宣 傳，徐慧芳，解光軍

(合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院，合肥230009)

隨著DC-DC變換器技術(shù)的迅猛發(fā)展，對開關(guān)電源的建模方法提出了更高的要求。電路中的很多非理想因素都要考慮，為了能用理想變換器的建模方法，建模前的一些理想化處理變得非常重要。考慮濾波電容串聯(lián)等效電阻后，會在控制-輸出傳遞函數(shù)上附加一個高頻零點(diǎn)，這個高頻零點(diǎn)會影響開關(guān)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以必須引入補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，對這個高頻零點(diǎn)進(jìn)行抵消。

1 非理想Buck變換器等效電路

Buck變換器考慮其非理想寄生參數(shù)［1-3］的等效電路如圖1所示，其中有源開關(guān)功率MOSFET等效為開關(guān)S和導(dǎo)通電阻RS的串聯(lián)，二極管D等效為開關(guān)D、正向壓降VD和導(dǎo)通電阻RD的串聯(lián)，RL、RC分別為濾波電感L、濾波電容C的等效串聯(lián)電阻。假設(shè)開關(guān)元件S的開關(guān)周期為TS，導(dǎo)通時間為Ton，則占空比D=Ton/TS。

圖1 考慮寄生參數(shù)的非理想Buck變換器等效電路

對于CCM模式下考慮電感電流紋波影響的非理想Buck變換器，流過電感以及兩個開關(guān)管上的電流波形如圖2所示。

圖2 CCM模式下Buck變換器各電流波形

設(shè)電感電流iL(t)在一個開關(guān)周期內(nèi)的最大值為Imax，最小值為Imin，則電感電流iL(t)可以表示為:

設(shè)電感電流在一個開關(guān)周期內(nèi)的平均值為IL，則有:

電感電流紋波為:

則電感電流在一個開關(guān)周期內(nèi)的有效值為:

電感等效串聯(lián)電阻RL的導(dǎo)通損耗功率為:

所以，根據(jù)能量守恒原理，電感等效串聯(lián)電阻RL在一個開關(guān)周期內(nèi)的等效電阻為:

用相同的方法便可以得到有源功率開關(guān)管S的導(dǎo)通電阻RS和續(xù)流二極管D支路中寄生電阻RD折算到電感支路中的等效平均電阻

將續(xù)流二極管D支路中寄生電壓VD折算到電感支路中的等效平均電壓為:

電感L本身的等效串聯(lián)電阻為RL，最后將電感支路上三個串聯(lián)等效寄生電阻合并，得到電感支路上總的等效平均電阻為:

至此，已經(jīng)根據(jù)能量守恒原理，求出兩個開關(guān)元件寄生參數(shù)的等效平均值，并將他們折算到電感支路中，此時的Buck變換器等效電路模型如圖3所示。

圖3 等效變換后的CCM模式下非理想Buck變換器等效電路模型

2 用開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均模型法建模

圖3可以用理想的開關(guān)管Q1和二極管D1分別來代替電路中的開關(guān)S、D，就可以得到非理想Buck變換器等效電路模型［4-7］，如圖4所示。

圖4 用理想開關(guān)器件代替開關(guān)S、D后的Buck變換器

變換器中包含的Q1和D1兩個理想開關(guān)元件組成了一個開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，形成一個二端口，如圖4中虛線框所示，端口電壓電流分別為vg、is、vD、iL。選擇iL與vg作為二端口的獨(dú)立變量，is與vD作為非獨(dú)立變量。當(dāng)變換器滿足低頻假設(shè)與小紋波假設(shè)時，非獨(dú)立變量的平均變量可以用獨(dú)立變量的平均變量表達(dá)為

由式(11)可以建立由受控源構(gòu)成的變換器的平均等效電路，即變換器的大信號等效電路，如圖5所示。

圖5 非理想Buck變換器平均變量等效電路

令圖5中的各平均變量等于其對應(yīng)的直流分量，得到其直流等效電路，其中的一對受控源的作用相當(dāng)于一個理想變壓器(可以變換直流)，再使電路中的電感短路、電容開路，電路中的瞬時值變量用其直流量表示，就可以得到非理想Buck變換器直流等效電路，如圖6所示。

圖6 非理想Buck變換器的直流等效電路模型

由圖6所示電路，以及式(9)、式(10)，可得

因此，若要提高變換器的效率，必須滿足RE?R，VE?Vo，即選擇導(dǎo)通電阻RS較小的有源開關(guān)功率MOSFET，正向壓降VD和導(dǎo)通電阻RD都較小的二極管D。對于式(12)和式(13)，若不考慮非理想寄生參數(shù)，則Vo=DVin，η=100%，即為理想Buck變換器。

在圖5的基礎(chǔ)上，對開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均變量等效電路中的各平均變量分離擾動，分解為相應(yīng)的直流分量和交流分量之和，忽略其中的高階微小量，并消去相應(yīng)的直流量，可以得到開關(guān)電源的交流小信號等效電路，如圖7所示。

圖7 CCM模式下非理想Buck變換器的交流小信號等效電路模型

對于圖7所示的交流小信號等效電路，對各參數(shù)s進(jìn)行域變換，計(jì)算出輸出電壓(s)對控制變量(s)的傳遞函數(shù)Gvd(s):

3 帶電壓反饋的非理想Buck變換器

開環(huán)系統(tǒng)會因?yàn)檩斎腚妷夯蛘哓?fù)載的變化出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，所以在圖7基礎(chǔ)上增加一個電壓反饋回路［8-9］，如圖8所示，它是一個單環(huán)自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)，這種控制方式簡單、穩(wěn)定、易于設(shè)計(jì)，也可以保證很好的穩(wěn)壓精度。

圖8 具有反饋環(huán)的Buck變換器小信號模型

因此，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

根據(jù)式(14)，在非理想情況下，考慮了濾波電容C的等效電阻后，會引入一個零點(diǎn)，其零點(diǎn)頻率為ωz0，為了抵消其帶來的影響，我們在補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中就必須引入一個極點(diǎn)。在實(shí)際設(shè)計(jì)變換器中，PID補(bǔ)償器在低頻時，增大低頻環(huán)增益，實(shí)現(xiàn)輸出電壓低頻分量的精確調(diào)節(jié);高頻時(增益交越頻率附近)，改善相位裕度。因此，采用圖9所示的PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)。

圖9 PID補(bǔ)償器網(wǎng)絡(luò)(C2?C1，R1?R3)

根據(jù)電路圖可以寫出補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)及有關(guān)公式

則補(bǔ)償后的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

4 電路參數(shù)設(shè)計(jì)與仿真分析

本文選用的設(shè)計(jì)實(shí)例中Buck變換器各參數(shù)為:Vg=15 V，Vo=10 V，R=10 Ω，L=127 μH，RL=0.72 Ω，C=247 μF，RC=20 mΩ，RS=10 mΩ，RD=30 mΩ，V0=0.45 V，Vref=5 V，電感電流紋波 ΔiL=0.06 A，開關(guān)頻率fs=50 kHz，PWM輸出的峰值Vm=1 V。

由式(10)和式(12)算出模型的各個參數(shù)為:IL=1 A，D=0.7240，RE=0.7346 Ω。為了提高穿越頻率，設(shè)加入補(bǔ)償器后開環(huán)傳遞函數(shù)的穿越頻率fc是開關(guān)頻率fs的1/5，即

第1步 選擇采樣網(wǎng)絡(luò)

由于H(s)V0≈Vref，若Vref=5 V，則

第2步 計(jì)算主電路的傳遞函數(shù)

根據(jù)式(14)計(jì)算得到

其中Gd0=13.97，ωz0=202400 rad/s，ωp0=5844 rad/s，Q=0.9194。

第3步 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)確定

將H(s)，VM代入得補(bǔ)償后的開環(huán)傳遞函數(shù)為

為了抵消控制對象傳輸函數(shù)中雙重極點(diǎn)引起的相位滯后，設(shè)置補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的兩個零點(diǎn)均為

第1個極點(diǎn)fp1用來抵消輸出電容ESR引起的零點(diǎn)fp0，則有

第2個極點(diǎn)fp2用來增加高頻衰減率，其值取為

由|T(jωc)|dB=0 dB 得

得

因此，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:

5 仿真分析

為了驗(yàn)證非理想基本變換器在連續(xù)工作模式(CCM)下的電路平均建模方法的正確性，并將其與原有建模方法進(jìn)行定量比較，利用 MATLAB軟件［10］對實(shí)際Buck變換器進(jìn)行了系統(tǒng)的小信號特性仿真研究，如圖10所示，①、②、③分別對應(yīng)以下情況:①.RE=0.74 Ω，RC=0.02 Ω，即考慮變換器所有的寄生參數(shù);②.RE=0，RC=0.02 Ω，即只考慮濾波電容的等效串聯(lián)電阻;③.RE=0，RC=0，即考慮變換器理想情況。由式(14)和圖10得，RE增大，占空比D增大，Gvd曲線的轉(zhuǎn)角頻率ωp0增大，品質(zhì)因數(shù)Q減小，諧振峰值減小，振蕩環(huán)節(jié)的相角變化減慢。驗(yàn)證了Buck變換器在連續(xù)工作模式(CCM)下開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均建模方法的正確性，揭示了考慮寄生參數(shù)建模的必要性。

圖10 CCM模式下Buck變換器傳遞函數(shù)波特圖(點(diǎn)狀線、虛線、實(shí)線分別對應(yīng)①、②、③三種情況)

再對變換器補(bǔ)償前后進(jìn)行仿真，如圖11所示。其中虛線代表補(bǔ)償前的圖形，實(shí)線代表補(bǔ)償后的圖形。根據(jù)仿真結(jié)果補(bǔ)償前的穿越頻率ω'c=22202 rad/s，相位裕量 ρ'm=23.36°＜45°，從表面上看，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但是如果系統(tǒng)的參數(shù)稍有變化，體統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定，且穿越頻率太低，系統(tǒng)的響應(yīng)速度很慢。加入了PID補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)后穿越頻率 ωc=62712 rad/s，相位裕量 ρm=56.85°，所以元件稍有變化，穿越頻率只會稍稍偏離，對相位裕量影響較小。而且在低頻段，補(bǔ)償前的曲線是一條水平線，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差很大，由于補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)在直流處提供了一個極點(diǎn)，因此補(bǔ)償后的曲線穩(wěn)態(tài)誤差等于零。高頻段，補(bǔ)償后的曲線是-40等于dB/dec的斜率下降，能夠有效地抑制高頻干擾。因此設(shè)計(jì)的補(bǔ)償電路基本符合要求。

圖11 補(bǔ)償前、后傳遞函數(shù)Bode圖(實(shí)線、虛線分別對應(yīng)補(bǔ)償后、補(bǔ)償前的情況)

6 結(jié)論

本文主要介紹了運(yùn)用基本的能量守恒定律將非理想Buck變換器經(jīng)過換算變化后，適用于用理想的模型來解決建模問題的一個方案。由仿真結(jié)果可以得到引入補(bǔ)償器后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益、帶寬、相位裕量增大，穩(wěn)態(tài)精度、瞬態(tài)響應(yīng)速度、穩(wěn)定性得到提高，抗負(fù)載擾動和抗輸入電壓擾動的抑制能力得到加強(qiáng)。驗(yàn)證了模型的正確性及建模對電路設(shè)計(jì)的指導(dǎo)意義。

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