胡茂兵，湯煒，蔡燦輝

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

一種新的子空間更新算法在DOA估計(jì)中的應(yīng)用

胡茂兵，湯煒，蔡燦輝

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

為改進(jìn)傳統(tǒng)算法對(duì)突變信號(hào)跟蹤慢的缺點(diǎn)，提出一種有效的可變遺忘因子的子空間更新算法——逼近特征分解方法.該算法采用可變遺忘因子對(duì)陣列輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行秩－1更新，在該協(xié)方差矩陣特征分解的基礎(chǔ)上，結(jié)合先驗(yàn)信息構(gòu)造新的代價(jià)函數(shù)，并利用該代價(jià)函數(shù)的最小二乘解實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)子空間的實(shí)時(shí)更新.仿真結(jié)果表明：新算法的波達(dá)方向估計(jì)誤差僅為原算法的1／5，而對(duì)突變信號(hào)的跟蹤速度達(dá)到原算法的5倍，證實(shí)該算法的準(zhǔn)確性和有效性.

波達(dá)方向；突變信號(hào)；可變遺忘因子；子空間更新算法；特征分解

隨著信息時(shí)代的到來，國內(nèi)外學(xué)者提出利用智能天線技術(shù)解決現(xiàn)階段頻譜資源匱乏的問題［1-2］.近年來，波達(dá)方向（DOA）估計(jì)作為智能天線應(yīng)用中的關(guān)鍵技術(shù)已得到廣泛的關(guān)注并提出許多DOA估計(jì)算法.但這類算法不能對(duì)相干信源進(jìn)行DOA估計(jì)，而在CDMA通信系統(tǒng)中這類相干信源是普遍存在的［3］.Pillai等［4］融合前后向空間平滑技術(shù)改進(jìn)了這一缺陷.此外，這類算法屬“批處理”算法，即在獲得所有快拍數(shù)據(jù)后一次性處理.顯然，這種“批處理”算法僅適用于非時(shí)變系統(tǒng)和平穩(wěn)信號(hào)［5-6］，而在實(shí)際環(huán)境中存在大量時(shí)變系統(tǒng)和非平穩(wěn)信號(hào)，如仍采用上述算法進(jìn)行DOA估計(jì)，則傳統(tǒng)方法就會(huì)失效.針對(duì)子空間更新的問題，Yang等［7-8］提出了近似投影子空間跟蹤（PAST）算法與緊縮近似投影子空間跟蹤（PASTd）算法，這類方法由于其收斂速度快而得到廣泛應(yīng)用.然而，該方法得出的子空間正交性不強(qiáng).Meraim等［9］隨后提出了改進(jìn)的OPAST算法.這一系列類算法均未考慮信號(hào)的相干性和遺忘因子的可變性等問題，致使方法的應(yīng)用范圍受到限制.本文在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上對(duì)遺忘因子和代價(jià)函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化和改進(jìn)，提出了一種新的子空間更新算法——逼近特征分解方法.

1 陣列信號(hào)模型

考慮陣元數(shù)M的均勻線陣（ULA），陣元間距d＝λ／2，采樣快拍數(shù)為pd，接收來自D不同方向θ＝［θ1，θ2，…，θD］的窄帶信號(hào)S（t）＝［s1（t），s2（t），…，sD（t）］T.假定 D先驗(yàn)已知，定義信號(hào)到達(dá)角θ為信號(hào)傳播方向與ULA法向的夾角，陣列天線模型如圖1所示，則第k個(gè)快拍時(shí)刻陣列接收信號(hào)［10］為）

式中：X（k）＝［x1（k），x2（k），…，xM（k）］T為 M 個(gè)陣元的接收信號(hào)矢量，a（θi）＝［1，exp（－jφi），…，exp（－j（M－1）φi）］T為 ULA與信號(hào)si（k）對(duì)應(yīng)的導(dǎo)引向量；N（k）＝［n1（k），n2（k），…，nM（k）］T為 M 個(gè)陣元接收的與信源無關(guān)且相互獨(dú)立的高斯白噪聲；φi＝（2πdsinθi）／λ；A（θ）＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θD）］為ULA導(dǎo)引矩陣.

圖1 M元均勻線陣模型Fig.1 Model of the ULA with Msensor elements

2 逼近特征分解的子空間更新算法

考慮子空間類算法中，協(xié)方差矩陣“批處理”性質(zhì)無法實(shí)現(xiàn)時(shí)變信號(hào)的DOA跟蹤，Yang等［7］提出了投影逼近子空間跟蹤（PAST）算法，其陣列輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣R（k）＝E［X（k）XH（k）］的代替式為

式（2）中：α為遺忘因子，反映的是原有數(shù)據(jù)在R（k）更新過程中所占的比重.當(dāng)α較大時(shí)，原有數(shù)據(jù)保留較多，相應(yīng)的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)所占比例下降，協(xié)方差矩陣更新速度較慢；而當(dāng)α較小時(shí)，原有數(shù)據(jù)保留較少，實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)所占比例增加，雖然協(xié)方差矩陣更新速度加快，但數(shù)據(jù)量不足，使得估計(jì)性能易受噪聲影響，估計(jì)誤差較大.所以對(duì)于具有恒定遺忘因子的算法（如PAST算法），無法同時(shí)獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)DOA跟蹤誤差.

針對(duì)陣列輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣秩－1更新式（2）中固定遺忘因子α所帶來的性能缺陷，提出一種新的方程，即

式（3）中：r（k）＝X（k）XH（k）.與傳統(tǒng)子空間更新算法不同，它采用的是可變遺忘因子，即α（k）＝｛α1，α2｝，且α1＜α2.假設(shè)在快拍時(shí)刻K1時(shí)信號(hào)DOA發(fā)生突變，此時(shí)令α（k）＝α1，其余時(shí)刻α（k）＝α2.這樣對(duì)于突變信號(hào)，既可以獲得較快的跟蹤速度，又可以獲得較低的穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差.

為了適用于相干信號(hào)源的情況，對(duì)式（3）中的協(xié)方差矩陣R（k）進(jìn)行前后向平滑處理，即

隨著職業(yè)教育的發(fā)展，中職學(xué)校英語學(xué)科成為一門必修學(xué)科，英語口語表達(dá)成為一項(xiàng)必備的語言技能。然而，英語又是中職學(xué)生學(xué)習(xí)最為吃力的學(xué)科之一，大多數(shù)學(xué)生為此備受打擊，已不再奢望能學(xué)好英語，處在進(jìn)退維谷的尷尬境地。由此，要重點(diǎn)樹立學(xué)生學(xué)習(xí)英語的信心和勇氣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)英語的興趣，在教學(xué)中注入情感，用發(fā)展的眼光看待學(xué)生。同時(shí)借鑒專業(yè)教學(xué)的理念，任務(wù)引領(lǐng)、驅(qū)動(dòng)，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，搭建師生互動(dòng)學(xué)習(xí)的平臺(tái)和學(xué)生展示的舞臺(tái)。再者，要尊重學(xué)生、愛護(hù)學(xué)生，建立和諧的師生關(guān)系，采用靈活的教學(xué)方法，定制學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓每個(gè)學(xué)生學(xué)有所獲。

式（4）中：J為M 維交換矩陣，其反對(duì)角線上的元素為1，其余元素為0.對(duì)平滑處理后的R（k）進(jìn)行特征分解，有

式（5）中：ΛS（k），ΛN（k）分別為由較大的D個(gè)特征值和較小的M－D個(gè)特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，對(duì)應(yīng)的特征向量組成的矩陣US（k），UN（k）分別構(gòu)成信號(hào)子空間和噪聲子空間，且存在如下關(guān)系，即

式（6）中：ID為D 維單位矩陣.對(duì)式（5）等號(hào)兩邊分別右乘US（k），UN（k），并利用性質(zhì)（6），可得

將方程組（7）可等效為

式（8）中：U（k）為M×r矩陣 .當(dāng)r＝D時(shí)，U（k）代表信號(hào)子空間；而當(dāng)r＝M－D時(shí)，U（k）代表噪聲子空間.利用先驗(yàn)信息可得估計(jì)誤差為

式（9）中：h（k）＝UH（k－1）X（k）為X（k）在U（k－1）所張空間上的投影.由遞歸最小二乘法可得子空間更新模型為

在式（8）中，利用先驗(yàn)信息U（k－1）逼近U（k），可構(gòu)造新的代價(jià)函數(shù)為

其中：約束條件U（k）HU（k）＝Ir.由于式（11）中的Λ（k）是由陣列輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，為了避免特征分解，減少算法運(yùn)算量，Λ（k）可以通過迭代來實(shí)時(shí)更新，即

利用式（9）和式（13），可將gHLS（k）化簡(jiǎn)為

將式（14）代人式（10），結(jié)合式（9）可以實(shí)現(xiàn)對(duì)子空間U（k）的更新.然而，按式（10）得到的更新子空間并非完全正交的，需采用Gram－Schmidt方法對(duì)其正交化處理.

鑒于LS－ESPRIT算法具有不需譜峰搜索的優(yōu)點(diǎn)［11］，故將更新后的子空間U（k）運(yùn)用于LS－ESPRIT算法，就可以對(duì)時(shí)變信號(hào)進(jìn)行DOA跟蹤.

式（3）中的信號(hào)突變時(shí)刻k1可以通過式（9）中的估計(jì)誤差e（k）確定，共有4個(gè)步驟：1）假定算法在k0時(shí)刻收斂，取1≤k≤k0時(shí)刻對(duì)應(yīng)‖e（k）‖的最大值emax，即令emax＝max（‖e（1∶k0）‖）；2）用emax對(duì)k0＜k＜pd時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的‖e（k）‖進(jìn)行歸一化處理，可得到，即有＝‖e（k）‖／emax；3）令c（k）＝；4）若c（k2）／c（k2－1）＞δ（δ為常數(shù)），則認(rèn)為k2是k1的估計(jì)值.

在子空間更新類算法中，初始值R（0），U（0），Λ－1（0）的選取必須適當(dāng) .根據(jù)各矩陣的性質(zhì)，最方便的選取即令R（0），Λ－1（0），U（0）分別為M×M和r×r的單位矩陣，以及M×M的單位矩陣的前r列.

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 遺忘因子的選擇

仿真參數(shù)：ULA陣元數(shù)M＝8，陣元間距d＝λ／2，采樣快拍數(shù)pd＝400，信號(hào)源數(shù)D＝3，子空間維數(shù)參量r＝D.考慮3個(gè)非相關(guān)正弦信號(hào)源，頻率分別為1，3，2GHz，初始相位均為0，采樣頻率fs為10GHz.其中：信號(hào)1為非時(shí)變信號(hào)，DOA＝0°，信噪比為0dB；信號(hào)2為慢變信號(hào)，每次快怕間信號(hào)角度變化0.025°，信噪比為5dB，起始角度為30°；信號(hào)3為每次快怕間信號(hào)角度變化0.1°的快變信號(hào)，信噪比為5dB，起始角度為40°.

不同遺忘因子對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)快拍數(shù)（pd）和最大DOA估計(jì)誤差（emax）仿真結(jié)果，如表1所示.從表1可以看出：穩(wěn)態(tài)快拍數(shù)和最大DOA估計(jì)誤差與前文分析吻合，即α較大時(shí)，算法趨于穩(wěn)態(tài)速度較慢，估計(jì)誤差較??；而α較小時(shí)算法趨于穩(wěn)態(tài)速度較快，估計(jì)誤差增加.綜合考慮這兩方面因素，分別選擇α1和α2為0.60和0.85.

表1 不同遺忘因子的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Simulation results for different forgetting factors

3.2 對(duì)非相關(guān)信號(hào)的DOA跟蹤

仿真信號(hào)模型與算例3.1相同，結(jié)果如圖2所示.圖2中：α＝｛0.60，0.85｝.由圖2可以看出：新算法不僅能對(duì)非時(shí)變信號(hào)和慢變信號(hào)進(jìn)行精確DOA估計(jì)，對(duì)快變信號(hào)也能得到良好估計(jì).

將該算法與PAST和特征值分解（ED）算法進(jìn)行比較，得到的快變信號(hào)跟蹤誤差（e）曲線，如圖3所示.其中：ED算法中的信號(hào)子空間是直接對(duì)式（4）中的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解得到的.

從圖3中可以看出：對(duì)快變信號(hào)而言，提出的算法與ED算法具有相似的跟蹤特性，對(duì)應(yīng)的DOA誤差均約為PAST算法的1／5.這說明由該算法得到的信號(hào)子空間更接近于理想信號(hào)子空間，即ED算法中的信號(hào)子空間.

圖2 算法的跟蹤特性曲線Fig.2 Tracking characteristic curve of this algorithm

3.3 對(duì)突變信號(hào)的跟蹤性能分析

考慮單一正弦信號(hào)源，其頻率為f1＝1GHz，初始相位為0，采樣頻率fs＝10GHz.起始角度0°，采樣時(shí)刻為200時(shí)，信號(hào)源角度突變成10°，即k1＝200，k0＝20，常數(shù)δ＝17.按照提供的對(duì)突變時(shí)刻k1估計(jì)的方法，測(cè)得k1的估計(jì)成功概率（P）與信噪比（SNR）的關(guān)系，如圖4所示.由圖4可知：隨著信噪比的增加，對(duì)突變時(shí)刻k1的估計(jì)成功概率逐漸接近100%，說明提供的對(duì)突變時(shí)刻k1估計(jì)方法的有效性.

圖3 幾種算法對(duì)快變信號(hào)跟蹤誤差特性比較Fig.3 Tracking error eurve about rapidly varying time signal compare with algorithms

圖4 估計(jì)成功概率與信噪比的關(guān)系曲線 Fig.4 Successful probability estimation versus the SNR

選取單一正弦信號(hào)源，其信噪比為5dB，將所提出的算法與PAST算法對(duì)突變信號(hào)DOA跟蹤特性進(jìn)行比較，如圖5所示.為了驗(yàn)證可變遺忘因子對(duì)突變信號(hào)DOA跟蹤的有效性，將PAST算法分為PAST恒定α算法和PAST可變?chǔ)了惴?，即PAST算法步驟中的α是可變的.

從圖5可以看出：所提出的可變遺忘因子算法對(duì)突變信號(hào)的DOA跟蹤速度最快，為PAST算法跟蹤速度的5倍；并且，由PAST兩類算法的跟蹤速度可以進(jìn)一步驗(yàn)證可變遺忘因子類算法在子空間更新算法中的優(yōu)勢(shì).

3.4 對(duì)相干信號(hào)的DOA跟蹤

設(shè)有3個(gè)正弦信號(hào)源，頻率分別為f1＝1GHz，f2＝1GHz，f3＝2GHz，其他仿真條件與算例3.1完全相同.由這3個(gè)信號(hào)源的頻率關(guān)系可知：信號(hào)2（慢變信號(hào)）是信號(hào)1（非時(shí)變信號(hào)）的相干信號(hào)，均為信號(hào)3（快變信號(hào)）的非相關(guān)信號(hào).此時(shí)所得到的DOA跟蹤曲線，如圖6所示.從圖6可以看出：由于所提算法對(duì)陣列輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行了前后向平滑處理，而PAST算法未考慮信號(hào)相干性的影響，所以算法能實(shí)現(xiàn)對(duì)相干信號(hào)的DOA跟蹤.

圖5 兩種算法對(duì)突變信號(hào)的跟蹤特性曲線Fig.5 Tracking the sudden parameter changing signals compared with the two algorithms

圖6 對(duì)相干信號(hào)源DOA估計(jì)比較曲線圖 Fig.6 Tracking the coherent signals compared with PAST algorithm

4 結(jié)束語

通過對(duì)遺忘因子在子空間更新算法中物理意義進(jìn)行分析，得出可變遺忘因子可以加快算法對(duì)突變信號(hào)的DOA跟蹤速度的結(jié)論 .結(jié)合前后向空間平滑技術(shù)及新的代價(jià)函數(shù)，提出了一種適用性更為廣泛、快速高效的新算法——逼近特征分解算法.對(duì)連續(xù)時(shí)變信號(hào)而言，新算法的DOA跟蹤誤差僅為PAST算法的1／5；另一方面，對(duì)突變信號(hào)而言，該算法的跟蹤速度達(dá)到傳統(tǒng)算法的5倍，同時(shí)還克服了PAST算法無法對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行DOA跟蹤的缺陷.

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Application of a New Subspace Updating Algorithm in DOA Estimation

HU Mao－bing，TANG Wei，CAI Can－h(huán)ui

（College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

In order to improve the weakness of the traditional methods on tracking sudden parameter changing signals slowly，the approximation eigenvalue decompositionan method，an efficient subspace updating algorithm with variable forgetting factor，is presented.The novel algorithm adopts a new rank＿1updating equation with variable forgetting factors to update the covariance matrix of the array output signals.At the same time it proposes a new cost function which is based on the prior information and the eigenvalue decomposition（ED）of the updated covariance matrix.And then the signal subspace is updated real time by the least square solution of the new cost function.Finally，some examples are simulated and the results exhibit that the algorithm provides not only one fifth of the direction of arrival estimation error，but also five times of the tracking speed of sudden parameter changing signals to the original algorithm，which confirms the accuracy and effectiveness of this new algorithm.

arrival direction；sudden parameter changing signals；variable forgetting factor；subspace updating algorithm；eigenvalue decomposition

黃曉楠 英文審校：吳逢鐵）

TN 911.7

A

1000－5013（2012）04－0375－05

2011－08－29

湯煒（1974－），男，副教授，主要從事電磁場(chǎng)數(shù)值算法的研究.E－mail：tangwei74＠hqu.edu.cn.

福建省高校服務(wù)海西建設(shè)重點(diǎn)項(xiàng)目（2009HZ0008）