王 坤，朱作鍵

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004)

0 引言

時(shí)滯性、非線性以及參數(shù)不確定性在實(shí)際控制系統(tǒng)中是普遍存在的.例如，許多網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)是同時(shí)含狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯的非線性系統(tǒng)，而且通常兩種時(shí)滯是不同的.時(shí)滯往往是系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩、不穩(wěn)定和性能變差的根源，這就增加了系統(tǒng)分析和研究的難度，因而，時(shí)滯系統(tǒng)的研究一直受到眾多學(xué)者的關(guān)注，特別是非線性時(shí)滯系統(tǒng)的研究.在對非線性時(shí)滯系統(tǒng)的研究中，文獻(xiàn)［1-3］的作者研究了具有狀態(tài)時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的魯棒控制.文獻(xiàn)［4］的作者分析研究了含有多輸入時(shí)滯非線性系統(tǒng)的魯棒控制.文獻(xiàn)［5-12］的作者針對含狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯的不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性及反饋控制律設(shè)計(jì)問題.這些文獻(xiàn)并沒有針對同時(shí)具有狀態(tài)時(shí)滯、輸入時(shí)滯和非線性擾動(含有雙時(shí)滯)的不確定時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)討論.筆者在此基礎(chǔ)上，針對一類同時(shí)具有輸入時(shí)滯、狀態(tài)時(shí)滯和非線性擾動(含有雙時(shí)滯)的不確定系統(tǒng)，討論了此類系統(tǒng)的魯棒控制問題.首先，通過選擇適當(dāng)積分形式的Lyapunov函數(shù);然后，結(jié)合矩陣分析理論和魯棒穩(wěn)定理論，利用線性矩陣不等式(LMI)性質(zhì)，推導(dǎo)出此系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件，并給出了一個(gè)相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律;最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了此結(jié)論的可行性以及有效性.

1 問題描述

考慮如下不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng):

式中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u(t)∈Rm是控制輸入向量;τ1(t)、τ2(t)分別是系統(tǒng)狀態(tài)滯后和輸入滯后，且對所有的t，滿足

式中:H、E1、E2、E3和E4是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣;F(t)是具有Lebesgue可測元的未知實(shí)矩陣函數(shù)，且滿足FT(t)F(t)≤I，其中，I為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣.

是時(shí)變的非線性擾動.系統(tǒng)受外界的影響是經(jīng)常變化的，可能偏離正?；蝾A(yù)期的情況，這種外界影響的變化稱為擾動，其一般都在一定范圍內(nèi)變化，即滿足?t∈［0，+∞)，

其中，Hi(i=1，2，3，4)為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣.

φ(t)∈Cn［- τ，0］是連續(xù)向量函數(shù)，表示系統(tǒng)的初始條件.

對于系統(tǒng)(1)，研究其魯棒穩(wěn)定性，若［A1B1］能控，設(shè)計(jì)一個(gè)無記憶的狀態(tài)反饋控制律u(t)=Kx(t)使得對所有允許的不確定性，導(dǎo)出的閉環(huán)系統(tǒng):

是魯棒漸近穩(wěn)定的.

則式(5)可寫成:

為研究此系統(tǒng)的魯棒控制問題，引入兩個(gè)引理，如下:

引理1［13］記X，Y，Z為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣且ZTZ≤I，對于任意的標(biāo)量 ε＞0，下列不等式成立

引理2［13］若給定對稱正定矩陣X，Y和對稱負(fù)定矩陣Z，有

則存在標(biāo)量λ＞0，使得

2 主要結(jié)果

2.1 主要結(jié)果思路分析

針對系統(tǒng)(5)，在矩陣分析理論和魯棒穩(wěn)定理論基礎(chǔ)上，對其進(jìn)行了分析研究，得到了兩個(gè)關(guān)于系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的主要定理，并對定理進(jìn)行了相應(yīng)的證明.

第一個(gè)定理證明主要思路及步驟:①選擇適當(dāng)積分形式的Lyapunov函數(shù)，并進(jìn)行求導(dǎo);②結(jié)合引理1和條件(4)，利用線性矩陣不等式(LMI)性質(zhì)推導(dǎo)出此類時(shí)滯系統(tǒng)的一個(gè)與不確定性相關(guān)的魯棒漸近穩(wěn)定的充分條件，并給出了一個(gè)保證此類系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律.

第二個(gè)定理證明主要思路及步驟:在定理1的基礎(chǔ)上，利用引理1，2對定理1進(jìn)一步推導(dǎo)，結(jié)合Schur引理，得到一個(gè)確定的魯棒漸近穩(wěn)定的充分條件和狀態(tài)反饋控制律.

2.2 主要結(jié)果及證明

定理2.1 如果存在矩陣K∈Rm×n，和對稱正定矩陣 P1，P2，P3∈Rn×n使得對任意允許的不確定性F(t)，系統(tǒng)(5)滿足:

則系統(tǒng)(5)是魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定的，且u(t)=Kx(t)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)狀態(tài)反饋控制律.其中，

證明 取Lyapunov函數(shù)

其中，

沿系統(tǒng)(5)的任意軌跡，對V(t)求導(dǎo):

由式(4)和引理1知，

于是，再由式(2)知:

由魯棒漸近穩(wěn)定的定義知，系統(tǒng)(5)魯棒漸近穩(wěn)定的充分條件是式(6)成立，且u(t)=K·x(t)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)狀態(tài)反饋控制律.其中，P=P1A+ATP1+P1P1+P2+P3+H1TH1+K T H3TH3K證畢.

定理2.2 如果存在矩陣 Y∈Rm×n，對稱正定矩陣 X，Q1，Q2∈Rn×n和標(biāo)量 ε ＞0 使得系統(tǒng)(5)滿足下式(7):

則系統(tǒng)(5)是魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定的，且u(t)=YX-1x(t)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)狀態(tài)控制律.其中，

證明 基于定理1，顯然，式(6)可寫成

其中，標(biāo)稱項(xiàng)為

不確定項(xiàng)為

不等式(8)等價(jià)于對任意具有適當(dāng)維數(shù)的非零向量α，有

顯然

而且上式在

時(shí)取最大值，對于此F(t)值，不等式(9)必須滿足，即

其中，

顯然式(10)成立，必須有L＜0，且

由引理2知，存在標(biāo)量ε＞0使得

再由引理1知，對于標(biāo)量ε＞0使得

由式(11)、(12)以及Schur引理推導(dǎo)知，不等式(9)等價(jià)于式(13).

記 X=P-11，Y=KX，Q1=XP2X，Q2=XP3X.對式(13)同時(shí)左乘和右乘 diag{X，X，X，I}，結(jié)合Schur引理，經(jīng)過整理，得到式(7)，即式(13)等價(jià)于式(7).

易知K=YX-1，u(t)=YX-1x(t)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)狀態(tài)反饋控制律.證畢.

2.3 結(jié)果比較

非線性擾動是大多數(shù)時(shí)滯系統(tǒng)都存在的一個(gè)問題.本結(jié)果是在考慮輸入時(shí)滯與狀態(tài)時(shí)滯的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了非線性擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響所得出的結(jié)論.與只考慮輸入時(shí)滯和狀態(tài)時(shí)滯的系統(tǒng)所得出的結(jié)論比較，與實(shí)際更接近，適用范圍更廣.

文獻(xiàn)［10］針對一類同時(shí)具有狀態(tài)和輸入時(shí)滯的不確定廣義系統(tǒng)，研究其魯棒預(yù)測控制問題，得到了一個(gè)分段的穩(wěn)定性條件和分段連續(xù)狀態(tài)反饋控制律Kk，同時(shí)沒有考慮非線性擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，具有一定的保守性，而此結(jié)果考慮了此因素，并得到了一個(gè)無記憶的連續(xù)狀態(tài)反饋控制律u(t)=YX-1x(t)，相對降低了系統(tǒng)的保守性.由此可見，此時(shí)滯系統(tǒng)具有一定的研究意義.

3 數(shù)值仿真

考慮具有如下參數(shù)的不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)(1):

且滿足式(5).取 τ=0.4，ρ1=0.2，ρ2=0.4，由 MATLAB中LMI工具箱［14］解線性矩陣不等式(7)，求得增益矩陣 K= [-11.775 3 -0.609 6]，即系統(tǒng)(1)的一個(gè)狀態(tài)反饋控制律為:

不失一般性，圖1(a)為取 τ1(t)=0.2，τ2(t)=0.4時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖.圖1(b)為取τ1(t)=0.1，τ2(t)=0.2 時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)圖，可見結(jié)論是可行且有效的.

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)圖Fig.1 State response figure of closed-loop system

4 結(jié)論

筆者討論了一類具有輸入時(shí)滯和狀態(tài)時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定性及狀態(tài)反饋控制律的設(shè)計(jì)問題.在適當(dāng)條件下，通過選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，結(jié)合矩陣分析理論和魯棒控制理論，利用線性矩陣不等式(LMI)性質(zhì)，得到了依賴時(shí)滯的系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件，并給出了該系統(tǒng)一個(gè)相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律u(t)=YX-1x(t).最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了此結(jié)論的可行性以及有效性.

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