丘 嶸，王春雷

(1.廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院，廣東廣州510640;2.杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江杭州310018)

0 引言

偽隨機(jī)序列在數(shù)字通信、密碼系統(tǒng)和計算機(jī)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。混沌具有類隨機(jī)和連續(xù)寬帶功率譜特性，混沌與傳統(tǒng)密碼學(xué)之間存在著一種自然的聯(lián)系，且可以復(fù)制、控制和同步。因此，混沌可作為偽隨機(jī)序列發(fā)生器的一種新型隨機(jī)信號源，為偽隨機(jī)序列發(fā)生器的設(shè)計提供一種新的途徑和方法。雖然目前已出現(xiàn)混沌偽隨機(jī)序列的研究［1－5］，但很多研究還停留在理論分析或仿真分析上，對序列的隨機(jī)性能更缺乏符合國際標(biāo)準(zhǔn)的測試與分析。本文提出了一個新的混沌系統(tǒng)，在對該系統(tǒng)進(jìn)行基本動力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，基于該混沌系統(tǒng)和FPGA設(shè)計了一個混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器，對序列的隨機(jī)性進(jìn)行了美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(National Institute of Standards and Technology)標(biāo)準(zhǔn)［6］下的統(tǒng)計測試分析，并進(jìn)行了實驗驗證，獲得了預(yù)期的結(jié)果。

1 一個新的混沌數(shù)學(xué)模型

設(shè)計了一個新的三維二次混沌系統(tǒng):

式中，(x，y，z)∈R3為狀態(tài)變量，(a，b，c)∈R3為參數(shù)向量，其取值要保證系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。當(dāng)a=2，b=0.2，c=0.1，初始值為(2，1，1)時，通過 Matlab 中的 ODE45 函數(shù)求解式1，得到解的時域波形和相圖如圖1所示。系統(tǒng)此時是混沌的，其Lyapunov指數(shù)分別為 λ1=0.249 6，λ2=0，λ3= －1.243 2。

2 新混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性

平衡點是動力系統(tǒng)中所有狀態(tài)變量不隨時間變化的一種定態(tài)，令式1等號右端為零，可得系統(tǒng)的平衡點:

圖1 混沌系統(tǒng)的時域波形和相平面上的軌跡圖

穩(wěn)定性是指系統(tǒng)保持原有穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。如果一個系統(tǒng)屬于混沌系統(tǒng)，則它至少有一個平衡點是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的不穩(wěn)定性是作為一個混沌系統(tǒng)的必要條件。

通過求解平衡點的方式分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須得到系統(tǒng)的Jacobian矩陣:

將平衡點值系統(tǒng)參數(shù)值代入式3，得到平衡點處的特征方程為:

由勞斯－赫爾維茨(Routh－Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)可知:

當(dāng)Δ1，Δ2，Δ3不全為正的時候，平衡點是不穩(wěn)定的，滿足混沌對穩(wěn)定性的要求。式5中，a0= －1，a1= －1，a2= －54/35，a3= －2.8 可得 Δ1= －1，Δ2= －44/35，Δ3=3.52。綜上可知，新混沌系統(tǒng)在平衡點處是不穩(wěn)定的，滿足混沌系統(tǒng)對穩(wěn)定性的要求。

3 基于FPGA的偽隨機(jī)序列發(fā)生器的設(shè)計

設(shè)計的思路是以新的連續(xù)混沌系統(tǒng)為隨機(jī)信號源，首先對其數(shù)學(xué)模型離散化，然后采用Matlab的Simulink中的DSPBuilder庫來設(shè)計實現(xiàn)與離散模型對應(yīng)的數(shù)字電路而生成一個Model文件，通過Simulink中提供的“Signal Compiler”模塊將Matlab中設(shè)計生成的Model文件自動轉(zhuǎn)化成VHDL語言，最后可利用QuartusII來生成相應(yīng)的工程，設(shè)計輸入、綜合、適配和仿真后下載到FPGA上運(yùn)行設(shè)計的數(shù)字電路。

為提高運(yùn)算速率，選取歐拉算法把連續(xù)的非線性微分方程離散化:

式中，i=1，2，3，… ，N，由式6可得到一個近似的迭代循環(huán)體:

根據(jù)式7，可得到混沌系統(tǒng)的一種循環(huán)迭代形式:

當(dāng) 足夠小的時候，經(jīng)過歐拉算法離散化后的式8具有與式1所示的連續(xù)系統(tǒng)相同的動力學(xué)特性，此處選擇 =0.004。

對式8進(jìn)行迭代求解，迭代值xn隨時間混沌地變化，因此可抽取迭代過程中的的某一位構(gòu)成一個二值數(shù)字序列。當(dāng)然也可以同時抽取多位構(gòu)成二值序列，其顯著優(yōu)點之一是能提高二值序列的碼率。本文選擇對每次迭代值抽取一位生成偽隨機(jī)序列。

根據(jù)以上的離散量化算法并以FPGA為數(shù)字平臺設(shè)計了一個偽隨機(jī)序列發(fā)生器。在FPGA上利用DSP/Builder庫設(shè)計和實現(xiàn)了式8的一種混沌數(shù)字電路，如圖2所示。

圖2 用DSP Builder庫搭建的數(shù)字電路模型

利用Simulink中的“to workspace”模塊對搭建的數(shù)字電路進(jìn)行仿真，之后通過“Signal Compiler”模塊將模型文件.mdl轉(zhuǎn)化成適用于EDA工具處理的文件，在QuartusII(FPGA開發(fā)平臺)中打開“Signal-Compiler”轉(zhuǎn)換后的工程，然后按照FPGA開發(fā)的4個步驟進(jìn)行操作，即設(shè)計輸入、綜合、適配、仿真。將適配后產(chǎn)生的.sof類型的文件下載到FPGA中運(yùn)行，將運(yùn)行產(chǎn)生的數(shù)據(jù)直接輸出可觀測到如圖3(a)所示的數(shù)字偽隨機(jī)序列，如果通過D/A轉(zhuǎn)換后可在示波器上觀察到如圖3(b)所示的連續(xù)混沌信號的吸引子相圖。

由圖3可知，混沌系統(tǒng)在FPGA中產(chǎn)生的混沌吸引子相圖與圖1(b)所示的Matlab仿真圖一致，證明了離散化后的數(shù)字電路仍然能夠很好地保持原來混沌系統(tǒng)的特性。

4 結(jié)束語

為了設(shè)計新的偽隨機(jī)序列發(fā)生器，以便產(chǎn)生計算機(jī)、通信和密碼系統(tǒng)中所需的偽隨機(jī)序列，本文提出了一個新的混沌系統(tǒng)。對該系統(tǒng)的一些基本動力學(xué)特性進(jìn)行了理論和仿真分析，如耗散性、平衡點和穩(wěn)定性等。以新構(gòu)造的混沌系統(tǒng)作為隨機(jī)信號源，基于FPGA設(shè)計了一個混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器并進(jìn)行了實驗驗證。本文提出的偽隨機(jī)序列發(fā)生器的設(shè)計方法不但適用于以FPGA為平臺的混沌通信和密碼系統(tǒng)的設(shè)計，也可應(yīng)用于以DSP為平臺的其它數(shù)字系統(tǒng)之中。

圖3 在示波器上觀測到的數(shù)字混沌序列和模擬混沌相圖

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