摘 要：笛卡爾引入了坐標的觀念，將幾何坐標公式化，為解析幾何的創(chuàng)立做出了奠基性的貢獻。解析幾何的創(chuàng)立使代數(shù)、幾何實現(xiàn)了完美的統(tǒng)一，不僅促進了幾何的研究和代數(shù)的獨立發(fā)展，而且推進了科學(xué)的進步。

關(guān)鍵詞：笛卡爾 解析幾何 坐標

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）12（c）-0165-01

勒內(nèi)·笛卡爾（Rene Descartes，1596年至1650年）法國哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家。笛卡爾是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基者，其哲學(xué)思想深深影響了之后的幾代歐洲人。但是，可能許多人不太了解他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)做出的重要貢獻，笛卡爾因?qū)缀巫鴺梭w系公式化而被認為是解析幾何的創(chuàng)立者。

笛卡爾，1596年3月31日生于法國土倫的拉哈耶。父親是一位律師，笛卡爾20歲畢業(yè)于普瓦界大學(xué)，去巴黎當了律師。在巴黎，他認識了米道奇（Mydarge）和梅森（Merrsnne），花了一年時間與他們一起研究數(shù)學(xué)。笛卡爾為了追趕當時的時髦（有志之士不是獻身宗教，就是獻身軍事）而去從軍，遍歷歐洲。1617年服役期間，在荷蘭布萊達遇到一張數(shù)學(xué)難題招貼，由于看不懂上面的佛來米語，一位中年人熱心地給他作了翻譯，第二天他把解答交給了那位中年人，引起了中年人的極大驚訝，原來這個中年人是荷蘭著名的數(shù)學(xué)教授別克曼（Isaac Beeckeman，1588年至1673年，荷蘭），這次偶然的機會使笛卡爾對自己的數(shù)學(xué)才華加深了信心，從此在別克曼教授的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，1628年他移居荷蘭，在較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境中生活了二十年，寫成了許多世界名著。其主要著作有《思想的指導(dǎo)法則》《世界體系》等。1637年，笛卡爾出版了他的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書，書后三個附錄之一的《幾何學(xué)》，闡述了坐標幾何即今解析幾何的內(nèi)容，它體現(xiàn)出一種“數(shù)”“形”結(jié)合的新思想，引起了數(shù)學(xué)的變革，成為變量數(shù)學(xué)的起點。

笛卡爾的中心思想是要建立一種普遍的數(shù)，使算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來，其思想方法主要表現(xiàn)在：

1 引入了坐標概念

笛卡爾從自古已知的天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對（x，y）的對應(yīng)關(guān)系、從而建立了坐標的觀念。

笛卡兒的坐標系不同于一般的定理和數(shù)學(xué)理論，這是一種思想方法和技藝，它使個數(shù)學(xué)發(fā)生了嶄新的變化。恩格斯對笛卡爾的這一貢獻曾經(jīng)這樣評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變量，有了它，運動進入了數(shù)學(xué)，因而辯證法進入了數(shù)學(xué)，因而微分和積分的運算也就立刻成為必要了?！睘榧o念這位杰出的業(yè)余數(shù)學(xué)家，人們現(xiàn)在所用的直角坐標系，通常叫做“笛卡兒直角坐標系”。

2 用方程表示曲線的思想

笛卡爾把兩個相互關(guān)聯(lián)的二個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線，研究二元方程F（x，y）=0的性質(zhì)。滿足這個方程的x，y值無限多，當x變化時，y也跟著變化，y的不同取值確定平面上許多不同的點，便構(gòu)成了一條曲線，具備某種性質(zhì)的點之間，存在某種關(guān)系，笛卡爾說：“這種關(guān)系可用一個方程來表示”，這就是他的方程表示曲線的思想。這樣，可以用一個二元方程表示平面曲線，并根據(jù)方程的代數(shù)性質(zhì)研究相應(yīng)曲線的幾何性質(zhì)；反過來，可以根據(jù)曲線的已有的幾何性質(zhì)，確定曲線的方程，并用幾何的觀點來考察方程的代數(shù)性質(zhì)。

3 推廣了曲線的概念

笛卡爾不僅接受了以前被排斥的曲線，而且還開辟了整個的曲線領(lǐng)域；這里的曲線，笛卡爾指具有代數(shù)方程的那種。笛卡爾認為，幾何曲線是那些可用一個惟一的含x；y的有限次代數(shù)方程來表示的曲線，避免了以能否畫出來來判別曲線是否存在的觀點。由于幾何曲線未必都能用代數(shù)方程表示出來，所以今天看來，笛卡爾關(guān)于曲線的概念的推廣還不徹底，萊布尼茲把有代數(shù)方程的曲線叫代數(shù)曲線，否則叫超越曲線。笛卡爾及其他數(shù)學(xué)家也同樣研究了旋輪線、對數(shù)曲線嘴對數(shù)螺線和其他非代數(shù)曲線。

4 按方程的次數(shù)對方程進行分類

笛卡爾認為，含X和Y的一次和二次方程屬于第一類，也是最基本的類，三次和四次方程表示的曲線屬于第二類，五次和六次方程的曲線構(gòu)成第三類，依次類推。作出這樣的分類，原因在于，笛卡爾相信，每一類中高次的可以化為低次的，比如四次方程的解可以通過三次方程的解來求出，這當然又具有化歸的思想。

針對笛卡爾的解析幾何，數(shù)學(xué)家們不斷予以完善與補充。在《幾何學(xué)》中，笛卡爾引入了變量與坐標，但并未使用今天的“變量”一詞；坐標方面，也只是引入了一條坐標軸（即今x軸）。現(xiàn)在使用的“變量”一詞，最早是由約翰·伯努利（lolann Bernoulli）于1718年引入；“坐標”一詞是1692年才由萊布尼茲正式引進的。第二條坐標軸即Y軸，由克萊姆（G.Gramer，1704年至1752年，瑞士）于1750年他的《代數(shù)曲線分析引論》中才正式引人，距x軸的引入晚了一百多年，笛卡爾也沒有使用縱、橫坐標的詞語。1692年，萊布尼茲引入“坐標”一詞后，1694年，萊布尼茲正式使用了“縱坐標”，一詞，而“橫坐標”，一詞是在18世紀才由沃爾夫（Christian Von Wolf，1679年至1754年，法）等人引入的。19世紀后，解析幾何的發(fā)展趨于成熟，被廣泛應(yīng)用在自然科學(xué)各領(lǐng)域和數(shù)學(xué)科學(xué)研究中。

解析幾何的創(chuàng)立具有深遠的歷史意義。

首先，解析幾何使代數(shù)、幾何實現(xiàn)了完美的統(tǒng)一。由于解析幾何集中了代數(shù)與幾何研究的優(yōu)點，為數(shù)學(xué)研究提供了極大的便利。供了極大的便利。幾何問題，可以用代數(shù)表達；幾何目標可以通過代數(shù)的研究達到；反過來，代數(shù)的問題可以得到幾柯意義上的解釋，通過直觀輔助分析，從而得出新的結(jié)果。猶如拉格朗日所說：“只要代數(shù)與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸收產(chǎn)生新的活力，從那以后就以快速的步伐走向完善?！?/p>

其次，解析幾何促進了幾何的研究。笛卡爾原本設(shè)想，通過解析幾何給幾何引入一種新方法，然而成就卻大大超出了他的預(yù)想。利用解析幾何方法，平面幾何中必須分別處理的問題，可以用代數(shù)統(tǒng)一處理，如在證明三角形的高線共點問題時，不須考慮交點是在三角形的內(nèi)部或外部，實現(xiàn)了統(tǒng)一的證明。

再次，解析幾何促進了代數(shù)的獨立發(fā)展。從古希臘到公元1600年，幾何在數(shù)學(xué)中一直占據(jù)著統(tǒng)治地位，代數(shù)一直是幾何的附庸。解析幾何的創(chuàng)立，充分展示了代數(shù)的作用，因此，1600年以后，代數(shù)逐步從幾何的統(tǒng)治地位下獨立出來，成為一門獨立的數(shù)學(xué)分支，取得了它應(yīng)有的地位。因此，解析幾何促進了代數(shù)學(xué)的獨立與發(fā)展。

最后，解析幾何推進了科學(xué)的進步。17世紀，科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展迫切需要數(shù)學(xué)為其提供便利的數(shù)學(xué)工具，解析幾何的創(chuàng)立滿足了科學(xué)技術(shù)發(fā)展的要求。通過解析幾何。人們對曲線的研究越來越深刻，像大地測量學(xué)、航海學(xué)、歷法學(xué)、天文學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域，解析幾何把形象與路線表達為代數(shù)形式，從而得出人們需要的數(shù)學(xué)知識。通過對拋物線的研究，牛頓制作了反射望遠鏡；人們還利用拋物線的聚焦性質(zhì)設(shè)計制造出現(xiàn)代的探照燈。

參考文獻

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