魏 武 蔡釗雄 鄧高燕

華南理工大學(xué)，廣州，510640

0 引言

多足機(jī)器人是仿多足生物運(yùn)動的一種特種機(jī)器人，是一種足式移動機(jī)構(gòu)。常見的多足步行機(jī)器人包括四足步行機(jī)器人、六足步行機(jī)器人、八足步行機(jī)器人等。多足爬墻機(jī)器人作為一種特殊的多足步行機(jī)器人，是應(yīng)用于高空極限作業(yè)的一種自動機(jī)械裝置，它既具有吸附支持的特殊性，又具有運(yùn)動形式的特殊性（除了“直立”行走形式外，還有“倒立”、“側(cè)立”和“混立”等行走形式），更重要的是還需要滿足高空極限作業(yè)的安全性要求。多足爬墻機(jī)器人可在核工業(yè)、建筑、交通、石化、消防等領(lǐng)域完成檢測、探傷、清洗、救援等作業(yè)，具有廣泛的應(yīng)用前景。

多足機(jī)器人足力控制一直是多足機(jī)器人領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)。近年來國內(nèi)外學(xué)者高度關(guān)注多足機(jī)器人的足力控制問題，并進(jìn)行了大量研究。足力控制包括關(guān)節(jié)驅(qū)動力控制和足底接觸控制。關(guān)節(jié)驅(qū)動力控制研究方面，具有代表性的研究有Nahon等［1］提出的關(guān)節(jié)驅(qū)動力平方規(guī)劃方法和Chen等［2］提出的關(guān)節(jié)驅(qū)動力二次優(yōu)化方法。足底接觸力控制研究方面，具有代表性的有：王鵬飛［3］提出的機(jī)器人足底接觸力虛擬懸掛模型及足底接觸力補(bǔ)償與阻抗控制方法；Spong等［4］提出的被動控制方法；Sangbae等［5］提出的在光滑垂直平面上的足部黏性控制方法；Sang－Ho［6］提出的適應(yīng)未知外力和粗糙地形的阻抗控制方法；Vidoni等［7］提出的用于解決多種吸附情況下的最小力矩分配問題的靜態(tài)平衡法。

上述方法只針對關(guān)節(jié)驅(qū)動力或足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化，沒有針對能耗目標(biāo)進(jìn)行足力的優(yōu)化，而多足爬墻機(jī)器人的能耗問題是高空極限作業(yè)需解決的主要問題。本文提出基于能耗性優(yōu)化的多足爬墻機(jī)器人足力控制方法，以八足爬墻機(jī)器人為例（四足及六足爬墻機(jī)器人類似），在兼顧安全性的前提下，先對機(jī)器人的足力優(yōu)化模型進(jìn)行討論，然后再以總電機(jī)功率最小為能耗優(yōu)化目標(biāo)，對多足機(jī)器人的足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化，并給出了電機(jī)控制模型的轉(zhuǎn)換方式，最后，對本文提出的優(yōu)化方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，證明了所述方法可行有效。

1 基于安全性與能耗目標(biāo)的足力優(yōu)化模型

1.1 足力優(yōu)化模型的轉(zhuǎn)換與簡化

本文研究的八足機(jī)器人采用真空吸盤式結(jié)構(gòu)，為了分析方便，以八足類爬行動物運(yùn)動機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行研究［8－9］。機(jī)器人由八條腿和軀干共9個相對獨(dú)立的模塊組成。每條腿具有6個自由度，其中髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)各有1個自由度，足關(guān)節(jié)處球鉸與真空吸盤相連，組成1個萬向關(guān)節(jié)，具有3個自由度，髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)為主動驅(qū)動關(guān)節(jié)，髖關(guān)節(jié)分別與膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)正交（目前常用的一種方式），髖關(guān)節(jié)與機(jī)體相連接且軸線方向與機(jī)體垂直。多足爬墻機(jī)器人總體結(jié)構(gòu)如圖1所示，關(guān)節(jié)軸線方向與轉(zhuǎn)動方向以及球鉸的運(yùn)動方向如圖1中箭頭所示。

1.1.1 關(guān)節(jié)驅(qū)動力和足底接觸力的轉(zhuǎn)換

為了實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)驅(qū)動力和足底接觸力的轉(zhuǎn)換，本文進(jìn)行下述處理：

（1）以支撐腿為研究對象，球鉸中心為原點(diǎn)（設(shè)球鉸位于吸盤上），建立特定的坐標(biāo)系ΣAi（圖1），在該坐標(biāo)系內(nèi)，第i條腿的連桿平面位于x＊z＊平面內(nèi)，且z＊軸垂直于吸附平面。

（2）考慮機(jī)器人的準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動特性（當(dāng)多足爬墻機(jī)器人處于爬行狀態(tài)時，由于速度較小，所以可以忽略加速度的影響，同時重力主要集中在機(jī)體上，可以忽略關(guān)節(jié)和連桿重力的影響，此時機(jī)器人的運(yùn)動可以看成是準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動）。

圖1 八足爬墻機(jī)器人總體結(jié)構(gòu)圖

（3）機(jī)器人以一種特定步態(tài)沿直線方向爬行，髖關(guān)節(jié)在爬行過程（包括在水平面及傾斜面爬行的過程）中，轉(zhuǎn)動方向既不需要主動驅(qū)動，又不被動承受外扭矩作用，因此由力矩平衡和力平衡條件有τki＝0，si＝0，其中，τki為第i條支撐腿髖關(guān)節(jié)驅(qū)動扭矩，si為第i條支撐腿足底接觸力沿y＊軸方向的分力。令機(jī)體平面與吸附面保持平行，以腿的連桿平面內(nèi)的力矩平衡條件可建立以下關(guān)系：

為了使各關(guān)節(jié)電機(jī)驅(qū)動扭矩均衡化，取τqi＝τhi，則式（1）可化為

式中，τqi、τhi分別為第i條支撐腿的膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)驅(qū)動扭矩；pi、qi分別為第i條支撐腿足底接觸力沿x＊、z＊軸方向的分力；di為第i條支撐腿球鉸到髖關(guān)節(jié)軸線的距離；li為第i條支撐腿髖關(guān)節(jié)與球鉸之間的連線在髖關(guān)節(jié)軸線方向上的投影長度。

通過上述處理完成了關(guān)節(jié)驅(qū)動力向足底接觸力的轉(zhuǎn)換。該轉(zhuǎn)換方法實(shí)現(xiàn)的前提條件是機(jī)器人沿平面做直線爬行，故本文提出的方法只適用于平面環(huán)境，但是可以適應(yīng)于任何角度的斜坡面，包括垂直的斜坡和倒立攀爬的平面。

轉(zhuǎn)換后的模型還減少了優(yōu)化變量數(shù)量：①無需對膝關(guān)節(jié)軸線和踝關(guān)節(jié)軸線平行方向的足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化（因?yàn)閟i＝0）；②無需對髖關(guān)節(jié)的驅(qū)動力變量進(jìn)行優(yōu)化（τki＝0）；③ 只需對膝關(guān)節(jié)或踝關(guān)節(jié)驅(qū)動力進(jìn)行優(yōu)化（τqi＝τhi）。

1.1.2 關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束的轉(zhuǎn)換與簡化

關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束是由電機(jī)的電流和電壓受限引起的。每條腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束，需要比較膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)最小電流受限驅(qū)動力、最大電流受限驅(qū)動力、最小電壓受限驅(qū)動力和最大電壓受限驅(qū)動力來綜合確定。由于關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束只需要考慮膝關(guān)節(jié)或踝關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束（τki＝0），所以上述方法中每條腿的驅(qū)動約束只有2個關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束（前述現(xiàn)有研究方法中，每條腿需要6個關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束）。

由于受限驅(qū)動力的計算表達(dá)式復(fù)雜，加上需要比較的次數(shù)多，所以確定支撐腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束的計算量比較大。為此本文提出一種轉(zhuǎn)換方法來減小確定支撐腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束的計算量。即通過比較膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)電機(jī)的最大及最小受限力矩，可有效減少確定腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束的計算量。具體方法如下：

將式（2）代入式（3）可得

式中，τanklemin、τanklemax、τkneemin、τkneemax分別為踝關(guān)節(jié)電機(jī)和膝關(guān)節(jié)電機(jī)的最小驅(qū)動力矩和最大驅(qū)動力矩。

式（4）為每條腿的關(guān)節(jié)驅(qū)動力約束，該約束由兩個關(guān)于pi、qi的線性不等式組成。

1.1.3 動力學(xué)約束方程的轉(zhuǎn)換與簡化

以機(jī)體為研究對象，通過支撐腿建立機(jī)體的力和力矩平衡方程，可以建立6個平衡方程（力平衡方程2個和力矩平衡方程4個），轉(zhuǎn)換過程也實(shí)現(xiàn)了約束方程的簡化，本文中的6個方程只有2n個優(yōu)化變量（n為支撐腿數(shù)量），而前述現(xiàn)有方法中有3n個優(yōu)化變量。

設(shè)機(jī)器人所受主矢R＝（Rx，Ry，Rz）和主矩M＝（Mx，My，Mz）的外力作用，各足在機(jī)體坐標(biāo)系Σc中的位置矢量ri＝（rix，riy，riz）（i為腿號），所受接觸面作用反力的合力Fi＝（Fix，F(xiàn)iy，F(xiàn)iz）。根據(jù)力、力矩平衡關(guān)系有下列方程：

式中，m0為機(jī)體的質(zhì)量；a0為平動加速度；g為重力加速度矢量。

當(dāng)多足爬墻機(jī)器人以靜步態(tài)直線行走時，可以忽略加速度的影響，因此a0＝0。由zc軸和xc軸方向的力與力矩平衡可以簡化得到下面的矩陣方程：

式中，xn、yn、zn分別為各腿髖關(guān)節(jié)在坐標(biāo)系Σc中的坐標(biāo)；α為吸附面法線與重力加速度方向的夾角。

1.1.4 吸盤安全性約束轉(zhuǎn)換與簡化

以吸盤為研究對象，建立關(guān)于吸盤的力平衡方程［10］。支撐腿足力的反力（實(shí)際上是球鉸對吸盤的作用力）沿著吸盤吸附面坐標(biāo)系方向分解合成，得到沿著吸盤吸附面的切向力和法向力，分別為qi和pi，以吸附力方向?yàn)檎?，由吸盤受力關(guān)系可以推導(dǎo)出摩擦力約束條件為

式中，wi為第i條支撐腿真空吸盤壓差所產(chǎn)生的對吸盤的垂直壓力（簡稱吸附力，已知）；μmaxi為最大靜摩擦因數(shù)（已知）。

法向安全約束確保支撐腿吸盤有足夠的吸附力，使吸盤不脫離吸附面。由吸盤受力關(guān)系可以推導(dǎo)出法向安全約束條件為

本文建立的摩擦力約束為線性不等式約束，優(yōu)化問題的求解計算量大大減小了。

1.2 基于能耗目標(biāo)的足力優(yōu)化

機(jī)器人在實(shí)際的工作環(huán)境中，需要連續(xù)長時間運(yùn)行，其主要的能量均消耗在各個關(guān)節(jié)的電機(jī)之上，其行走方式將成為影響機(jī)器人運(yùn)行能耗的主要因素。為了合理地控制機(jī)器人的機(jī)械能耗、提高機(jī)器人供電電源的續(xù)航能力，需要對機(jī)器人的能耗目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。

能耗目標(biāo)采用使所有關(guān)節(jié)電機(jī)功率總和最小為目標(biāo)函數(shù)，則能耗目標(biāo)函數(shù)可表示如下：

將式（2）代入式（9），以所有支撐腿關(guān)節(jié)電機(jī)功率總和最小為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

上述優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)具有以下特點(diǎn)：①優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于足底接觸力pi、qi的二次函數(shù)，保障了優(yōu)化模型解的連續(xù)性；②可以實(shí)現(xiàn)足底接觸力的優(yōu)化，結(jié)合式（2）可計算出所有關(guān)節(jié)的驅(qū)動力，因此可同步實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)驅(qū)動力優(yōu)化。

2 足力控制模型與電流控制模型的轉(zhuǎn)換

建立基于足底接觸力和驅(qū)動力的足力控制模型，實(shí)現(xiàn)對足力和足底接觸力的同步控制。支撐腿通過髖關(guān)節(jié)在機(jī)體上的作用力可分解成大小和方向與pi、qi相同的兩個力，pi、qi作用力的方向分別為髖關(guān)節(jié)軸線方向和法線方向，可在髖關(guān)節(jié)上安裝傳感器測量pi和qi。根據(jù)電機(jī)電流與關(guān)節(jié)力矩關(guān)系式，建立膝關(guān)節(jié)驅(qū)動力控制模型：

（1）輸出測量值。通過pi和qi測量值可以計算出τhi的輸出值。

（2）輸入?yún)⒖贾?。通過優(yōu)化模型可以求解出pi和qi，代入τhi＝（dipi＋liqi）／2可計算出τhi，作為控制系統(tǒng)的輸入?yún)⒖贾怠?/p>

（3）控制模型。采用電機(jī)電流控制模型來實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)驅(qū)動力控制，其模型為

利用式（11）所得電流控制變量IiT，采用三段回路PID控制器就可以獲得非常好的電機(jī)關(guān)節(jié)驅(qū)動力控制效果。其控制框圖如圖2所示，實(shí)現(xiàn)方法如下：①以IiT為控制變量，電機(jī)測量得到的電流、速度和位置作為反饋量，四者的差值作為電流環(huán)回路PID控制器的輸入量；②以電流環(huán)PID控制器的輸出量為速度環(huán)的輸入量；③以速度環(huán)PID控制器的輸出量為位置環(huán)的輸入量，位置環(huán)的輸出量即為滿足關(guān)節(jié)驅(qū)動力的實(shí)際位置量。

圖2 三段回路PID控制規(guī)律

3 實(shí)驗(yàn)與仿真

為了研究八足爬墻機(jī)器人在不同的環(huán)境下攀爬所需的最小功率以及所對應(yīng)的控制規(guī)律，使用MATLAB對攀爬不同傾斜平面時機(jī)器人的足力控制進(jìn)行優(yōu)化。將八足機(jī)器人的八條腿分為兩組，腿1、2、3、4為一組，腿5、6、7、8為另一組。當(dāng)其中一組腿的吸盤吸附在攀爬面上時，該組的腿為支撐腿，另一組的吸盤松開，可自由擺動，該組的腿為擺動腿。兩組交替擺動運(yùn)行，完成機(jī)器人沿平面直線爬行的步態(tài)，如圖3所示。圖3中，α為吸附平面的傾斜角度，顯然，該角即為吸附面法線與重力加速度方向的夾角。

圖3 直線爬行步態(tài)圖

令機(jī)器人支撐腿與髖關(guān)節(jié)軸線的夾角為β，為了既使相鄰的兩條腿在擺動過程中不出現(xiàn)相互干涉的現(xiàn)象，又使腿有足夠的擺動角度，增大支撐腿擺動后機(jī)器人本體移動的距離，提高機(jī)器人的運(yùn)動效率，將β的取值范圍設(shè)定為［－45°，45°］。

在圖4所示的吸盤吸附平面中，機(jī)器人支撐腿擺動角度為2β＝90°，機(jī)器人本體從位置1移動至位置2，設(shè)膝關(guān)節(jié)到球鉸的距離（即擺動腿的長度）為S，則有

圖4 機(jī)器人本體前行過程

表1 電機(jī)功率與扭矩實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對吸盤進(jìn)行吸附實(shí)驗(yàn)，可得最大吸附力wi和最大靜摩擦因數(shù)μmaxi。膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)采用同一型號電機(jī)，則有τanklemin＝τkneemin及τanklemax＝τkneemax。各仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)表

根據(jù)式（10），取n＝4，以式（4）、式（6）～ 式（8）為約束條件，使用簡面體爬山算法（SM）進(jìn)行優(yōu)化計算，可得最小總功率min P關(guān)于α、β的曲面，如圖5所示。

圖5 最小總功率min P與α、β的關(guān)系

從圖5可以看出，由wi＝875N和μmaxi＝0.6所確定的吸盤安全性約束可滿足機(jī)器人吸附攀爬的需求，其消耗的最小功率與其運(yùn)動的狀況滿足直觀的規(guī)律，具體表現(xiàn)為：當(dāng)α＝0（機(jī)器人正立爬行）及α＝π（機(jī)器人倒立爬行）時，機(jī)器人支撐腿擺動到β＝0時所需總功率最小，往兩邊擺動，即｜β｜增大時所需總功率P隨之增加；相反，當(dāng)α＝π／2（機(jī)器人在側(cè)立面爬行）時，機(jī)器人支撐腿擺動到β＝0時所需總功率最大，往兩邊擺動，即｜β｜增大時所需總功率P隨之減少。

由最優(yōu)算法計算出當(dāng)q1＝q2＝q3＝q4、p1＝p2＝p3＝p4時，總功率P最小。以q1和p1為例，α與q1、p1的關(guān)系曲線如圖6所示。

圖6 α 與q1、p1的關(guān)系

圖6說明了多足爬墻機(jī)器人在攀爬不同傾斜角度的平面時都有且僅有一組確定的足底接觸力qi和pi，使機(jī)器人的能耗最小。

根據(jù)式（2），將足力控制分量轉(zhuǎn)換為電機(jī)的控制扭矩τ1，那么α、β 與τ1的關(guān)系曲面如圖7所示。

圖7 電機(jī)控制扭矩τ1與α、β的關(guān)系

與圖5類似，當(dāng)α＝0及α＝π時，機(jī)器人支撐腿擺動到β＝0時關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τi最小，往兩邊擺動時，即｜β｜增大時τi隨之增大；相反，當(dāng)α＝π／2時，機(jī)器人支撐腿擺動到β＝0時關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τi最大，往兩邊擺動時，即｜β｜增大時τi隨之減少。這是由于式（2）確定了足底接觸力與電機(jī)扭矩的關(guān)系，而足底接觸力與最小總功率之間又有唯一確定的關(guān)系，故電機(jī)控制扭矩與電機(jī)最小總功率之間有相似的變化規(guī)律。

根據(jù)式（11）所述的電機(jī)電流控制模型，即可將仿真所得的電機(jī)控制扭矩轉(zhuǎn)換為電機(jī)的控制電流。

4 結(jié)語

本文以八足爬墻機(jī)器人為例，描述了多足爬墻機(jī)器人的足力優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了多足機(jī)器人的關(guān)節(jié)驅(qū)動力和足底接觸力的轉(zhuǎn)換。建立了多足爬墻機(jī)器人總電機(jī)功率與機(jī)器人的運(yùn)動步態(tài)及作業(yè)環(huán)境（包括攀爬角度與吸附平面的粗糙度）的關(guān)系。在滿足爬墻機(jī)器人吸附安全性和足力負(fù)載均衡的條件下，對機(jī)器人的足底接觸力進(jìn)行優(yōu)化，提高了機(jī)器人對環(huán)境變化及支撐腿數(shù)量變化的適應(yīng)能力，并降低了關(guān)節(jié)驅(qū)動電機(jī)的能耗，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人電機(jī)總能耗最小化的目標(biāo)。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，本文所提出的足力控制方法減少了優(yōu)化的計算量，實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)驅(qū)動力和足底接觸力的同步控制，優(yōu)化所得的扭矩控制模型簡單直觀，便于轉(zhuǎn)換為機(jī)器人驅(qū)動電機(jī)的電流控制模型。

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