張 艷,何中全,阿力非日

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川南充637009)

向量變分不等式是變分不等式的推廣形式,最早于1980年由Giannessi[1]在有限維歐式空間中引入和研究。隨后,許多學(xué)者研究了向量變分不等式,向量變分不等式在無限維空間中得到廣泛研究和推廣[2,3]。受文獻[1,2,4-6]的啟發(fā),本文引入一類具有更一般形式的廣義向量變分不等式,并通過KKM定理證明其解的存在性及解的一些性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

設(shè)X,Y為實的Banach空間,L(X,Y)為X到Y(jié)的有界算子的全體,K?X為非空閉凸子集,〈t,x〉為t在x處的值,t∈L(X,Y),x∈X,2L(X,Y)為L(X,Y)的非空子集全體,C:K→2Y為非空閉凸點錐集值映射,且?x∈K,C(x)是Y中的真閉凸錐,int C(x)≠φ,{C(x)}∩{-C(x)}={0}。設(shè)f:KXK→Y, A,T:K→L(X,Y),N:L(X,Y)XL(X,Y)→2L(X,Y),η:KXK→K是5個映射。

考慮下面的廣義向量變分不等式問題GVVIP:求x*∈K,?y∈K,?sy∈N(Ax*,Tx*)使得

特殊情況:

(1)如果A≡I,T≡I,N(x,x)=F(x),則問題GVVIP轉(zhuǎn)化為下面的向量變分不等式問題VVIP:求x*∈K使得

此問題在文獻[1]中被引入和研究。

(2)如果f(y,x)=f(y)-f(x),則問題VVIP轉(zhuǎn)化為:求x*∈K使得

在文獻[6]中,Irfan和Ahmad利用KKM定理和逃逸序列的方法研究了該向量變分不等式解的存在性。為了得到本文的結(jié)果,需要下面的定義和引理。

定義2[7](KKM映射) 設(shè)E是一線性空間,K是E的一非空子集,G:F→2E是一多值映射。稱G為 KKM映射,如果對任一有限集{x1,x2,…,xn}?K,有co{x1,x2,…,xn}?G(xi),其中co{x1,x2,…,xn}表示{x1,x2,…,xn}的凸包。

定義3[4]設(shè)X,Y為兩個拓撲空間,F:X→2Y是一集值映射。

(1)如果對包含F(xiàn)(x)的每一個開集V?Y,存在包含x的開集U,?t∈U,F(t)?V,則稱F在x∈X點為上半連續(xù);如果F在X上每一點上半連續(xù),則稱F在X上上半連續(xù)。

(2)如果對每一個開集V?Y且F(x)∩V≠φ,存在包含x的開集U,?t∈U,F(t)∩V≠φ,則稱F在x∈X點為下半連續(xù);如果F在X上每一點下半連續(xù),則稱F在X上下半連續(xù)。

(3)如果F的圖,即Gr(F)={(x,y)∈XXY|y∈F(x)}是XXY的閉子集,則稱F為閉映射。

引理1[5]設(shè)(V,P)是一有序的Banach空間,P是V中之一閉的尖凸錐,且int P≠φ,則對任意的x, y,z∈V有

(1)如果x-y∈-int P(x),且x?-int P(x),則y?-int P(x);

(2)如果x+y∈P(x),且x+z?-int P(x),則z-y?-int P(x);

(3)如果x+z-y?-int P(x),且-y∈-P(x),則x+z?-int P(x);

(4)如果x+y?-int P(x),且y-z∈-P(x),則x+z?-int P(x)。

引理2[7](Fan-KKM定理) 設(shè)E是一Hausdorf線性拓撲空間,F是E中的非空子集,G:F→2E為一KKM映射,對每一個x∈F,G(x)為E中的閉集,且至少存在一點x0∈F,使G(x0)是E中的緊集,則G(x)≠φ。

引理3[4]設(shè)X,Y為兩個拓撲空間,F:X→2Y是一集值映射,那么以下結(jié)論成立:

(1)如果F是緊值的,則F在x∈X點為上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意網(wǎng){xα}?X且xα→x,對任意網(wǎng){yα}?Y且yα∈F(xα),存在y∈F(x)以及{yα}的子網(wǎng){yβ},使得yβ→y。

(2)F在x∈X點為下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意y∈F(x)以及任意網(wǎng){xα}?X且xα→x,存在{yα}?Y且yα∈F(xα),使得yα→y。

(3)F是閉映射當(dāng)且僅當(dāng)對任意網(wǎng){xα}?X且xα→x,對任意網(wǎng){yα}?Y,yα∈F(xα)且yα→y,則y∈F(x)。

2 主要結(jié)果與證明

定理1 設(shè)X,Y為實的Banach空間,L(X,Y)為X到Y(jié)的有界算子的全體,K?X為非空閉凸子集。設(shè)C:K→2Y為非空閉凸點錐集值映射,?x∈K,C(x)是Y中的真閉凸錐且int C(x)≠φ,{C(x)}∩{-C(x)}={0}。給定映射A,T:K→L(X,Y),f:KXK→Y,N:L(X,Y)XL(X,Y)→2L(X,Y),η:KXK→K,假設(shè)下面的條件成立:

(a)f,A,T,η連續(xù),且x→N(Ax,Tx)下半連續(xù);

(b)集值映射W:K→2Y定義為?x∈K,W(x)=Y{-int C(x)}是閉映射;

(c)存在映象h:KXK→Y,使得

(i)?x∈K,h(x,x)∈C(x),

(ii)對?x,y∈K,?sy∈N(Ax,Tx),使得〈sy,η(y,x)〉+f(y,x)-h(x,y)?-int C(x),

(iii)?x∈K,{y∈K|h(x,y)?C(x)}凸;

(d)存在K的非空緊凸子集D,使得對?x∈KD,?y∈D,有

則廣義向量變分不等式GVVIP有解,且其解集為緊集。

證 定義集值映射G:K→2D,?y∈K,

(1)首先證明對?y∈K,G(y)是D中的閉集。

事實上,設(shè){xα}?G(y)且xα→x0,由于{xα}?D且D為緊集,故x0∈K。由于N是下半連續(xù)的,由引理3(3)知,對?y∈K,?s0y∈N(Ax0,Tx0),對?α,?y∈K,?sαy∈N(Axα,Txα)滿足序列{sαy}→{s0y}∈L(X,Y)。由于對?α,xα∈G(y)有,?y∈K,?sαy∈N(Axα,Txα),使得