陶燕燕

(青島科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，山東 青島 266061)

0 引言

1 Crank－Nicolson差分格式的構(gòu)造

給出要解決的問題

方程(1)在(xj，tn+12)處滿足關(guān)系式

將(2)、(3)式代入(1)舍去誤差項(xiàng)得(4)式

上式(4)被稱為Crank－Nicolson差分格式，截?cái)嗾`差為O(τ2+h2)

2 Crank－Nicolson格式的穩(wěn)定性分析

由熱傳導(dǎo)方程的Crank－Nicolson格式，可將原來方程寫為下面的差分方程組:

以下討論差分方程系數(shù)不依賴于時(shí)間層面，即Ai=A，Bi=B，故Ci=A－1B=C

上面(6)式可以寫為

令 λ1，λ2…λM－1為 C 的特征值，用 ρ(C)表示 λi的最大值，即C的譜半徑，則有:

定理1 差分格式(7)穩(wěn)定的必要條件是，存在與k無關(guān)的常數(shù)c0，使得矩陣C=A－1B的譜半徑滿足

證明:因?yàn)閷τ谒械膎＞0，有ρn(C)=ρ(Cn)≤Cn

故若差分格式(7)穩(wěn)定，必有

容易算出(8)式和(9)式是等價(jià)的.事實(shí)上，若(8)式成立，則有

定理2 若A為正規(guī)矩陣，則A2=ρ(A).

定理3［4］若在差分格式(7)中，C=A－1B為正規(guī)矩陣，即其滿足CC*=C*C，則條件(8)是差分格式(7)按歐幾里得范數(shù)穩(wěn)定的充分條件.

證明:當(dāng)C為正規(guī)矩陣時(shí)，Cn也是正規(guī)矩陣，而正規(guī)矩陣的歐幾里得范數(shù)等于其譜半徑，故有Ck2= ρ(Cn)= ρn(C)，因而當(dāng)(9)式成立時(shí)，則

差分格式穩(wěn)定，又因?yàn)槭?8)和式(9)是等價(jià)的，從而式(8)是差分格式(7)穩(wěn)定的充分必要條件，證畢.

定解問題(1)的Crank－Nicolson格式是

寫成矩陣形式

于是 C=(2I － rTJ－1)－1(2I+rTJ－1)

3 數(shù)值試驗(yàn)

應(yīng)用Crank－Nicolson格式計(jì)算下列定解問題:

上述定解問題的精確解為u(x，t)=ex+t

表1 部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解、精確解和誤差的絕對值Table 1 The numerical solutions、the exact solutions and the absolute value of the error in some nodes

表1 部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解、精確解和誤差的絕對值Table 1 The numerical solutions、the exact solutions and the absolute value of the error in some nodes

n(x，t) 數(shù)值解 精確解 |精確解 －數(shù)值解|1 (0.5，0.1) 1.822349 1.822119 2.305e －4 2 (0.5，0.2)2.014105 2.013753 3.522e － 4 3 (0.5，0.3)2.225953 2.225541 4.124e － 4 4 (0.5，0.4)2.460072 2.459603 4.692e － 4 5 (0.5，0.5)2.718802 2.718282 5.204e － 4 6 (0.5，0.6)3.004743 3.004166 5.770e － 4 7 (0.5，0.7)3.320755 3.320117 6.379e － 4 8 (0.5，0.8)3.670002 3.669297 7.051e － 4 9 (0.5，0.9)4.055979 4.055200 7.795e － 4 10 (0.5，1.0)4.482550 4.481689 8.612e －4

表2 部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解、精確解和誤差的絕對值Table 2 The numerical solutions、the exact solutions and the absolute value of the error in some nodes

表2 部分結(jié)點(diǎn)處數(shù)值解、精確解和誤差的絕對值Table 2 The numerical solutions、the exact solutions and the absolute value of the error in some nodes

n (x，t) 數(shù)值解 精確解 |數(shù)值解 －精確解|10 (0.5，0.1) 1.822121 1.822119 2.281e －6 20 (0.5，0.2)2.013756 2.013753 3.420e － 6 30 (0.5，0.3)2.225545 2.225541 4.115e － 6 40 (0.5，0.4)2.459608 2.459603 4.672e － 6 50 (0.5，0.5)2.718287 2.718282 5.210e － 6 60 (0.5，0.6)3.004172 3.004166 5.776e － 6 70 (0.5，0.7)3.320123 3.320117 6.389e － 6 80 (0.5，0.8)3.669304 3.669297 7.064e － 6 90 (0.5，0.9)4.055208 4.055200 7.808e － 6 100 (0.5，1.0)4.481698 4.481689 8.629e －6

表3 取不同步長時(shí)數(shù)值解的最大誤差Table 3 The maximum error at different step－lengths

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