摘 要： 一道好的壓軸題，既要體現(xiàn)數(shù)學知識、技能與經(jīng)驗、能力的內(nèi)在價值，又要體現(xiàn)數(shù)學的人文價值，關(guān)注學生的精神世界、情感需求和個性差異，使之成為學生與知識、情景、命題者（教師）之間自然對話的良性載體，成為心靈交匯、情感交流的暢通渠道。壓軸題是經(jīng)過命題者精心編制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性。只有教師認真鉆研，學會拓展延伸、類比遷移，才能讓自己從單純的執(zhí)行者轉(zhuǎn)變?yōu)殚_發(fā)者，從而更好地訓練學生的創(chuàng)造性思維，教學也必將更加有效。

關(guān)鍵詞： 幾何壓軸題 命題反思 教學導向

2012年3月，筆者參與莆田市命制一份九年級質(zhì)量檢測試題，以抽查形式考試，了解不同縣區(qū)不同學校的教學情況，以便把脈診斷，指導教學，為中考做好彩排，能否實現(xiàn)檢測的預期目標，命題質(zhì)量的高低是關(guān)鍵，而壓軸題又是命制一份試卷的核心，試卷第24題是一道幾何圖形變化綜合題。以下我談談命制該題的經(jīng)歷，與各位同仁切磋交流，探究得失，共同提高。

一、命題的構(gòu)思

初中數(shù)學壓軸題，能區(qū)分優(yōu)良層次學生綜合利用所學知識解決問題的能力，是提高區(qū)分度的有效途徑。所以命制的壓軸題壓，既要符合學情，又要對教學起到指揮棒的引領作用。對探究活動過程的準確評價是命題的基本要求。探究活動過程中所表現(xiàn)出來的思考方式、操作水平，直接關(guān)系到對所學知識與方法的理解深度；考查學生能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并尋求證明猜想的合理性，并使用恰當?shù)臄?shù)學語言有條理地表達自己的數(shù)學思考過程。命題應從知識立意、能力立意過渡到過程立意，試題的考核應與過程性的目標相一致，體現(xiàn)出一定的思想方法和解決問題能力方面的要求。

由于幾何綜合題作為整份試卷的重點考查內(nèi)容之一，與其他的試題并列存在，并形成整套的考查體系，知識方法結(jié)構(gòu)融洽且互補，因此我們選擇了對問題形成過程的考查，這樣做有助于倡導新課標的教學方式，加強探索性問題考查，有利于學生有更多的自主探究的機會。在實施過程中還要關(guān)注：怎樣設問才能較好地讓學生展現(xiàn)自己認識問題和選擇解題策略的過程、探究問題和說理的思維活動過程、提出問題與解決問題的過程？什么樣的試題形式比較適合考查學生的數(shù)學活動過程？等等。中考前的預演，特別要考查學生的探究性學習能力與掌握數(shù)學思想方法的程度，難度系數(shù)要求控制在0.4～0.6。根據(jù)命題要求，將壓軸題命題方向確定為兩個：一是要有一定的綜合度，力求涉及“空間與圖形”，考查學生知識深廣度和融會貫通的能力；二是要圍繞數(shù)學核心知識，體現(xiàn)重要數(shù)學思想方法，考查學生數(shù)學素養(yǎng)和運用數(shù)學解決問題的能力。

二、試題命制過程

1.試題的形成

圖形變化是幾何綜合題的方向，一般分為運動型（點、線、面的運動）及圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似及位似變換）兩種，第24題凝聚了運動與變換，解題過程融合情推理與邏輯推理于一體。

初稿：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為射線CA上的一個動點（不與A、C重合），DE⊥直線AB于E，F(xiàn)是BD的中點，連接CF、EF.

（1）①如圖1，當BD平分∠ABC時，求證：△FCD≌△FDE；

②當AC=8，BC=6時，設CE=x，△DEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

（2）如圖2，點G是AB邊上的一個動點，當DG+FG的值最小時，DG與EF相交于O，猜想DO與GO之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

圖1 圖2 備用圖

2.科學性、適用性審核

（1）各小題之間的聯(lián)系不夠密切；

（2）第（1）②的計算較復雜。

AB=■=■=10

有兩種情況：（Ⅰ）當D點在AC邊上時，過F作FH⊥AB于H（如圖3）：

∵DF=BF，F(xiàn)H⊥AB于H

∴EH=BH，∴FH=■DE

∵sinA=■=■=■

∴DE=■AD=■（8-x），AE=■AD=■（8-x）

∴FH=■DE=■（8-x）

∴S=S■=S■=■BE·FH=■[10-■（8-x）]·■（8-x）

∴S=-■x■+■x+■（0

（Ⅱ）當點D在CA延長線上時，過F作FH⊥AB于H（如圖4）：

同理得：FH=■DE=■

∵BE=10+■（x-8）=■+■x

∴S=S■=S■=■BE·FH=■（■+■x）·■（x-8）

∴S=■x■-■x-■（x>8）

（3）圖形多，干擾因素就多，不利于學生正常發(fā)揮學習水平。

3.修改方案

改變條件和設問：

（1）把第（1）小題①的設問改為求FH的長（用含x的式子表示），顯然與②及第（2）小題的聯(lián)系會更密切，同時對第②步的解答有提示性的作用；

（2）把條件“CE=x”改為“AD=x”，計算量大幅度降低，避免學生因為計算而產(chǎn)生解題困難；

（3）去掉圖2，增強了考查學生空間想象能力和實際操作能力。

4.試題定稿

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是射線CA上的一個動點（不與A、C重合），DE⊥直線AB于E點，點F是BD的中點，過點F作FH⊥直線AB于H點，連接EF，設AD=x.

（1）①若點D在AC邊上，求FH的長（用含x的式子表示）；

②若點D在射線CA上，△BEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。

（2）若點D在AC邊上，點P是AB邊上的一個動點，DP與EF相交于O點，當DP+FP的值最小時，猜想DO與PO之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。

至此，上述探索過程中產(chǎn)生的問題全部解決，從試卷難度系數(shù)要求考慮，設置了兩個問題。從命題技術(shù)分析，結(jié)構(gòu)合理，難度適中，層層遞進，一道集實驗操作、猜想證明、應用探究于一體的綜合題型，考查了學生的分析、觀察、猜測、驗證、計算與推理能力。本題的知識點：角平分線性質(zhì)、三角形的外角、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)。融會了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、方程與函數(shù)、分類討論、數(shù)學建模，是一道綜合性較強的題目。試題解法多樣、思路開闊，能給予優(yōu)秀生充分施展才能的空間，因而試題呈現(xiàn)出良好的區(qū)分度。同時該試題的考核也與過程性的目標相一致，體現(xiàn)出一定的數(shù)學思考和解決問題能力方面的要求，因而能更好地培養(yǎng)學生的獨立思考能力和探索精神，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造意識與創(chuàng)新能力。

三、成績反饋

從與考學生中隨機抽查200份閱卷信息采集反饋情況：

從得分值的分布情況看，得9～12分的有46人，占23%；得5～8分的有81人，占40.5%；

得0～4分的有73人，占36.5%。符合預期的目標。難度系數(shù)為0.471，也在預估范圍之內(nèi)。

四、命題反思

1.對命題者編題的啟示

（1）積累典型題，探索新模型，提升命題技術(shù)。命題方面適度淡化幾何的推理與證明，適當滲透合情推理、猜證結(jié)合與算證結(jié)合，是新課標的理念；讓考生經(jīng)歷探究、猜想、驗證的科學發(fā)現(xiàn)與研究的一般過程，培養(yǎng)歸納、猜想、證明的思維品質(zhì)與習慣，進一步滲透幾何與代數(shù)相融合的觀念，幾何題中有代數(shù)解法，代數(shù)題中有幾何解法，感受數(shù)學的整體性與不可分割。命制一道寓意深遠、數(shù)據(jù)精巧、結(jié)構(gòu)良好、層次鮮明、邏輯嚴密、綜合度高、區(qū)分度好的度題，不僅需要教師具有良好的解題能力，而且需要具備融會貫通的命題策略和取材新穎、設問合理的命題技能。我們在平時的教學中應注意積累典型習題，關(guān)注常見模型，善于發(fā)掘歸納新模型，多進行變式、多研究試題結(jié)構(gòu)。當然，有必要進行命題技術(shù)知識培訓，提高命題的理論和實踐水平。

（2）熟練掌握知識間的聯(lián)系，正確把握命題方向。對核心知識的考查是命題的方向，只有熟練掌握教材中知識的縱向發(fā)展和橫向聯(lián)系，才能明確初中數(shù)學的核心知識與重要思想方法；所以命題者有較強的對知識駕馭、選擇能力，對思想方法的滲透、整合能力是成功命題的基礎。任何試題都承載著評價、反饋、診斷的諸多功能，更需要確立良好的教學導向，質(zhì)量檢測試題更要關(guān)注這些功能，立足教材，關(guān)注基本技能和核心知識，這才是學生能力提升和持續(xù)發(fā)展之本，也是教育的長久之計。

（3）以生為本，合理預知，提高命題效度。一道試題編制成功與否，效度是否理想，最終的檢驗是學生的解答是否正確。所以命題者需要了解學生的認知特點、知識儲備情況，對學生答題情況要有合理的預知，特別在用“幾何畫板”等軟件進行命題探索、構(gòu)題時，命題者更要擺正心態(tài)，讓大部分學生讀題后有思維的路徑可循。在試題成形后，還需要進行精加工，關(guān)注細節(jié)，注意題目結(jié)構(gòu)的嚴謹性和科學性，題目數(shù)據(jù)的易寫易算、題目表述的規(guī)范簡潔等，盡可能使題目人性化，提高試題效度。

2.對初中數(shù)學教學的啟示

﹙1﹚重視基礎，回歸教材，突出數(shù)學基本概念和基本原理的教學，注意數(shù)學各部分知識之間的銜接與聯(lián)系，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展背景、過程和本質(zhì)。初中數(shù)學教學必須面向全體學生，教學中要突出主干知識內(nèi)容，落實基本概念知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法的要求，特別要關(guān)心數(shù)學學習困難的學生，通過學習興趣培養(yǎng)和學習方法指導，使他們達到學習的基本要求，從而提高合格率。

﹙2﹚關(guān)注數(shù)學知識的形成過程，培養(yǎng)學生的動手、實驗、歸納、操作能力。《數(shù)學課程標準》非常重視學習過程和動手操作能力，數(shù)學教學絕不能只是學習數(shù)學的結(jié)論，而應強調(diào)知識的發(fā)生和發(fā)展過程，學生絕不能“只知其然，而不知其所以然”。教學中，要創(chuàng)造一定的空間和時間，重視學生對自我學習過程的品味和反思，使學生理解并掌握數(shù)學解題的方法與過程，弄清數(shù)學知識的來龍去脈。

﹙3﹚突出數(shù)學思想方法的教學，注重提高學生的數(shù)學思維能力，增強學生的自主探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新和實踐能力。數(shù)學不僅是一種重要的“工具”和“方法”，更是一種思維模式，其表現(xiàn)就是數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學基礎知識在更高層次上的抽象與概括，它蘊含于數(shù)學知識之中，是數(shù)學知識的精髓。《數(shù)學課程標準》要求學生能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。因此教學中應選擇具有代表性、典型性、研究性的問題給予仔細剖析、精講精練，摒棄追求繁、難、偏、怪的問題。在掌握通性通法的基礎上，進一步尋求其不同解題途徑和思維方法，善于打破已有的思維定勢，深化其蘊涵的數(shù)學思想，優(yōu)化、簡化解題方法，增強學生思維的廣闊性。

（4）利用探究性試題作為壓軸是試卷的特色之一，它具有一定難度，主要考查學生的閱讀能力、動手實踐能力、探索發(fā)現(xiàn)能力、合情推理能力、歸納概括能力。開放性試題有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力和邏輯思維能力，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。教師在教學中，可以從教材中的某個基本例、習題出發(fā)，采用綜合結(jié)論、合并圖形、改變設問方式、變換題設條件、互換條件結(jié)論等方法，對已有經(jīng)驗問題進行加工、變式、改造、整合，將其變式成新問題，使之“貌似原題，又不同于原題”，讓學生從不同角度去思考和探索問題，從而加深對知識內(nèi)涵、外延的理解，以求在變化中拓展學生思維，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提升學生的創(chuàng)新思維能力。

命制一道好的試題，需要命題組人員的共同努力。不僅需要命題者自身有左沖右突、縱橫馳騁、絕路逢生、柳暗花明的解題能力，而且需要具備高屋建瓴、融會貫通、縱橫拓展的命題策略和取材新穎、設問合理、貼近學生實際的命題技能。壓軸題是經(jīng)過命題者精心編制的，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，只有教師認真鉆研，學會拓展延伸、類比遷移，才能從一個單純的執(zhí)行者轉(zhuǎn)變?yōu)殚_發(fā)者，從而能夠更好地訓練學生的創(chuàng)造性思維，教學也必將更加有效。

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