鄭劍光 (浙江省臺州市路橋中學(xué),浙江 臺州 318050)

幾個典型空間軌跡問題的探討

鄭劍光 (浙江省臺州市路橋中學(xué),浙江 臺州 318050)

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，軌跡問題是立體幾何中重要問題之一，它體現(xiàn)了立體幾何與解析幾何的交匯，不僅是“能力立意”命題新理念下的新素材，也是高考題常常涉及的內(nèi)容。從幾何與解析2個角度討論了幾道有代表性求解空間軌跡問題?？臻g軌跡問題的探討不僅涉及一題多解，而且進(jìn)一步給出問題的再發(fā)展，極大地豐富了這些問題的內(nèi)涵，同時也是拓展思維的好辦法。

平面幾何；立體幾何；解析幾何；軌跡

1 幾何法

如果軌跡問題的條件是通過幾何方式給出的, 并且結(jié)論也是以幾何的方式表達(dá),那么就可以考慮用立體幾何、平面幾何的知識及方法求軌跡，而不涉及建立直角坐標(biāo)系。

例1[1](2004年重慶高考題) 若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是( )。

方法1圖形A可以按如下方法排除, 如果P在AC上時到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，那么當(dāng)點在AC上沿圖形A所示的軌跡運動到B點的開始階段,P到底面BCD的距離小于P在AC上時到底面BCD的距離,而P到棱AB的距離大于P在AC上時到棱AB的距離相等,因此至少P在AC上沿圖形A運動到B點的開始階段,到底面BCD的距離與到棱AB的距離不相等。 所以可以排除圖形A。 完全類似可以排除圖形B。所以答案只可能是C, 或是D。 因為P到棱BC的距離大于P到底面BCD的距離,換句話說P到棱BC的距離大于P到棱AB的距離,所以∠PBCgt;∠PBA,因此答案選D。

圖1 例1示意圖

方法2因為P到棱BC的距離與P到底面BCD的距離的比是大于1的常數(shù),從而得P到棱BC的距離與P到棱AB的距離的比是大于1的常數(shù), 因此答案選D。

方法3如圖1,設(shè)點P在AC上,作PO⊥平面BCD于O，BE⊥AB于E，因為PO=PE，所以∠PBE=∠PBO，若P′為BP上任一點，則P′到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，又由最小角定理，知∠P′BA=∠P′BOlt;∠P′BC,故選D。

例1的進(jìn)一步拓展若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離和到棱AB的距離之比為正常數(shù)k,則動點P的軌跡在△ABC組成的圖形依然是以B為一端點,另一端點在棱AC

上的線段。若k增大, 則P的軌跡向棱AB移動, 若k減速,P的軌跡向棱AB移動,特別地,k→+∞時P的軌跡以棱AB為極限;k→0+時P的軌跡以棱BC為極限。

例2[2-3]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AA1中點,點P在對角面BB1D1D內(nèi)運動(圖2),若EP總與直線AC成等角,則點P的軌跡可能是( )。

A.圓或圓的一部分 B.橢圓或橢圓的一部分

C.拋物線或拋物線的一部分 D.雙曲線或雙曲線的一部分

圖2 例2示意圖

方法1因AC是平面BB1D1D的法向量，EP總與AC成等角，所以EP與平面BB1D1D成等角，故點P到正方形BB1D1D的中心O的距離為定值，從而點P的軌跡可能是圓或圓的一部分,故選A。

方法2因為點E在對角面BB1D1D上的投影就是矩形BB1D1D的中心O, 所以AC∥EO,因此EP總與直線AC成等角等價于EP總與線段EO成等角,所以點P到矩形BB1D1D的中心O的距離為定值。所以點P的軌跡可能是圓或圓的一部分,故選A。

2 解析法

圖3 例3示意圖

如果軌跡問題的條件盡管是通過幾何方式給出的, 但點的軌跡僅僅用立體幾何、平面幾何的知識很難求得，此時需要通過建立直角坐標(biāo)系。

例3[4-5]在正四面體P-ABC中，M為△ABC內(nèi)(含邊界)一動點，且點M到3個側(cè)面PAB、PBC、PAC的距離成等差數(shù)列，則點M的軌跡是 。

又因為M在△ABC內(nèi)(含邊界)，則:

所以:

圖4 正四面體P-ABC

方法2用M作為公共頂點，然后以沒有M的3個面為底面可以作出3個三棱錐，這些棱錐的體積相加正好是正四面體P-ABC的體積(為常量)，而正四面體的4個面面積相等，因此3個距離和為常量。根據(jù)已知條件由于3個距離為等差數(shù)列，因此等差中項為常量。由此說明M到其中1個面的距離為常量。于是點M一定要在與這個面平行的某平面內(nèi)運動,而M在四面體的一個面內(nèi)，從而M的軌跡是2個面的相交線，由此一定是線段。

[1]高科軍，茍玉德.空間軌跡問題的采擷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2005(5)：12-16.

[2] 何天宇.由一道立體幾何題的解法得到的啟示[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2011(2):29-31.

[3] 夏錦. 高考題中一類定值,定點問題的求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2010(1):25-29.

[4] 王芝平. 一道高考題的多元研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2008(2):41-43.

[5] 何彩萍. 例析構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2010(Z1):50-51.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.000

O182;N4

A

1673-1409(2012)03-N150-03

2011-10-15

鄭劍光(1976-)，男，1999年大學(xué)畢業(yè)，中學(xué)一級教師，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)教育方面的教學(xué)與研究工作。