【設(shè)計背景】
　　對于同樣一個數(shù)學(xué)問題，教師可以從不同角度進(jìn)行研究，如“植樹問題”，如果從“棵數(shù)與間隔”的關(guān)系進(jìn)行研究，就是常見的“植樹問題”；如果從“每行棵數(shù)與栽的行數(shù)”的角度進(jìn)行分析，就成為了“杰克遜的栽樹問題”。杰克遜是一位數(shù)學(xué)科普作家，在他的數(shù)學(xué)科普名著《冬天傍晚的推理娛樂》里有這樣一道題目：
　　9棵樹，每行栽3棵，最多可以栽幾行？
　　這里，只要在同一直線（包括橫、豎、斜）的3棵樹都稱為行。
　　人們一般會認(rèn)為最多可以栽8行（如圖1）。如果告訴你，實際上可以栽成9行，最多可以栽成10行，你能在左圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，得到相應(yīng)的圖示嗎？
　　據(jù)說，大數(shù)學(xué)家牛頓也對這個問題進(jìn)行過思考，而且還進(jìn)一步提出了如下問題：
　　10棵樹，每行栽3棵，最多可以栽幾行？
　　類似這樣的“栽樹問題”，英國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家道奇生在他的童話名著《艾麗絲漫游仙境》中也提出了下面一道栽樹問題：
　　10棵樹栽5行，每行栽4棵。如何栽？
　　而對于“20棵樹每行栽4棵，最多可以栽幾行”這一個問題的研究，綿延了幾個世紀(jì)。
　　從上述資料可以看出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程永遠(yuǎn)不能滿足于對當(dāng)前問題的解決，而要不斷地提出問題，解決問題，再提出問題，再解決問題……從而使數(shù)學(xué)思考更具活力。
　　【教學(xué)目標(biāo)】
　　1． 經(jīng)歷“栽樹問題”的研究過程，逐步學(xué)會利用基本圖示進(jìn)行變式優(yōu)化的策略。
　　2． 通過對“栽樹問題”解答過程的了解與圖示的欣賞，感受數(shù)學(xué)愛好者與數(shù)學(xué)家的探究精神，以及數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。
　　【活動過程】
　　一、 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
　　師：同學(xué)們，今天我們來研究一類問題，叫做栽樹問題。
　　師課件出示：9棵樹，每行栽3棵，可以栽多少行？
　　師：誰能回答？
　　生：3行。
　　師課件出示圖２的左邊部分并說明：用圖來表示這樣的過程，就更加清楚了，但在實際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們需要畫出一棵棵樹來嗎？那么，怎樣才能清楚、簡潔地表示樹和行呢？
　　生：用點和線來表示。
　　根據(jù)學(xué)生的回答教師出示圖２的右邊部分。
　　師：如果老師給這道題加上一句話“三棵樹成一條直線就成為行”，相信題目會更加有趣了。關(guān)于這個“行”，你是怎么理解的？
　　師：我們平常的“行”，是怎么樣的呢？（生答）那這里的“行”和我們以前理解的“行”，一樣嗎？（生答不一樣）
　?。c評：怎樣將一個著名的“高高在上”的數(shù)學(xué)問題和學(xué)生已有知識起點連接，是這節(jié)課要突破的問題。教師首先引導(dǎo)學(xué)生用原有的認(rèn)識基礎(chǔ)進(jìn)行審題，從最簡單的栽成3行開始逐步研究，然后在對“行”的新注解下提出問題，找準(zhǔn)了思維的增長點。）
　　二、 由簡到繁，遞推規(guī)律
　　1. 從栽8行推導(dǎo)栽9行
　　師：在這個題目中，除了這3行，還有其他行嗎？
　　生：可數(shù)出8行。
　　教師課件演示圖3后，追問：同學(xué)們真善于活學(xué)活用，那么為什么棵數(shù)沒有增多，行數(shù)卻增多了呢？
　　生：有一些重復(fù)數(shù)。（師板書：重復(fù)數(shù)）
　　師：哦？重復(fù)？那你知道9棵樹分別被重復(fù)了幾次？
　　生：2次、3次、4次。
　　師：這些樹的重復(fù)次數(shù)都一樣嗎？（有些一樣、有些不一樣）
　　師：有些一樣，有些不一樣，那我們可以把這些點進(jìn)行——
　　生：分類。
　　師：對啊，看來同樣是重復(fù)，但重復(fù)的次數(shù)也不一樣。
　　師：對于同類的樹，就不需要一一研究了，其實這里是9棵樹，而我們待會研究卻只需要——
　　生：3棵樹。
　　師：聰明。那么這是不是我們要來研究的栽樹問題呢？
　　師課件出示題目：9棵樹，每行栽3棵，栽9行，你覺得可以怎么栽？
　　師：你想到了嗎？在紙上畫一畫。完成后同桌相互交流。
　　集體交流，重點提問：你是怎么想到移動這個點的？為什么想到往里面移動？（見圖4）
　　小結(jié)：在這個過程中，大家通過自己探索嘗試，通過和同伴的交流討論，解決了這道推理題，真棒。
　　（點評：由栽8行推導(dǎo)栽9行，教師要求學(xué)生借助于栽8行的圖示進(jìn)行思考，為學(xué)生提供了一個思考的起點和思維的支架，有利于中下學(xué)生的理解。同時，教師在教學(xué)中用重疊問題的思考方法來區(qū)分不同點被重復(fù)的次數(shù)，也為學(xué)生總結(jié)增加行數(shù)的基本策略提供了思考的方向。這些小步驟重引導(dǎo)的方法，有利于社團(tuán)活動基礎(chǔ)相對較弱學(xué)生的學(xué)習(xí)。）
　　2. 從栽9行推導(dǎo)栽10行
　　師：剛才我們研究的問題，大數(shù)學(xué)家、大科學(xué)家牛頓也曾經(jīng)研究過，他在解答了這個問題之后還發(fā)現(xiàn)：9棵樹，每行栽3棵，還可以栽10行。
　　師：我們能在9行的基礎(chǔ)上，解決牛頓提出的問題嗎？
　　這時有人明白了，開始自己畫圖（如圖５）。
　　師：同學(xué)們，你知道他是怎么想出來的嗎？請你也說一說思路。
　　（點評：實際上，9棵樹每行栽3棵，栽成9行，還有其他的畫法（如圖６）。但是，就如何從9行的圖示遷移到10行的圖示，顯然圖５的畫法更能使學(xué)生形成聯(lián)想。因此，在實際教學(xué)中，教師在追求方法多樣化的同時，還要注意方法的可持續(xù)性。）
　　3. 總結(jié)“9棵樹，每行栽3棵”栽樹問題的思路
　　師：在解決“9棵樹，每行栽3棵，可以栽幾行”這個問題時，我們從8行的圖示開始研究，找到了9行、10行這一些畫法。你有什么體會？
　　學(xué)生談體會后教師小結(jié)：當(dāng)我們得到一種結(jié)果或者結(jié)論的時候，不應(yīng)滿足于現(xiàn)狀，還要繼續(xù)研究，像牛頓一樣繼續(xù)思考，敢于提出自己的問題。
　　（點評： “9棵樹，每行栽3棵”的栽樹問題，從解決8行，到9行再到栽成10行，一步一步讓學(xué)生的思維不斷發(fā)展，而在整個過程中，指導(dǎo)學(xué)生解題的思維就是“探尋規(guī)律”，涉及“分類、重復(fù)、類比”等方法，通過解決這個問題的過程，不僅讓學(xué)生形成解決栽樹問題的基本思路，更讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)探究的精神。）
　　三、 鏈接史料，感悟精神
　　1. 鏈接史料
　　師：同學(xué)們，其實“栽樹問題”是一個古老的數(shù)學(xué)問題，讓許多的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者為之著迷。下面我們以“20棵樹每行栽4棵，可以栽幾行？”這個問題為例來了解它的歷史。
　　早在16世紀(jì)時，古埃及完成了16行的排列，并將美麗的圖譜廣泛應(yīng)用于高雅裝飾建筑、華麗工藝美術(shù)。（課件出示圖７）
　　到了19世紀(jì)，美國的數(shù)學(xué)大師loyd Sam 完成并繪制出了精美的18行圖譜，而后還制成娛樂棋盛行于歐美。（課件同時出示圖８）
　　在20世紀(jì)70年代，兩位數(shù)學(xué)愛好者巧妙地運用電子計算機超越18行紀(jì)錄，成功地繪制出了精湛美麗的20行圖譜，創(chuàng)造了20棵樹的栽樹問題的新紀(jì)錄并保持至今。（課件同時出示圖９）
　　2. 感悟精神
　　教師把圖７、圖８、圖９用箭頭連接，然后提問：從“16行、18行到20行”，經(jīng)歷了近400年的探索，你肯定有很多體會，愿意和同學(xué)們說說嗎？
　　生：同樣的問題，有很多答案出現(xiàn)。
　　生：不要滿足于解決了一個問題，還要繼續(xù)思考，并且提出問題。
　　生：要有研究精神。
　　師：同學(xué)們，了解了這么多關(guān)于栽樹問題的背景知識，你能提出自己的猜想嗎？
　　生：20棵樹，每行4棵。還能栽更多的行數(shù)嗎？
　?。c評：“栽樹問題”是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，通過上面的例子，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)研究的漫長與艱辛。同時通過對這些圖示的賞析，也可以體會到圖例的美感，以及數(shù)學(xué)名題的文化背景。）
　?。ㄕ憬『贾菔惺捝絽^(qū)益農(nóng)鎮(zhèn)中心小學(xué) 311200
　　浙江省杭州市蕭山區(qū)教研室 311200）