江昌龍

（黃山學(xué)院 信息工程學(xué)院，安徽 黃山245041）

0 引 言

在理論力學(xué)[1]教材書中有專門的章節(jié)介紹了質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)出比耐公式和能量方程，并討論萬有引力和庫侖引力兩種有心力模型，對(duì)比耐公式和能量方程進(jìn)行了初步求解，但文中沒有確定求解結(jié)果中的系數(shù)，而且也沒有討論方程在什么樣的情況下有解以及說明初始條件的不同會(huì)對(duì)結(jié)果造成什么樣的影響。事實(shí)上，方程中的系數(shù)是由初始條件來確定的，若初始條件給定，質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)也將確定。初始條件不同，運(yùn)動(dòng)結(jié)果也將大相徑庭，基于這方面的考慮，本文系統(tǒng)全面闡述了質(zhì)點(diǎn)在不同初始條件下做有心力作用下的運(yùn)動(dòng)探討，對(duì)與平方成反比力的有心力模型做了深刻而細(xì)致的計(jì)算，對(duì)教材中的內(nèi)容做了擴(kuò)展和補(bǔ)充。

一般來說，對(duì)于二體運(yùn)動(dòng)問題，如果其中一方位置固定或者質(zhì)量遠(yuǎn)大于另一方，就可以化為單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題，也就是本文所討論的問題模型。此問題模型的探討在天體運(yùn)動(dòng)、人造衛(wèi)星的發(fā)射，微觀粒子在靜電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等相關(guān)一類問題都有廣泛的應(yīng)用。

1 質(zhì)點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程

在初始位置給出一定的初始速度，質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下開始運(yùn)動(dòng)，以r(r＞0)代表極徑，θ代表極角，如圖1所示，則在極坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

圖1 極坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)

4 總結(jié)

以上討論了質(zhì)點(diǎn)在與距離平方成反比的有心力作用的條件下由于初始條件的不同而造成對(duì)運(yùn)動(dòng)結(jié)果及對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

1.應(yīng)用比耐公式也可以計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，但采用能量方程更具廣泛意義。計(jì)算結(jié)果表明，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線與初始條件的r0，v0和α角都有關(guān)系。

2.在0＜α＜π時(shí)，可以根據(jù)初始條件把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的在極坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程比較容易得算出來。在α=0或π時(shí)，要根據(jù)初始條件計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)位置與時(shí)間的關(guān)系時(shí)，該方程難以把位置表示成時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，但是可以比較容易把時(shí)間表示成位置的函數(shù)關(guān)系。

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，1986.