王勇強(qiáng) 吳明和 鄔劭軼 黃衛(wèi)英

(電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 四川 成都 610054)

張宗明

(綿陽(yáng)中學(xué) 四川 綿陽(yáng) 621000)

姚玲玲

(重慶市高治中學(xué) 重慶 404614)

1 引言

中學(xué)使用新課標(biāo)后，中學(xué)物理課本中沒(méi)有講述薄透鏡物像公式的高斯形式[1]，造成了學(xué)生較難理解不同方向的平行光與會(huì)聚在焦平面上焦點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而不能確定像點(diǎn)位置.而在大學(xué)物理教材中通常只對(duì)薄凸透鏡的等光程性進(jìn)行了定性說(shuō)明，少有定量分析[2].為了將中學(xué)講授的凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)規(guī)律與大學(xué)物理中的等光程概念有機(jī)結(jié)合起來(lái)，筆者對(duì)薄透鏡物像公式的高斯形式進(jìn)行了簡(jiǎn)單推導(dǎo)，證明了平行光斜入射情形下薄透鏡的等光程性.

2 薄透鏡物像公式高斯形式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)

我們以凸透鏡成像為例來(lái)說(shuō)明物距u、像距v和焦距f之間的關(guān)系.如圖1，設(shè)物高為h，像高為h′，由三角形AOB和三角形A′OB′相似，得到

(1)

又由三角形OO′F和三角形FA′B′相似，得到

(2)

式(1)、(2)聯(lián)立，得到

(3)

圖1 薄凸透鏡成像示意圖

利用凸透鏡成像的高斯公式(3)討論不同物距下的像的大小，這樣可以讓學(xué)生回憶他們初中學(xué)過(guò)凸透鏡成像的實(shí)驗(yàn)規(guī)律.

根據(jù)費(fèi)馬原理，多光線光程應(yīng)該取極值或者恒定值，但是連續(xù)分布的實(shí)際光線光程取極大值和極小值是不可能的，所以光程必須相等[3].下面利用幾何光學(xué)中的成像公式證明非軸線的物點(diǎn)和像點(diǎn)的多條光線中的兩條光線等光程.

3 平行光斜入射情形下薄透鏡的等光程性

如果物距為無(wú)窮遠(yuǎn)，但光線和主光軸不平行時(shí)，如圖2，光線會(huì)聚于焦平面某一點(diǎn)，研究此種情形下的等光程問(wèn)題.

圖2 平行光斜入射情形下薄透鏡的等光程性示意圖

(4)

AMM′P的光程為

(5)

通過(guò)光心的光線BQOQ′光程為

(6)

其中AM光線和主光軸的夾角θ之余弦

(7)

式(5)～(7)都用到了牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)進(jìn)行簡(jiǎn)化.

AMM′P和BQOQ′的光程差為

由公式(3),在u=∞，得到v=f，即與主光軸成夾角的來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)的光線匯聚于焦平面的P點(diǎn)[4].從波動(dòng)的觀點(diǎn)看，A，B，C三點(diǎn)同位相，由于薄凸透鏡不附加光程差，過(guò)A，B的平行光線通過(guò)透鏡到P點(diǎn)光程相等，P點(diǎn)所有光線同相疊加，成明亮的像點(diǎn).

4 結(jié)論

利用三角形相似，得到了凸透鏡的幾何成像公式；利用光程概念，證明了透鏡主軸外物點(diǎn)和像點(diǎn)的等光程性，說(shuō)明薄凸透鏡不產(chǎn)生附加光程差；在中學(xué)教學(xué)中的成像實(shí)驗(yàn)規(guī)律和成像公式以及大學(xué)物理教學(xué)中的等光程概念之間建立了有機(jī)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了大學(xué)波動(dòng)光學(xué)和中學(xué)幾何光學(xué)的“無(wú)縫”對(duì)接.

參考文獻(xiàn)

1 陳熙謀,吳祖仁.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書:物理(選修加必修).北京：教育科學(xué)出版社,2012.3～4

2 郝玉英.薄透鏡的等光程性證明.山西礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，14(4)：362～367

3 趙凱華.新概念物理教程:光學(xué).北京:高等教育出版社,2011.38～48

4 姚啟鈞.光學(xué)教程.北京:高等教育出版社,1980.194