印 松

上海電機學(xué)院，上海，200245

0 引言

從運動形式來看，踝關(guān)節(jié)可視為球鉸，具有繞3個垂直軸的轉(zhuǎn)動，即背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻、內(nèi)旋/外旋。目前臨床使用的踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練器結(jié)構(gòu)簡單，功能單一，僅提供繞1個軸的轉(zhuǎn)動(背伸/跖屈)，因此康復(fù)訓(xùn)練并不全面。從關(guān)節(jié)運動的原理來看，肌肉群共同作用牽引骨骼產(chǎn)生運動，這與并聯(lián)機構(gòu)的工作方式非常相似。此外，并聯(lián)機構(gòu)具有高剛性、高承載能力等特點，且能以緊湊的結(jié)構(gòu)實現(xiàn)多個自由度的運動。因此，采用并聯(lián)機構(gòu)來實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練具有廣闊的應(yīng)用前景。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對此開展了廣泛的應(yīng)用研究。美國新澤西州立大學(xué)研制的Rutgers踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練器借助于虛擬現(xiàn)實技術(shù)來幫助患者實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練［1］。由于其主體結(jié)構(gòu)采用了氣壓驅(qū)動的六自由度Stewart平臺，除帶來噪聲影響之外，還提高了整個設(shè)備的復(fù)雜性和成本。Dai等［2-4］所開發(fā)的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人采用了3－SPS/S型并聯(lián)機構(gòu)。Liu等［5-6］提出的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人則采用了3－RSS/S型并聯(lián)機構(gòu)。上述兩類機構(gòu)本質(zhì)相同，由于中間球關(guān)節(jié)的約束作用，該類機構(gòu)具有與踝關(guān)節(jié)相同的球面運動特征，但其轉(zhuǎn)動中心與踝關(guān)節(jié)并不重合，因此可能引起踝關(guān)節(jié)非預(yù)期的運動。通過分析現(xiàn)有踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人的不足，邊輝等［7］提出一種新型的2－RRR/UPRR并聯(lián)機構(gòu)。通過巧妙的設(shè)計，該機構(gòu)具有遠程回轉(zhuǎn)中心，可保證機構(gòu)轉(zhuǎn)動中心與踝關(guān)節(jié)重合。這種機構(gòu)采用了非對稱結(jié)構(gòu)，其回轉(zhuǎn)中心固定，不能滿足具有不同關(guān)節(jié)尺寸用戶的使用需求。

本文采用基于3－PUS/S型并聯(lián)機構(gòu)的康復(fù)機器人來輔助病人實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練，通過踝關(guān)節(jié)到機器人的運動映射分析，以解決機器人回轉(zhuǎn)中心與踝關(guān)節(jié)中心不重合的問題，為實現(xiàn)機器人的有效控制提供了依據(jù)。

1 踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人設(shè)計

如圖1所示，人體踝關(guān)節(jié)可視為1個具有3個轉(zhuǎn)動自由度(背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻、內(nèi)旋/外旋)的球關(guān)節(jié)。因此，為了全面、有效地實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練，機器人應(yīng)具備球面運動的能力。傳統(tǒng)的踝關(guān)節(jié)康復(fù)儀僅提供單個轉(zhuǎn)動自由度，顯然不能滿足踝關(guān)節(jié)復(fù)雜運動的需要。本文采用3－PUS/S型并聯(lián)機構(gòu)來設(shè)計踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人。

圖1 踝關(guān)節(jié)運動模型

假定并聯(lián)機構(gòu)滿足:①機構(gòu)原動件數(shù)等于機構(gòu)末端執(zhí)行器的自由度，即原動件數(shù)為3，機構(gòu)既非欠驅(qū)動也非冗余驅(qū)動;②每個分支運動鏈僅含1個原動件，即分支運動鏈數(shù)為3;③各分支運動鏈具有相同的結(jié)構(gòu)形式;④機構(gòu)動平臺與靜平臺之間通過1個S副(球面副)運動鏈連接，以保證機構(gòu)實現(xiàn)繞定點(球面副中心點)的3個轉(zhuǎn)動自由度。

滿足以上條件的球面運動并聯(lián)機構(gòu)如圖2所示。假定各構(gòu)件之間通過單自由度的基本副連接，Kutzbach Grubler自由度計算公式為

化簡得

圖2 球面運動型并聯(lián)機構(gòu)

由于n'和g'皆為整數(shù)，因此可取n'=5，g'=6，即該類球面運動并聯(lián)機構(gòu)的分支運動鏈需包含6個單自由度簡單副或等價的多自由度運動副，這里選用PUS型運動支鏈。然而，并聯(lián)機構(gòu)屬于復(fù)雜空間機構(gòu)，必須考慮各運動鏈對動平臺所產(chǎn)生約束的類型、方向等因素對自由度計算公式所產(chǎn)生的影響［8］。旋量理論在分析機構(gòu)自由度的數(shù)目及自由度的具體性質(zhì)方面有其獨特的優(yōu)勢，下面采用旋量理論來分析3－PUS/S型并聯(lián)機構(gòu)的運動特點。

圖3所示的3－PUS/S型并聯(lián)機構(gòu)中，動平臺和靜平臺之間通過3個對稱分布的PUS運動支鏈連接。包含球鉸O的中間支撐鏈上下端O1、O2分別與動靜平臺中心固定連接。下角點A1、A2、A3和上角點C1、C2、C3分別均勻布置在半徑為r1和r2的圓周上。移動副P匯交于點D，且與靜平臺形成夾角θ。U副第一回轉(zhuǎn)軸線與靜平臺平行且與P副方向垂直。在O點建立固定坐標(biāo)系OXYZ，X軸位于O1A1O2平面內(nèi)且與靜平臺平行，Z軸豎直向上。初始狀態(tài)，動平臺與靜平臺平行且點O、A1、O1、C2和O2位于同一平面內(nèi)。

圖3 3-PUS/S型并聯(lián)機構(gòu)

式中，z為Z軸的單位方向向量。

式中，u1為桿B1C1的單位方向向量;l為B1C1的長度，定值。

球鉸等價于3個軸線互相正交的轉(zhuǎn)動副，其相關(guān)向量可視為

則可得該運動支鏈運動旋量系:

式中，b1為點B1的位置向量;r1為靜平臺外接圓的半徑;h1為球鉸中心O到靜平臺的距離;L1為移動副的位移;c1=(xc，yc，zc)為點 C1的位置向量。

從式(7)可看出，該旋量系線性無關(guān)，即

根據(jù)互易螺旋理論，該運動支鏈對動平臺無約束作用。對其他兩運動支鏈進行分析可得到同樣的結(jié)論，即動平臺在PUS型運動支鏈的作用下，可存在任意形式的運動。因此，添加帶球鉸的中間支撐鏈即可限制動平臺的平移運動。

由上面的分析可知，機構(gòu)動平臺僅存在繞定點的球面運動，該運動方式與踝關(guān)節(jié)的運動方式相同。

2 運動學(xué)分析

對運動鏈j(j=1，2，3)進行分析，由空間向量關(guān)系可得

式中，aj為點Aj的位置向量;c'j為點Cj在動平臺坐標(biāo)系下的位置向量;R為3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣。

式(9)兩邊同時點乘uj可得

當(dāng)給定動平臺的轉(zhuǎn)角信息(α，β，γ)，即可根據(jù)式(10)計算出各運動支鏈移動副的位移。

為了得到機構(gòu)的速度關(guān)系式，將式(9)兩邊對時間t求導(dǎo)，得

式中，ωj、W分別為桿BjCj和動平臺的角速度;aj為一常值向量，其導(dǎo)數(shù)為零。

式(10)兩端點乘uj，可得

式(12)揭示了輸入速度與動平臺轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，其矩陣的形式為

其中，J為3×3的Jacobian雅可比矩陣。

3 踝關(guān)節(jié)與機構(gòu)的運動映射

盡管3－PUS/S型球面運動并聯(lián)機構(gòu)具有與踝關(guān)節(jié)相同的繞定點運動的特點，但其轉(zhuǎn)動中心與踝關(guān)節(jié)中心并不重合。為了正確、有效地實現(xiàn)康復(fù)訓(xùn)練，必須對踝關(guān)節(jié)和機構(gòu)的運動映射關(guān)系進行分析。

3.1 背伸/跖屈

背伸/跖屈是踝關(guān)節(jié)的主要運動形式。為了實現(xiàn)該種形式的訓(xùn)練，患者呈坐姿，并將其腳與動平臺固定。將機構(gòu)和患者下肢投影至OXZ平面。由于腳與動平臺固定在一起，因此可將其視為一個構(gòu)件OD，同樣，機構(gòu)靜平臺和座椅等靜止部件可用構(gòu)件OF來代替。這樣，就可得到圖4所示的平面四桿機構(gòu)ODEF。

圖4 踝關(guān)節(jié)背伸 /跖屈運動分析簡圖

對四桿機構(gòu)ODEF進行分析，得

消除式(14)中的角度σ，可得

動平臺繞Y軸的角位移可表示為

式中，δ0為DO和OF的初始夾角。

背伸/跖屈角位移βf為Z軸和小腿DE之間的夾角:

當(dāng)給定了背伸 /跖屈角位移，即可通過式(10)、式(15)～式(17)來計算驅(qū)動器位移Lj。

3.2 內(nèi)翻 /外翻

為了實現(xiàn)內(nèi)翻 /外翻訓(xùn)練，將機構(gòu)和患者下肢投影至OYZ平面，得圖5。圖5中，同樣可得到一個近似的平面四桿機構(gòu)ODEF。通過對該四桿機構(gòu)進行分析，可得

式中，α為動平臺繞X軸的轉(zhuǎn)角;φ1為內(nèi)翻 /外翻運動角位移。

一旦給定內(nèi)翻/外翻運動轉(zhuǎn)角，就可通過式(10)、式(18)來計算驅(qū)動器位移Lj。

圖5 踝關(guān)節(jié)內(nèi)翻/外翻運動分析簡圖

3.3 內(nèi)旋 /外旋

為研究踝關(guān)節(jié)內(nèi)旋/外旋運動與機器人運動的映射關(guān)系，將機構(gòu)動平臺和患者下肢投影至OXY平面，得圖6。圖6中，患者腳隨動平臺C1C2C3繞Z軸轉(zhuǎn)動，D0O和DO分別為腳初始方向和轉(zhuǎn)動后的方向，其夾角∠D0OD即為踝關(guān)節(jié)內(nèi)旋 /外旋運動轉(zhuǎn)角。由圖6可知，轉(zhuǎn)角∠D0OD與動平臺歐拉角γ相等。

圖6 踝關(guān)節(jié)內(nèi)旋/外旋運動分析簡圖

4 仿真實驗

設(shè)相關(guān)參數(shù)如下:a=200mm，b=400mm，c=450mm，d=800mm，a1=200mm，b1=200mm，c1=100mm，d1=300mm，δ0=40°，∠O2OF=60°，在 MATLAB中建立各轉(zhuǎn)角關(guān)系式，當(dāng)背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻運動變化范圍為［－30°，30°］時，仿真結(jié)果如圖 7、圖8 所示。

圖7 背伸/跖屈運動

圖8 內(nèi)翻/外翻運動

由圖7可見，背伸/跖屈運動與動平臺繞Y軸的轉(zhuǎn)動并不相同，當(dāng)背伸/跖屈運動線性均勻變化時，β呈非線性非均勻變化。因此將機器人回轉(zhuǎn)中心等同于踝關(guān)節(jié)中心，將導(dǎo)致錯誤的控制結(jié)果。內(nèi)翻/外翻運動(圖8)可得到同樣的結(jié)論。

5 結(jié)語

采用自由度分析方法，設(shè)計了具有球面運動能力的并聯(lián)機構(gòu)來輔助踝關(guān)節(jié)實現(xiàn)康復(fù)訓(xùn)練。旋量理論分析表明，機構(gòu)的PUS運動支鏈不對動平臺產(chǎn)生任何約束，具有與踝關(guān)節(jié)相同的球面運動的能力。在建立機構(gòu)逆運動學(xué)的基礎(chǔ)之上，將機構(gòu)與人體下肢視為平面四桿機構(gòu)。通過對該平面四桿機構(gòu)的分析，得到踝關(guān)節(jié)到機構(gòu)的運動映射關(guān)系。數(shù)值仿真表明，機器人回轉(zhuǎn)中心與踝關(guān)節(jié)中心不重合，人－機運動映射有助于正確、有效地實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)運動控制。

［1］Girone M，Burdea G，Bouzit M，et al.A Stewart Platform －based System for Ankle Telerehabilitation［J］.Autonomous Robots，2001，10(2):203-212.

［2］Dai J S，Zhao T S，Nester C.Sprained Ankle Physiotherapy Based Mechanism Synthesis and Stiffness A-nalysis of a Robotic Rehabilitation Device［J］.Autonomous Robots，2004，16(2):207-218.

［3］Saglia J A，Tsagarakis N G，Dai J S.Inverse－kinematics－based Control of a Redundantly Actuated Platform for Rehabilitation［J］.Journal of Systems and Control Engineering，2009，223(1):53-70.

［4］Saglia J A，Tsagarakis N G，Dai J S.A High Performance 2－dof Over－actuated Parallel Mechanism for Ankle Rehabilitation［C］//Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation.Kobe，Japan，2009:2108-2186.

［5］Liu G Q，Gao J L，Yue H，et al.Design and Kinematics Simulation of Parallel Robots for Ankle Rehabilitation［C］//IEEE International Conference on Mechatronics and Automation.Luoyang，China，2006:1109-1113.

［6］Liu G Q，Gao J L，Yue H，et al.Design and Kinematics Analysis of Parallel Robots for Ankle Rehabilitation［C］//IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems.Beijing，2006:253-258.

［7］邊輝，劉艷輝，梁志成，等.并聯(lián)2－RRR/UPRR踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人機構(gòu)及其運動學(xué)［J］.機器人，2010，32(1):6-12.

［8］趙景山，馮之敬，褚福磊.機器人機構(gòu)自由度分析理論［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.