汪漢新，蘇開友

(中南民族大學(xué)電子信息工程學(xué)院，武漢430074)

QC(Quasi Cyclic)LDPC 碼［1］是一類結(jié)構(gòu)化的LDPC碼，其校驗(yàn)矩陣H由基校驗(yàn)矩陣Hb中的元素經(jīng)方塊子矩陣擴(kuò)展后得到，易于高效編譯碼，適合硬件實(shí)現(xiàn)，因此QC-LDPC碼成為當(dāng)前通信領(lǐng)域研究熱點(diǎn)之一.

在構(gòu)造LDPC碼H矩陣時(shí)，需要考慮一個(gè)很重要的約束條件就是避免4環(huán)的存在.環(huán)是指與H矩陣對(duì)應(yīng)的Tanner圖中，形成閉合回路的邊數(shù)，其中最小環(huán)稱為圍長(zhǎng)［2］，其大小與Hb矩陣中的元素值有關(guān)［1］.通過修改元素值可實(shí)現(xiàn)較大圍長(zhǎng)［3，4］和改進(jìn)圍長(zhǎng)為6的H矩陣［5-8］，進(jìn)而提高QC-LDPC碼的誤碼性能.例如zhang等人提出的BIBD的構(gòu)造方法［3］，能構(gòu)造出圍長(zhǎng)為10的H矩陣;Kim等人通過設(shè)計(jì)母矩陣能將H矩陣的圍長(zhǎng)提高到14或18［4］.雖然H矩陣圍長(zhǎng)的提高，有利于譯碼的同時(shí)能獲得較好性能，但符合要求的碼的數(shù)量很少，而且隨著圍長(zhǎng)的增大，其碼長(zhǎng)也要達(dá)到一定長(zhǎng)度，因此無法滿足碼長(zhǎng)連續(xù)的要求，限制了該碼的實(shí)際應(yīng)用.優(yōu)化無4環(huán)是指在H矩陣的圍長(zhǎng)為6的情況下，對(duì)非規(guī)則QC-LDPC碼的循環(huán)移位次數(shù)和度分布進(jìn)行優(yōu)化，提高誤碼性能.其中最為典型的是圍長(zhǎng)為6的IEEE802.16e［5］標(biāo)準(zhǔn)中 LDPC 碼的設(shè)計(jì);另外還有最大化 ACE［6，7］和最小誤碼率準(zhǔn)則［8］等優(yōu)化方法，但是算法復(fù)雜度較高，且無法連續(xù)對(duì)一系列不同碼長(zhǎng)進(jìn)行優(yōu)化.除此之外，基于等差數(shù)列也能快速構(gòu)造出無4環(huán)的H矩陣［9］，但未經(jīng)優(yōu)化處理時(shí)，其誤碼性能較差，且當(dāng)Hb矩陣較大時(shí)，置換矩陣的長(zhǎng)度也要求很長(zhǎng)，碼長(zhǎng)的范圍受到不同程度的限制.

以上改進(jìn)方法中，由于增大圍長(zhǎng)要求較高，且多傾向于規(guī)則LDPC碼的構(gòu)造;而802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼的碼率范圍和碼的數(shù)量有限，不適合自適應(yīng)傳輸系統(tǒng)中碼長(zhǎng)碼率靈活變化的要求.因此，本文提出一種基于代數(shù)理論的滑動(dòng)矩形窗式構(gòu)造QC-LDPC碼的方法，并采用去對(duì)角線法來優(yōu)化H矩陣的度分布.與802.16e標(biāo)準(zhǔn) LDPC碼相比，本方法構(gòu)造的QC-LDPC碼具有較好的優(yōu)越性.

1 滑動(dòng)矩形窗式LDPC碼的構(gòu)造方法

1.1 矩陣的構(gòu)造

全矩陣Hs的結(jié)構(gòu)如式(1).

其中，Sij(1≤i≤N，1≤j≤N)表示矩陣中第 i行第j列置換矩陣的循環(huán)移位次數(shù)，該值不小于－1，正整數(shù)表示循環(huán)右移，0表示單位矩陣，－1表示零矩陣;擴(kuò)展因子z表示置換矩陣的維數(shù)，則Hs擴(kuò)展后的矩陣大小為Nz×Nz.

由文獻(xiàn)［9］知，若循環(huán)移位次數(shù)Sij滿足式(2)，且z滿足一定值時(shí)，則構(gòu)造出的矩陣無4環(huán).

和文獻(xiàn)［9］相比，本文的Hs矩陣元素的計(jì)算公式，滿足要求的z值更小.例如構(gòu)造4×4的矩陣，矩陣A的z值應(yīng)不小于22，而矩陣B的z值應(yīng)不小于12，兩種方法構(gòu)造的Hs矩陣如圖1所示.

圖1 兩種方法的比較Fig.1 Compare of two methods

本文的QC-LDPC碼的結(jié)構(gòu)采用和802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼相同的準(zhǔn)雙對(duì)角線結(jié)構(gòu)，其基校驗(yàn)矩陣Hb結(jié)構(gòu)如式(5)～(7).

其中，Hb1和Hb2分別為Hb矩陣中的數(shù)據(jù)部分和校驗(yàn)部分;Hb2是一個(gè)結(jié)構(gòu)固定的矩陣，矩陣中的0和－1分別表示單位矩陣和全零矩陣;b(1)=b(m)=bm(bm為小于z的素?cái)?shù));b(r)=0.Hb1矩陣是Hs矩陣中的某一小部分，可由滑動(dòng)形窗式構(gòu)造法求得.

根據(jù)式(2)，在Hs矩陣中一個(gè)任意大小的矩陣可由式(8)求出.對(duì)應(yīng)的z值應(yīng)滿足式(9).

其中，1≤i≤m;hf為矩陣的第一個(gè)第一列元素的值;ct為第一行公差;rt為第一列公差;m和k分別為Hb1矩陣的行和列的值.

在自適應(yīng)傳輸系統(tǒng)中，當(dāng)碼率發(fā)生改變時(shí)，由于碼率R=k/(k+m)，因此只需改變其中m和k的值即可.例如當(dāng)m=k=6時(shí)，碼率R=1/2，最小碼長(zhǎng)可達(dá)6×62=372，步長(zhǎng)為12;若R變?yōu)?/3，則在m不變的情況下，只需將k值變?yōu)?，在Hb1矩陣中相當(dāng)于刪除其中3列，相應(yīng)的最小碼長(zhǎng)為9×16=144，步長(zhǎng)變?yōu)?;或者將m和k的值變?yōu)?和2，則相當(dāng)于刪除其中2行和4列，最小碼長(zhǎng)變?yōu)?×7=42，步長(zhǎng)為6.在碼率變換方面可以看出，在碼率變換方面非常靈活，無需重新構(gòu)造，只需刪除一定的行和列即可，而碼長(zhǎng)也可以在步長(zhǎng)較小的情況下連續(xù)變化.同時(shí)通過修改hf、ct和rt的值，能構(gòu)造出不同z值和Tanner圖結(jié)構(gòu)的Hb1矩陣，其最終達(dá)到的效果也不盡相同，這三個(gè)值的選取可在誤碼率和迭代次數(shù)之間權(quán)衡.例如，構(gòu)造一個(gè)6×6的矩陣，其中hf=1、ct=0、rt=1，由此得到的矩陣如圖2中實(shí)線矩形窗覆蓋的矩陣.而當(dāng) hf、ct、rt的值變?yōu)?3、1、2 時(shí)，得到的矩陣如圖2中虛線矩形窗.數(shù)值的變化在圖2中就相當(dāng)于實(shí)線矩形窗向左和向下各移一位到虛線矩形窗的位置.

圖2 全矩陣及滑動(dòng)矩形窗Fig.2 Global matrix and slide rectangular window

因此，本文提出一種在結(jié)構(gòu)、碼長(zhǎng)和碼率可靈活變化的QC-LDPC碼的構(gòu)造方法——滑動(dòng)矩形窗式構(gòu)造法.首先，設(shè)計(jì)一個(gè)矩形窗的大小m×k，再放入全矩陣中進(jìn)行平行移動(dòng)，其覆蓋的元素作為Hb矩陣中的Hb1部分，而Hb2部分則是m×m的矩陣.之所以稱為滑動(dòng)矩形窗式構(gòu)造法，是因?yàn)橛墒?8)計(jì)算得到的矩陣就如同矩形窗在全矩陣中平行移動(dòng)得到的矩陣.如圖2中實(shí)線框和虛線框所示.該構(gòu)造方法和文獻(xiàn)［9，10］相比，構(gòu)造的Hb1矩陣，其z值要求更小，擴(kuò)大了構(gòu)造校驗(yàn)矩陣H的碼長(zhǎng)范圍.

1.2 Hb1矩陣的去對(duì)角線改進(jìn)法

若直接采用覆蓋的矩陣，則構(gòu)造出的QC-LDPC碼中的行和列的度數(shù)一樣，這相當(dāng)于規(guī)則LDPC碼，而規(guī)則LDPC碼的誤碼性能會(huì)隨著構(gòu)造矩陣的增大而提升緩慢［11］.因此本文通過去對(duì)角線改進(jìn)法，將行列度數(shù)相同的矩陣修改成具有不同度數(shù)的矩陣，能進(jìn)一步提高校驗(yàn)矩陣的誤碼性能.

去對(duì)角線法是指將Hb1矩陣中的元素沿著對(duì)角線用－1代替，即將這些位置的置換矩陣用零矩陣代替，實(shí)現(xiàn)度數(shù)的修改.例如將圖2實(shí)線框中矩陣修改如式(10)所示結(jié)構(gòu)，經(jīng)過和Hb2矩陣合并得到如式(11)所示的Hb矩陣，仿真結(jié)果表明，通過該方法改進(jìn)后能提高QC-LDPC碼的誤碼性能.

通過滑動(dòng)矩形窗式構(gòu)造的Hb矩陣以及簡(jiǎn)易的對(duì)角線改進(jìn)法，在保證性能的同時(shí)，碼長(zhǎng)和碼率能靈活變化.另外，由于H矩陣采用準(zhǔn)雙對(duì)角線結(jié)構(gòu)，編碼算法具有線性復(fù)雜度，因此非常適合自適應(yīng)傳輸系統(tǒng)下的硬件實(shí)現(xiàn).

2 仿真結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)條件是在AWGN信道下，采用快速迭代編碼算法，BPSK調(diào)制，LLR BP譯碼算法，迭代次數(shù)20次.對(duì)本文構(gòu)造的QC-LDPC碼進(jìn)行了蒙托卡諾仿真，同時(shí)也和IEEE802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼進(jìn)行了比較.例如，當(dāng)m=6時(shí)，構(gòu)造的H矩陣部分參數(shù)如表1所示.

表1 矩形窗式構(gòu)造法碼長(zhǎng)碼率靈活變化的H矩陣參數(shù)Tab.1 parameters of H with with agilely variable lengths and rates by using slide rectangular window

表1給出了在m值確定的情況下，k值的不同，則碼率不同，且碼長(zhǎng)也按照不同的步長(zhǎng)連續(xù)變化.當(dāng)k≤10時(shí)，碼率范圍從1/7到5/8.碼長(zhǎng)最小值從42到816，因此可以滿足自適應(yīng)傳輸系統(tǒng)的需求.

圖3是在相同碼率的情況下，不同維度的基校驗(yàn)矩陣在改進(jìn)前后的性能對(duì)比.從中可以看出在度數(shù)不大于6時(shí)，改進(jìn)前后誤碼性能差別不大，但當(dāng)度數(shù)大于6時(shí)，改進(jìn)后的性能優(yōu)勢(shì)明顯.這證明了對(duì)角線改進(jìn)法能提高誤碼性能.

在802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼中每種碼率共有19種碼長(zhǎng)，由于碼長(zhǎng)和碼率較多，因此選擇部分碼長(zhǎng)碼率進(jìn)行比較.取其中576、960、1440和2304四種碼長(zhǎng)進(jìn)行對(duì)比.仿真結(jié)果如圖4所示.

從圖4中可以看出，本文構(gòu)造的QC-LDPC碼和IEEE802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼相比，在誤碼性能上都略有損失，但差別在一個(gè)數(shù)量級(jí)以內(nèi).在信噪比(dB)為2時(shí)，本文構(gòu)造的碼在碼長(zhǎng)為2304時(shí)，BER能達(dá)到10－5數(shù)量級(jí)，能夠滿足實(shí)際系統(tǒng)的需求.

表2中，802.16e標(biāo)準(zhǔn)的 LDPC碼的在碼率為1/2時(shí)，碼長(zhǎng)從576到2304，且以96為步長(zhǎng)共19種.文獻(xiàn)［12］的碼率從1/4到3/4共10種，步長(zhǎng)從4到9共6中步長(zhǎng).本文構(gòu)造LDPC碼，其碼率沒有限制，最小碼長(zhǎng)為42，步長(zhǎng)最小為4.

圖3 改進(jìn)前后的誤碼性能比較Fig.3 BER performance before and after improvement

表2 3種H矩陣的參數(shù)對(duì)比Tab.2 The parameters of different parity-check matrix H

圖4 本文QC-LDPC碼和802.16e標(biāo)準(zhǔn)LDPC碼的性能比較Fig.4 The BER performance for different QC-LDPC

從表2的對(duì)比中可以看出，本文構(gòu)造的QCLDPC碼在誤碼性能略有損失的情況下，具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):碼率更加靈活可變;碼長(zhǎng)的最小值可達(dá)42;步長(zhǎng)更加寬泛;結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)以及改進(jìn)算法的簡(jiǎn)易性.

3 結(jié)語(yǔ)

基于矩形窗式構(gòu)造的QC-LDPC碼以及去對(duì)角線改進(jìn)法，相比其他構(gòu)造和改進(jìn)算法，本文算法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單且易于理解，同時(shí)該方法在誤碼性能損失不多的情況下，可實(shí)現(xiàn)碼率、碼長(zhǎng)的靈活變化，提高了可用QC-LDPC碼的范圍，更適合于自適應(yīng)傳輸系統(tǒng).另外，校驗(yàn)矩陣采用準(zhǔn)雙對(duì)角線結(jié)構(gòu)，其編碼算法具有線性復(fù)雜度，便于自適應(yīng)傳輸系統(tǒng)下的硬件實(shí)現(xiàn).同時(shí)，去對(duì)角線方法還能有一定的研究?jī)?yōu)化空間，這也是下一步的工作.

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