許 燕,劉名生

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

一個(gè)積分算子的單葉性

許 燕,劉名生*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

引入了一個(gè)定義在單位圓={z:|z|<1}內(nèi)規(guī)范化的解析函數(shù)類A上的積分算子Jγ1,…,γn,β(z),利用著名的Becker單葉性判別法、Schwarz引理和Caratheodory不等式,得到了這個(gè)積分算子在單位圓內(nèi)單葉的3個(gè)充分條件.即當(dāng)fj(z)(j=1,2,…,n)及參數(shù)γ1,…,γn,β滿足一定條件時(shí),積分算子Jγ1,…,γn,β(z)在單位圓內(nèi)是單葉的.

解析函數(shù); 積分算子; 單葉性; 星象性

令A(yù)表示形如

文獻(xiàn)[3]研究了以下積分算子:

(1)

并得到了積分算子Jγ1,γ2,…,γn(z)在單位圓內(nèi)單葉的一些充分條件.

文獻(xiàn)[4]引入了積分算子:

(2)

本文的目的在于推廣以上積分算子, 為此引入如下更一般的積分算子:

(3)

(4)

1 引理

為了導(dǎo)出本文的主要結(jié)果，需要如下引理.

則積分算子Fα

屬于S.

引理2[7]設(shè)f(z)是在圓盤(pán)R={z;|z|

等號(hào)(不等式中z≠0)成立當(dāng)且僅當(dāng)

這里θ是一個(gè)常數(shù).

引理3[8-9]設(shè)f(z)是在內(nèi)的解析函數(shù), 且f(0)=0.

若對(duì)某個(gè)固定的M>0,f(z)滿足

Ref(z)≤M,

則

2 主要結(jié)果

則由式(1)定義的積分算子Jγ1,γ2,…,γn,β(z)屬于S.

證明我們觀察得

(5)

(6)

于是

(7)

且

(8)

所以

現(xiàn)在由定理1的假設(shè), 有

再根據(jù)Schwarz引理, 得

(9)

因此,由式(9)和定理1的假設(shè), 可得

根據(jù)引理1,可得式(1)的函數(shù)Jγ1,γ2,…,γn,β屬于S.證畢.

屬于S.

如果在定理1中令n=1, 可以得到下面這個(gè)有趣的結(jié)果.

(10)

且

(11)

則式(1)的積分算子Jγ1,γ2,…,γn,β屬于S.

證明觀察得Jγ1,γ2,…,γn,β(z)為式(5)的形式.

(12)

則有p(0)=0，由式(8)和式(12)得到

(13)

應(yīng)用引理 2 可得

(14)

(15)

因?yàn)?/p>

(16)

(17)

根據(jù)式(7)和式(17), 應(yīng)用引理 1 可以得到式(1)的積分算子Jγ1,γ2,…,γn，β屬于S,定理得證.

且滿足

所以由定理2,可以得到

屬于S.

注記1 在定理2中令n=1, 可以得到文獻(xiàn)[3]的定理3.5;在定理2中令β=1,可以得到一個(gè)改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]的定理3.1的結(jié)果.

f(z)=z+a21z2+a31z3+….

若

則積分算子Jγ,β屬于S.

證明在定理2中取n=1,f1=f,γ1=γ,b=Re(1/γ), 即可得到推論2.

(18)

或

(19)

證明令

(20)

函數(shù)h(z)在內(nèi)正則, 有

(21)

定義函數(shù)

可得到ψj(0)=0 (j=1,…,n).

(22)

(23)

由式(21)和式(22)可得到

(24)

(25)

(26)

由式(20)有

再由式(25)、(26), 應(yīng)用引理 1 可得到式(1)的積分算子Jγ1,γ2,…,γn，β屬于S, 定理得證.

且滿足

同理可得

所以由定理3,可得

屬于S.

且滿足

同理可得

所以由定理3,可得

屬于S.

注記2 在定理 3中, 如果令β=1, 即可得到文獻(xiàn)[4]的定理3.4;若令n=1, 可得到文獻(xiàn)[3]的定理3.1.

[1] 劉志文,劉名生.某類解析函數(shù)子類的性質(zhì)與特征[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2010(3):11-14.

[2] 李宗濤, 劉名生. 一類解析函數(shù)的系數(shù)泛函[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005(3):86-91.

[3] PESCAR Virgil, BREAZ Daniel. On an integral operator[J]. Applied Mathematics Letters, 2010,23:625-629.

[4] PESCAR Virgil. On the univalence of an integral operator[J]. Applied Mathematics Letters, 2010,23:615-619.

[5] KIM Y J,MERKES E P. On an integral of powers of a spirallike function[J]. Kyungpook Math J, 1972,12:249-253.

[6] PASCU N N. On a univalence criterion, itinerant seminar functional equations, approximation and convexity[M]. Preprint, Cluj Napoca: Babes-Bolyai University, 1985:153-154.

[7] MAYER O. Function theory of one complex variable[M].Bucuresti: Academy Press, 1981.

[8] BLEZU D. On univalence criteria[J]. General Mathematics,2006,14(1):87-93.

[9] MOLDOVEANU S,PASCU N N,PASCU R N. On the univalence of an integral operator[J]. Mathematica, 2001,43:113-116.

Keywords： analytic function; integral operator; univalence; starlike property

OntheUnivalenceofanIntegralOperator

XU Yan, LIU Mingsheng*

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631，China)

A general integral operatorJγ1,…,γn,β(z) is introduced, which is defined on the class A of normalized analytic functions in={z:|z|<1}. Three sufficient conditions for the univalence of this integral operator in the unit diskare provided by applying the well-known Becker univalence criteria, Schwarz lemma and Caratheodory inequality. That is, the integral operatorJγ1,…,γn,β(z) is univalent in the unit diskwhen the functionsfj(z)(j=1,2,…,n) and the parametersγ1,…,γn,βsatisfy some conditions.

2010-06-04

教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20050574002)

*通訊作者，liumsh@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0019-05

O174.51

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】