本期和下一期刊登的校本教研活動方案，將研究如何進行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學，并通過兩位數(shù)乘法這個案例，討論如何實施算法多樣化的問題。這是一種有明確主題的教研活動，試圖以點帶面地展開研究，要通過兩位數(shù)乘兩位數(shù)這個點，研究計算教學中的一些共性問題。因此，在這樣的教研活動中，不但要注重研究如何進行兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課的教學，而且還要通過這節(jié)課的研究，探討在其他的計算課中實施算法多樣化的理念與途徑。
　　一、 活動目標
　　1． 經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同事交流，關于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學和如何實施算法多樣化的相關資料與問題。
　　2． 能夠思考兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課的情境創(chuàng)設；能夠比較不同版本教材中情境創(chuàng)設的異同。
　　3． 通過了解兩位教師的不同教學設計的目標，能夠思考不同的數(shù)學教學價值觀。
　　4． 能夠思考算法優(yōu)化的標準，并能夠在自己的教學中引導學生比較各種算法的特點。
　　二、 活動內(nèi)容、形式與時間
　　1． 數(shù)學組每位教師獨立解答關于兩位數(shù)乘兩位數(shù)以及如何實施算法多樣化的相關問題，不集中，由每位教師自己抽時間書面解答問題，時間約2小時。
　　2． 與同事交流獨立解答出的問題答案，時間約1小時。
　　3． 教研組確定一位教師上一節(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教研課，數(shù)學組其他老師聽課。時間約40分鐘。（也可以上一節(jié)新課，再上一節(jié)練習課）
　　4． 評課與交流。（1）結合聽課筆記，獨立寫出評課提綱，時間約15分鐘；（2）數(shù)學組教師進行評課交流，時間約45分鐘。（一個年級如果有兩個或兩個以上的數(shù)學教師，可以在獨立寫出評課提綱的基礎上，先進行年級組數(shù)學教師交流，并確定一人代表年級組到交流會上發(fā)言。最后，全體數(shù)學教師評課交流。）
　　可以根據(jù)學校教研活動的時間和教研組教師的情況，選擇下面“活動前準備”中的一些問題進行解答與交流。
　　三、 活動前準備
　　解答下面的問題，并準備交流。（注：以下帶有“*”號表示問題有一定的難度。）
　　1． 根據(jù)你們學校使用的這套教材，學生在學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課之前，有哪些經(jīng)驗、知識、能力與之關系密切？
　　2． *你認為兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)內(nèi)容，應該在哪一個年級進行教學？查一查不同版本的教材，了解一下它們是安排在哪一個年級進行教學的？為什么這樣安排？
　　3． *如果你去上兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課，你會通過創(chuàng)設一個現(xiàn)實生活中的問題情境，來引出要計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題嗎？還是直接出示一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，師生共同解決？為什么？
　　4． 如果你上兩位數(shù)乘兩位數(shù)這節(jié)課，并想創(chuàng)設一個現(xiàn)實生活的情境，你會創(chuàng)設一個什么樣的情境？你會用一個怎樣的算式，作為第一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式讓師生共同來解決？你用的第一個算式是進位乘法，還是不進位乘法？為什么？
　　5． *查一查不同版本的教材，看一看這些教材中用到的第一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式是什么？這些算式中的兩位數(shù)有什么特點？從算法多樣化的角度看，在計算這些算式的結果時，哪些算式容易出現(xiàn)多種算法？哪些算法會少一些？為什么？
　　6． 閱讀下面三個版本的教材，看一看它們各用了哪些現(xiàn)實生活的情境？你喜歡哪一個情境？為什么？
　　7． 上面三個版的教材中，每一套教材都創(chuàng)設了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的現(xiàn)實生活情境，有的要求先提出問題，有的在情境中還有對話。
　?。?） 你在教學時，會要求學生根據(jù)上面的情境與對話，表達成一個完整的數(shù)學問題嗎？如果以人教版教材為例（下同），你是否先要求學生根據(jù)買書的情境和人物的對話，說出一個完整的數(shù)學問題，如“已知一套書是12本，每本書是24元，買一套這樣的書一共要付多少錢？”如果這樣做，有什么利弊？
　?。?） 根據(jù)教材體系，學生之前沒有接觸過兩位數(shù)乘兩位數(shù)這一內(nèi)容，你會先要求學生獨立嘗試列算式嗎？為什么？會有學生能夠列出算式24×12嗎？如果能，原因是什么？如果有些學生不能列出24×12的算式，可能是哪些地方遇到了困難？
　　8． 你覺得，如果讓學生獨立地去解決24×12=？這個計算問題，學生可能會出現(xiàn)哪些不同的計算方法？下面的這些計算方法學生有可能出現(xiàn)嗎？
　?。?） 24×12=24+24+…+24（12個24相加）；
　?。?） 24×12=12+12+…+12（24個12相加）；
　?。?） 24×12=24×10+24×2；（4） 24×12=12×20+12×4；
　　（5） 24×12=24×3×4；（6） 24×12=24×2×6；
　　（7） 24×12=12×4×6；（8） 24×12=12×3×8；
　?。?） 24×12=24×20-24×8；（10） 24×12=12×30-12×6；
　?。?1） 24×12＝24÷8×12×8；（12） 24×12＝12÷6×24×6
　　（13） 用豎式計算的方法。
　　9． *你覺得，上面的這些方法都能夠結合教材創(chuàng)設的情境說出它們的實際意義嗎？比如對于24×12＝24×10+24×2這樣的算法，可以解釋為：10本書是24×10（元），2本書是24×2（元），所以24×10＋24×2表示了12本書一共需要的錢數(shù)。你覺得，上面六套教材的情境中，哪一個情境更能夠解釋上面這些算法的實際意義？
　　10. 如果有學生只是用上面的加法計算，也就是用24個12相加或12個24相加計算出了正確的結果288，對這樣的學生你怎么進行評價？你會表揚他們嗎？為什么？你認為如果學生有其他的方法，他們還會用加法進行計算嗎？為什么？有位教師認為應該表揚，并且用了下面的評價引導語：“你很了不起，很有耐心與毅力，做了一般的同學與老師都沒有做的事。你也很清楚什么叫乘法，用的方法是萬能的，計算的結果也是正確的。但你的計算方法的步數(shù)比較多，請你與其他同學交流，看一看他們運用了什么方法，有沒有你認為更好的方法。”你覺得這樣的反饋評價語言合適嗎？為什么？
　　11． 在解決24×12這個題目時，有多種不同的計算方法，你會要求學生至少要用兩種方法計算出結果，還是只要求學生計算出正確的結果就可以了？為什么？
　　12． 提倡計算方法多樣化，是要求每一個學生對計算題都有兩種或兩種以上的計算方法？也就是算法多樣是不是教學的一個基本要求，每一個學生都要做到，還是只要求能力強的學生有多種不同的方法？對一般的學生來說，先要求用一種方法計算出結果，并進一步思考有沒有其他的算法？算法多樣化是對一個學生集體來說的，還是對每一個學生個體而言的？
　　13． 在上文中列舉了解決24×12的13種方法，在這些方法中，有的是具有一般性的方法，運用這種思路可以解決所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題，如上面的第（3）種方法：24×12＝24×（10＋2）＝24×10＋24×2，它是把一個兩位數(shù)分拆成一個整十數(shù)與一個一位數(shù)的和，然后運用乘法分配律，把一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算問題化歸成兩位數(shù)乘整十數(shù)與兩位數(shù)乘一位數(shù)的和。這種思路是帶有一般性的。而像第（5）種24×12＝24×3×4的方法，只是適合這個兩位數(shù)能夠分解為兩個一位數(shù)相乘這類計算問題。運用這種思路就不能解決像29×13這樣的問題。因此，這種方法帶有特殊性。你認為應該重視引導學生學習帶有一般性的方法，還是應該重視引導學生學習帶有特殊性的方法？為什么？
　　14． 在教學中，如何讓學生意識到有些方法具有一般性，有些方法帶有特殊性？你覺得引導學生對多種算法進行分類有什么教學價值？如何引導學生選擇不同的標準對多種計算方法進行分類？
　　
　　15． 浙教版教材的編排中，先創(chuàng)設了多個不同的情境，讓學生提出數(shù)學問題，然后從計算籃球場的面積入手，展開兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學過程。請你先讀一讀下面的教材，再回答問題。
　　（1） 在學生運用多種方法計算28×15后，為什么要讓學生去比較23×19與28×15的大小？
　?。?） 讓學生計算23×19與計算28×15在算法多樣上有什么不同？學生經(jīng)歷這樣的過程有什么好處？
　?。?） 你覺得在教學中，有必要把23×19的豎式計算的三步過程都展示出來嗎？為什么？
　?。?） 以前的教材常常會出示兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的計算法則，現(xiàn)行教材一般都不出示這個法則，你覺得有必要出示計算法則嗎？出示筆算的計算法則有什么利和弊？為什么？
　　16． 下面是兩個不同的教學主要流程，請你先閱讀，再回答問題。
　　課堂教學流程一：
　　1． 復習舊知：兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十數(shù)。
　　出四個題目：24×6、24×10、16×20、16×4。讓四個學生到黑板上進行板演，其他學生在草稿紙上獨立做。完成后，反饋校對，并讓學生說一說，如何進行兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十數(shù)的計算。
　　2． 引入新知：從兩位數(shù)乘一位數(shù)引出兩位數(shù)乘兩位數(shù)。
　　在學生用豎式計算24×6的基礎上，在乘數(shù)的十位上寫上一個數(shù)1，從而使得兩位數(shù)乘以一位數(shù)的題目（1），變成兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的題目（2）。
　　3． 展開新知：教師與學生一起重點研究第（2）個算式，研究第二個乘數(shù)16十位上的1應該怎樣乘，逐步得出兩位數(shù)乘兩位數(shù)中乘的順序，積的定位。
　　得出筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的三條法則：先用一個乘數(shù)個位上的數(shù)去乘另一個乘數(shù)，得數(shù)的末位和個位對齊；再用這個乘數(shù)十位上的數(shù)去乘另一個乘數(shù)，得數(shù)的末位和十位對齊；最后把兩次乘得的數(shù)加起來。
　　4． 鞏固新知：讓學生根據(jù)筆算法則，解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目，做練習，以便能夠較好地應用法則進行計算，能夠鞏固技能。出題目時，從不進位到進位，從一次進位到兩次進位。如讓學生計算12×34、34×13、76×58等等這樣的題目。
　　5． 回顧小結：讓學生回顧這節(jié)課學習的內(nèi)容，說一說有什么收獲。
　　6． 課外作業(yè)：布置學生做課本上或課堂練習中的題目。
　　課堂教學流程二：
　　1． 創(chuàng)設情境，明確待解問題。
　　上課開始，教師出示問題：某種飲料一箱是24瓶，買這樣的飲料16箱，一共有多少瓶？請每一個同學都估計與猜測，大約是多少瓶。并把自己估計的數(shù)寫在紙上，然后想一想，有什么辦法來說明，你估計與猜測的結果是正確的或者比較接近正確答案，學生得出需要計算：24×16=？
　　2． 獨立思考，嘗試解決問題。
　　要求每個學生都安靜地獨立思考，嘗試解決24×16＝？這個問題。如果已經(jīng)找到一種方法計算出了結果，想一想，有沒有其他的方法，盡量用不同的方法解決這個問題。
　　3． 梳理思路，準備小組交流。
　　先整理一下自己已有的研究成果，想一想也可以寫一寫：如果你在小組里發(fā)言，你準備講哪幾點，說哪幾句話？（準備的過程是學生對自己的算法進行反思與梳理的過程，也是進一步提升的過程）
　　4． 小組交流，相互取長補短。
　　一般以四人小組為單位交流每個學生的計算結果與方法。在小組內(nèi)交流時，要一個一個輪流發(fā)言。一個同學在發(fā)言時，其他的同學要注意傾聽，并作適當?shù)挠涗?，主要記錄自己沒有想到的方法。每位學生盡量不要重復其他同學已經(jīng)說過的方法。
　　5． 整理成果，準備全班匯報。
　　小組交流結束后，組內(nèi)的同學要討論與整理，把自己組中的計算方法加以歸類，并指定一個同學向全班進行匯報。
　　6． 全班匯報，匯總歸納策略。
　　讓部分小組的代表報告研究成果，其他小組可以補充。原來自己小組中沒有想到的計算方法，可以記錄下來。學生一般有以下幾種解題策略：
　　（1） 24+24+…+24=384（16個24相加）；
　　（2） 16+16+…+16=384（24個16相加）；
　　（3） 24+24+…+24=192（8個24相加），192×2=384；
　?。?） 16+16+…+16=192（12個16相加）， 192×2=384；
　?。?） 24×2×8=384；（6） 24×4×4=384；
　?。?） 16×4×6=384；（8） 16×3×8=384；
　?。?） 16÷2=8，24×8=192，192×2=384；
　?。?0） 24×10+24×6 =384；（11） 16×20+16×4=384；
　?。?2）
　?。?3） 24×20-24×4=384；（14） 16×30-16×6=384；
　　（15） 16×10+16×10+16×4=384；
　　師生共同總結、歸納這些解題方法的共同特點：把一個“新”的問題轉化成為一個“老”問題來解決。即把一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目轉化為加法或兩位數(shù)乘整十數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)來解決。
　　7． 回顧過程，總結學習方法。
　　師生共同回顧，這節(jié)課我們研究的是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題，研究的過程是：猜測結果—獨立解答—小組交流—全班匯報—歸納總結。通過這節(jié)課的學習我們知道了：如果飲料一箱是24瓶，這樣的飲料16箱，一共有384瓶。解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題可以有許多種不同的方法。我們同學之間相互交流，常常會學到一些新的解決問題的方法。
　　請你解決以下問題：
　　（1） 你覺得，在第一個教學流程中，學生會有多種不同的計算方法嗎？為什么？如果沒有，教師在引導中起了什么作用？
　?。?） 你覺得，在第二個教學流程中，學生自己能夠想出很多計算方法嗎？如果能，主要原因是什么？學生能夠產(chǎn)生多種計算方法，教師起了哪些作用？
　?。?） 比較上面的兩個教學流程，你覺得主要有什么不同？用第一個教學流程進行教學的教師，他們可能想追求什么教學價值？用第二個流程的教師呢？
　?。?） 如果讓你給這兩個教學過程寫上課堂教學目標（分過程性目標與結果性目標進行闡述），那么，你分別會寫出哪些目標？請你寫一寫。
　?。?） 如果一位教師基本上采用流程一的模式進行教學，而另一個教師基本上采用流程二的模式進行教學，那么，這兩個教師教學的學生可能會有什么差異？為什么？
　?。?） 上面兩個不同的教學流程都是新課教學，當新課教學結束時，就筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的運算技能來說，運用哪一個教學流程學生的技能會更熟練？一般的教材都在新課后，還安排一節(jié)兩位數(shù)乘法的練習課，當再上一節(jié)練習課后，學生的運算技能是否還會有差異？為什么？
　　（7） 教學流程二中所創(chuàng)設的現(xiàn)實生活情境（買飲料），是否比前面六套教材所創(chuàng)設的情境更容易實現(xiàn)算法多樣化？更容易解釋每一種計算方法的實際意義？為什么？
　　17． 下面是一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的問題，你覺得學生可能會怎么解決這個問題？讓學生去解決這樣的問題，有什么價值？
　　問題：小明在解決“三（1）班共有36人，如果每人要買27本作業(yè)本，那么一共要買多少本作業(yè)本？”這個問題時，列出了以下的豎式，他的計算是正確的嗎？
　?。?） 如果每人買7本作業(yè)本，一共要買多少本？
　?。?） 如果每人買20作業(yè)本，一共要買多少本？
　　你覺得，一個班級中有百分之幾的學生會重新列豎式計算，來解決上面的這兩個問題？有百分之幾的學生會利用上面的豎式解決這兩個問題？不能利用上面的豎式解決問題的學生，主要的原因是什么？
　　18． 學生如果用豎式計算45×67＝？，那么要多少步計算才能正確計算出最終結果？如5×7＝35（第一步），4×7＝28（第二步），28＋3＝31（第三步）等等。學生可能會在哪一步出現(xiàn)錯誤？為什么？怎樣才能避免學生發(fā)生這種錯誤？
　　
　　19． 你覺得，讓學生多做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目，是不是就能夠讓學生正確和熟練地計算？如果讓學生機械做題，會不會因枯燥乏味而注意力不集中，正確率下降？
　　20． 在文學中有一些句子，從左往右讀和從右往左讀是完全一樣的，如上海自來水來自海上；歌唱家在家唱歌等，這樣的句子稱為回文句。在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習中，也可以利用回文的思路，讓學生探索與練習。如對于算式21×24，從左往右讀是二十一乘二十四。從右往左讀是四十二乘十二，即42×12，兩個算式顯然不是兩個完全一樣的算式，但21×24與42×12的積會相等嗎？可以讓學生用豎式算一算，學生很快就會發(fā)現(xiàn)：21×24＝504，42×12＝504，所以21×24＝42×12。我們不妨稱這樣的算式為回文算式。又如，對于算式63×48，從右往左讀是84×36。這兩個算式的計算結果是不是也會相等呢？讓學生用豎式算一算，也會發(fā)現(xiàn)63×48＝3024，84×36＝3024，所以又可以得到一個回文算式63×48＝84×36。讓學生探索：①請先寫一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，再從右往左讀得到另一個算式，算一算，這兩個算式的計算結果相等嗎？如果有人說：“任何一個兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，把這個算式從右往左讀得到另一個兩位數(shù)乘法的算式，這兩個算式的計算結果一定都是相等的?！蹦阃膺@樣的說法嗎？為什么？②下面的這些等式成立嗎？算一算。42×48＝84×24；36×42＝24×63；14×82＝28×41；76×34＝43×67；26×93＝39×62。③什么樣的兩個兩位數(shù)相乘，可以使得從左往右讀與從右往左讀得到的兩個算式的計算結果相等？你能找到這樣的算式嗎？動手找一找。
　　你覺得，讓學生去解決上面的問題，除了能夠進一步熟練兩位數(shù)乘兩位數(shù)的技能外，還有哪些教學價值？
　　21． 你能夠證明下面的這個命題嗎？試一試。
　　命題：如果a、b、c、d是四個數(shù)字，ab上面畫一條短線，表示由a、b這兩個數(shù)字組成的兩位數(shù)，那么等式ab×cd＝dc×ba成立的充要條件是ac=bd。
　　22． 三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式中，也有像兩位數(shù)乘兩位數(shù)這樣的回文算式嗎？如等式132×42＝24×231成立嗎？如果也有這樣的規(guī)律，請你寫出一個類似第2１題這樣的命題，并對命題進行證明。
　　本刊將在2012年第3期繼續(xù)刊發(fā)“如何進行兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學——算法多樣化教學研究”校本教研活動方案（二），敬請關注！
　　 （以上活動方案中問題的相應參考答案略）
　?。ㄕ憬『贾菔猩铣菂^(qū)教育學院 310006）