in 91/9 RDX/wax［J］.Combust and Flame，1974，22(1):119 -129.

［6］ Butler P B，Krier H.Analysis of deflagration to detonation transition in high-energy solid propellant［J］.Combust.Flame，1986，63(1 -2):31 -48.

［7］ Bear M R，Nunziato J W.A two-phase mixture theory for the deflagration to detonation transition (DDT)in reactive granular materials［J］.International Journal of Multiphase Flow，1986，12(6):861 -889.

［8］ Xu S J，Stewart D S.Deflagration-to-detonation transition in porous energetic materials:a comparative model study［J］.Journal of Engineering Mechanics，1997，31(2 -3):143 -172.

［9］ Kapila A K，Menikoff R，Bdzil J B，et al.Two-phase modeling of deflagration-to-detonation transition in granular materials:reduced equations［J］.Physics of Fluids，2001，13(10):3002 -3024.

［10］ Butler P B，Krier H.Modeling deflagration to detonation transition in granular explosives pentaerythritol tetranitrate［J］.Journal of Applied Physics，2008，104(4):043519-(043519-14).

［11］ Powers J M，Stewart D S，Krier H.Analysis of steady compaction waves in porous materials［J］.Journal of Applied Mechanics，1989，56(1):15 -24.

［12］ Sandusky H W，Liddiard T P.Dynamic compaction of porous beds［R］.US:Naval Surface Warfare Center Silver Spring MD，1985.

［13］ Baer M R.Numerical studies of dynamic compaction of inert and energetic granular materials［J］.Journal of Applied Mechanics，1988，55:36 -43.

［14］ Gonthier K A，Menikoff R，Son S E，et al.Molding compactioninduced energy dissipation of granular HMX［C］∥11th Symposium (International)on Detonation.1998:153 -161.

［15］ 孫錦山，朱建士，賈祥瑞.顆粒材料中致密波結(jié)構(gòu)研究［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，1999，31(4):423 -433.SUN Jin-shan，ZHU Jian-shi，JIA Xiang-rui.An analysis of compaction wave in granular material［J］.Journal of Theoretical and Applied Mechanics，1999，31(4):423 -433.(in Chinese)

［16］ Low C A，Greenaway M W.Compaction process in granular beds composed of different particle sizes［J］.Journal of Applied Physics，2005，98(12):123519-(123519 -12).

［17］ Low C A，Longbottom A W.Effect of particle distribution on the compaction behavior of granular beds［J］.Physics of Fluids，2006，18(6):066101-(066101 -18).

［18］ Menikoff R，Kober E.Compaction waves in granular HMX［J］.Shock Compression of Condensed Matter，1999，505:397 -400.

［19］ Bardenhagen S G，Brackbill J U.Dynamic stress bridging in granular material［J］.Journal of Applied Physics，1998，83(11):5732 -5740.

［20］ Gonthier K A.Modeling and analysis of reactive compaction for granular energetic solids［J］.Combustion Science and Technology，2003，175:1679 -1709.

［21］ Lovey A，Ben-Dor G，Sorek S，et al.Jump conditions across strong compaction waves in gas saturated rigid porous media［J］.Journal of Shock Waves，1993，(3):105 -111.

［22］ Menikoff R，Sewell T D.Constituent properties of HMX needed for mesoscale simulations［J］.Combustion Theory and Modeling，2002，(6):103 -125.

［23］ Powers J M.Two-phase viscous modeling of compaction of granular materials［J］.Physics of Fluids，2004，16(8):2975 -2990.

［24］ Elban W L，Chiarito M A.Quasi-static compaction study of coarse HMX explosive［J］.Power Technology，1986，46(2 -3):181 -193.

［25］ Moulard H，Kury J W，Declos A.The effect of RDX particle size on the shock sensitivity of cast PBX formulations［C］∥8th Symposium (International)on Detonation.1985:902 -913.

［26］ Moulard H.Particular Aspect of the explosive particle size effect on shock sensitivity of cast PBX formulations［C］∥9th Symposium (International)on Detonation.1989:18 -24.

［27］ Simpson R L，Helm F H，Crawford P C，et al.Particle size effects in the initiation of explosives containing reactive and nonreactive continuous phases［C］∥9th Symposium (International)on Detonation.1989:25 -38.

［28］ Gustavsen R L，Sheffield S A，Alcon R R.Low pressure shock initiation of porous HMX for two grain size distribution and two densities［J］.American Institute of Physics，1996，370:851 -854.