周建仁, 謝晶晶, 吳洪博

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710062)

0 引言與預(yù)備知識

在邏輯代數(shù)系統(tǒng)中, 由Pavelka[1]引入的剩余格理論是重要且應(yīng)用廣泛的代數(shù)系統(tǒng), 如MV代數(shù)、 Boole代數(shù)、 BR0代數(shù)和MTL代數(shù)等均可視為是基于剩余格理論構(gòu)成的代數(shù)理論[2-7]. 另一方面, 很多研究者考慮將Lukasiewicz和R0邏輯系統(tǒng)中的度量結(jié)構(gòu)[7-9]引入到Boole代數(shù)、 MV代數(shù)、 R0和Godel代數(shù)等多種邏輯代數(shù)中, 并取得了許多結(jié)果[10-14]. 本文從整體上對一類邏輯代數(shù)在度量方面的性質(zhì)進(jìn)行研究. 先給出了剩余格上存在度量的一個充分條件及由該條件決定的該類剩余格上的度量結(jié)構(gòu); 并討論了該種度量結(jié)構(gòu)下該類剩余格中的聚點問題[13-14]; 最后證明了剩余格中的基本運算在度量空間中的連續(xù)性.

定義1[7]設(shè)P是偏序集, ?與→為P上的二元運算. 如果滿足如下條件, 則稱?與→互為伴隨對, (?,→)稱為P上的伴隨對:

1) ?:P×P→P關(guān)于兩個變量都是單調(diào)遞增的;

2) →:P×P→P關(guān)于第一變量不增, 關(guān)于第二變量不減;

3)x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z,x,y,z∈P.

定義2[7]有界格(L,∨,∧,0,1)稱為剩余格, 若其滿足如下條件:

1)L上有伴隨對(?,→);

2) 〈L,?〉是帶單位元1的交換半群.

此時L通常記作〈L,?,→〉.

定理1[6]設(shè)〈L,?,→〉是剩余格, 則:

1)a→b=1當(dāng)且僅當(dāng)a≤b;

2)a→b∧c=(a→b)∧(a→c);a∨b→c=(a→c)∧(b→c);

3) 1?a=a;

4)a?b=b?a;

5) (a?b)?c=a?(b?c).

1 度量剩余格

定理2(剩余格上存在度量的充分條件) 設(shè)〈[0,1],?,→〉是剩余格. 定義二元運算ρ: [0,1]×[0,1]→[0,1]如下:

?a,b∈[0,1],ρ(a,b)=1-(a→b)?(b→a).

若剩余格滿足條件:

?a,b∈[0,1],a+(a→b)≤1+b,

(1)

則ρ為[0,1]上的度量.

證明: 1) ?a,b∈[0,1]. 首先, 由定義知ρ(a,b)≥0; 其次, 若a=b, 則(a→b)?(b→a)=1, 即ρ(a,b)=0. 若a

(a→b)?(b→a)=b→a<1,

即ρ(a,b)>0. 若a>b, 則

(a→b)?(b→a)=a→b<1,

即ρ(a,b)>0. 因此ρ(a,b)=0當(dāng)且僅當(dāng)a=b.

2)ρ(a,b)=1-(a→b)?(b→a)=1-(b→a)?(a→b)=ρ(b,a).

3) ?a,b,c∈[0,1]. 由伴隨對(?,→)的性質(zhì)知

(a→b)?(b→c)≤a→c; (b→a)?(c→b)≤c→a.

進(jìn)而結(jié)合?的單調(diào)性得

((a→b)?(b→c))?((b→a)?(c→b))≤(a→c)?(c→a).

由?的交換性、 結(jié)合性及伴隨性可得

(a→b)?(b→a)≤((b→c)?(c→b))→((a→c)?(c→a)).

再結(jié)合剩余格〈[0,1],?,→〉滿足的條件得

進(jìn)而結(jié)合二元運算的定義得

1-(a→c)?(c→a)≤1-(a→b)?(b→a)+1-(b→c)?(c→b).

即ρ(a,c)≤ρ(a,b)+ρ(b,c).

綜合1)～3)可知,ρ是[0,1]上的度量[15].

定義4若剩余格〈[0,1],?,→〉滿足式(1), 則稱剩余格〈[0,1],?,→〉為度量剩余格.

定理3設(shè)〈[0,1],?,→〉是度量剩余格. ?a,b∈[0,1], 則:

證明: 1) 由定理2并結(jié)合剩余格性質(zhì)可得.

2) 由伴隨對性質(zhì)知

a→b≤(b→0)→(a→0);b→a≤(a→0)→(b→0),

由?的單調(diào)性知

(a→b)?(b→a)≤((b→0)→(a→0))?((a→0)→(b→0)),

進(jìn)而可得

ρ(a→0,b→0)≤ρ(a,b),

2 度量剩余格([0,1],ρ)中的拓?fù)湫再|(zhì)

定理4設(shè)〈[0,1],?,→〉是度量剩余格,a0∈[0,1]. 則對ε>0, 存在c∈[0,1]-{a0}, 使得0<ρ(a0,c)<ε.

證明: 1) 顯然?c∈[0,1]且c≠a0,ρ(a0,c)>0成立.

2) ?ε∈(0,1), 因為(1-ε/2)?a0≤(1-ε/2)→a0, 取

c∈[(1-ε/2)?a0, (1-ε/2)→a0]{a0}.

則有

(1-ε/2)?a0≤c≤(1-ε/2)→a0,

進(jìn)而1-ε/2≤a0→c, 且1-ε/2≤c→a0.

當(dāng)c

ρ(a0,c)=1-(a0→c)?(c→a0)=1-a0→c≤ε/2<ε.

當(dāng)c>a0時,

ρ(a0,c)=1-c→a0≤ε/2<ε.

綜合1),2)可知結(jié)論成立.

推論1在度量剩余格空間([0,1],ρ)中,?a∈[0,1],a是聚點.

3 度量剩余格空間([0,1],ρ)上運算的連續(xù)性

證明: 由→的單調(diào)性知, ?n∈Z+,

an→a0≤an→a0∨bn,a0→an≤a0→an∨bn.

由?的單調(diào)性及定理1中2)可得

進(jìn)而

1-(an∨bn→a0∨bn)?(a0∨bn→an∨bn)≤1-(an→a0)?(a0→an),

即

ρ(an∨bn,a0∨bn)≤ρ(an,a0).

(2)

類似上述證明可得

ρ(a0∨bn,a0∨b0)≤ρ(bn,b0).

(3)

由式(2),(3)及

0≤ρ(an∨bn,a0∨b0)≤ρ(an∨bn,a0∨bn)+ρ(a0∨bn,a0∨b0)

可得

0≤ρ(an∨bn,a0∨b0)≤ρ(an,a0)+ρ(bn,b0),

證明: 由伴隨的性質(zhì)知?n∈Z+,

b0→bn≤(an→b0)→(an→bn),bn→b0≤(an→bn)→(an→b0),

所以

(b0→bn)?(bn→b0)≤((an→b0)→(an→bn))?((an→bn)→(an→b0)),

進(jìn)而

ρ(an→bn,an→b0)≤ρ(bn,b0).

(4)

類似可證

ρ(an→b0,a0→b0)≤ρ(an,a0).

(5)

由式(4),(5)及

0≤ρ(an→bn,a0→b0)≤ρ(an→bn,an→b0)+ρ(an→b0,a0→b0)

知,

0≤ρ(an→bn,a0→b0)≤ρ(an,a0)+ρ(bn,b0).

證明: 由伴隨性質(zhì)知?n∈Z+,

bn→b0≤an?bn→an?b0,b0→bn≤an?b0→an?bn,

故

(bn→b0)?(b0→bn)≤(an?bn→an?b0)?(an?b0→an?bn).

進(jìn)而

ρ(an?bn,an?b0)≤ρ(bn,b0).

(6)

類似可證

ρ(an?b0,a0?b0)≤ρ(an,a0).

(7)

由式(6),(7)及

0≤ρ(an?bn,a0?b0)≤ρ(an?bn,an?b0)+ρ(an?b0,a0?b0)

知,

0≤ρ(an?bn,a0?b0)≤ρ(an,a0)+ρ(bn,b0).

證明: 由→的性質(zhì)知?n∈Z+,

bn→b0≤an∧bn→b0,b0→bn≤an∧b0→bn.

由?的單調(diào)性及定理1中2)知

進(jìn)而

ρ(an∧bn,an∧b0)≤ρ(bn,b0).

(8)

類似可證

ρ(an∧b0,a0∧b0)≤ρ(an,a0).

(9)

由式(8),(9)及

0≤ρ(an∧bn,a0∧b0)≤ρ(an∧bn,an∧b0)+ρ(an∧b0,a0∧b0)≤ρ(an,a0)+ρ(bn,b0),

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