《小學教學》（數學版）2011年第12期上發(fā)表了曾小平和韓龍淑老師撰寫的《三角形內角和的證明與教學》一文，文中指出：“在小學數學里，很多數學結論都是通過歸納發(fā)現(xiàn)的，并沒有通過嚴格的證明就直接開始運用。這似乎是一種殘缺，遺憾的是，小學數學的知識量有限，不可能完全彌補這一殘缺。然而‘三角形內角和為180°’卻是能彌補這一殘缺的為數不多的知識點。因而對它的教學，要讓學生經歷發(fā)現(xiàn)與證明的基本過程，滲透歸納與演繹兩種基本的數學思想方法。”由此可見，曾老師認為用小學生已經學過的數學知識可以通過演繹推理的方法來證明“三角形的內角和是180°”。這種想法是很好的，但可惜的是，僅用小學生學過的數學知識通過演繹推理的方法來證明“三角形的內角和是180°”是辦不到的，教師只能容忍這種“殘缺”。
　　曾老師設計的教案中，第一部分是讓學生運用猜想、圖形剪拼、測量、歸納等方法發(fā)現(xiàn)這樣一個結論：“三角形的內角和是180°”，第二部分教學內容就是運用演繹方法證明結論（教學過程如下）。
　　“（二）運用演繹方法證明結論
　　師：三角形的內角和確實是180°，如何用我們學過的數學知識來證明這個結論呢？
　　生：對于直角三角形，可以用兩個完全一樣的直角三角形拼成一個長方形（圖略）。長方形四個角是直角，其內角和為90°×4=360°，這樣每個直角三角形的內角和為180°。對于銳701c65798076dd9a182ba8c9d41da0f0b7ee8628f66f6e0a8b204f51efda872d角和鈍角三角形，我還沒想出來。
　　生：對于非直角三角形，可以在內部作一條高，將其分成兩個直角三角形（圖略）。這樣兩個直角三角形的內角和為360°，減去高與底邊所成的兩個直角的度數，就得到所求的非直角三角形的內角和為180°?！?br/>　　師：嗯，非常好！這樣，我們就成功地證明了‘三角形的內角和為180°’這個非常重要的數學結論?！?br/>　　事實上，這個被教師稱為“成功的證明”并不是用演繹推理方法進行的“證明”，其“證明”過程中存在著兩個值得商榷的問題。
　　一、 “長方形的內角和是360°”是怎么得到的
　　證明過程中用到了“長方形的內角和是360°”這個結論，這個結論是怎么得到的？
　　一般地，“四邊形的內角和是360°”是通過將四邊形用對角線分成兩個三角形，再由“三角形內角和是180°”推導出來的。因為長方形是四邊形，所以內角和是360°（當然也可直接將長方形分成兩個三角形進行推導）。人教版教材在“三角形內角和”的教學中還安排了這樣一個練習：“根據三角形內角和是180°，你能求出下面的四邊形和正六邊形的內角和嗎？”由此可知，小學中求多邊形內角和確實以“三角形內角和是180°”為依據。這樣一來，證明過程就會有“循環(huán)證明”之嫌。好在長方形是特殊的四邊形，教師可以不用“三角形內角和是180°”為依據，而是可以根據它的定義“有一個角是直角的平行四邊形是矩形（長方形）”及平行線的某些性質（例如同旁內角互補）推導出長方形四個角都是直角，從而得到了“長方形內角和是360°”的結論，但是“平行線的性質”是初中數學的教學內容，并不是四年級小學生所掌握的知識，論證過程中不好應用。曾老師也許考慮到了這一點，因此提出了另一種說法，認為長方形四個角都是直角是“默認為正確的而不加以證明，相當于平面幾何中的公理”。為了證明需要，就把“長方形四個角都是直角”當作“公理”而不加以證明，并且把它當作演繹推理的依據，這樣處理不是很妥當。其實，即使把“長方形四個角都是直角”當作“公理”，僅用小學數學中的一些知識，要用演繹法來證明“三角形的內角和是180°”也是做不到的。
　　二、 兩個完全一樣的直角三角形為什么可以拼成一個長方形
　　學生在開始“證明”時就提出：“可以用兩個完全一樣的直角三角形拼成一個長方形?！边@正是“證明結論”的關鍵。然而，正是這句話出了問題。試想在還不知道直角三角形的內角和是180°時，怎么能知道這樣兩個直角三角形一定能拼成一個長方形呢？
　　為了方便，筆者借助圖形來說明問題。
　　假設△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是兩個完全一樣的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把這兩個三角形如圖所示拼起來，如果能拼成一個長方形，那么必須滿足條件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，當你說“可以用兩個完全一樣的直角三角形拼成一個長方形”時，已經應用了直角三角形的內角和是180°”這個結論。這樣一來，證明過程就形成了這樣一個怪圈：先默認直角三角形的內角和是180°，否則它的兩個銳角就不能拼成一個直角）→它的兩個銳角可以拼成一個直角→兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形→長方形內角和是360°→每個直角三角形的內角和是180°。顯然，用這樣的方法來證明“三角形的內角和是180°”是錯誤的。這種“證明”方法的實質是用直角三角形的兩個銳角拼一拼，而且沒有任何理由就認定了這兩個銳角拼成了一個直角，這根本不是在用“演繹方法”證明“直角三角形的內角和是180°”。再以此結論為依據來證明“非直角三角形的內角和也是180°”就失去了意義。像這種錯誤的“證明”也并不鮮見，例如在《中小學數學》2009年第12期中刊登的《“三角形內角和”一課的教學現(xiàn)象分析與思考》一文中也是用這種方法證明的，在公開發(fā)表的這些文章影響下，估計這樣的錯誤證法還會在課堂教學中出現(xiàn)，對此教師應該予以足夠重視。
　　要證明“三角形的內角和是180°”是需要以平行線的性質為基礎的，在初中數學教材中，應用平行線的性質很容易用演繹推理的方法證明這個結論（證明略）。華東師大的張奠宙教授曾在《小學教學》（數學版）2011年第3期中指出：“要證明三角形內角和的定理，平行公理無論如何是繞不過去的?！憋@然，學生在未掌握平行線性質的情況下，要用演繹推理的方法來證明“三角形內角和是180°”是不可能的，而事實上也是沒有必要的?！稊祵W課程標準（實驗稿）》第24頁對這一內容提出的教學目標是了解“三角形內角和是180°”，與四年級下冊數學教材（人教版）配套的《教師教學用書》第135頁上對這一內容提出的教學目標是知道“三角形的內角和是180°”。有些教師在實際教學中總是喜歡拔高教學目標，例如對于“三角形內角和”這一教學內容，不僅要學生“知道三角形內角和是180°”，而且還要求他們用演繹推理的方法來證明，這樣做有時真的會“弄巧成拙”。
　　文中不妥之處敬請各位老師批評指正。
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