施紅星

(楚雄師范學(xué)院初等教育學(xué)院，云南 楚雄 675000)

Poisson回歸模型的局部影響分析*

施紅星

(楚雄師范學(xué)院初等教育學(xué)院，云南 楚雄 675000)

本文討論了Poisson回歸模型的局部影響分析，分別針對方差加權(quán)擾動(dòng)模型、響應(yīng)變量擾動(dòng)模型、自變量擾動(dòng)模型得到了相應(yīng)的影響矩陣和影響曲率的計(jì)算公式，并通過實(shí)際例子驗(yàn)證了本文診斷方法的有效性。

Poisson回歸模型;局部影響;擾動(dòng);影響矩陣;影響曲率

1.引言

統(tǒng)計(jì)診斷的主要目的是判斷實(shí)際數(shù)據(jù)與既定模型是否存在偏離，并指出影響點(diǎn)，常用的識(shí)別方法有數(shù)據(jù)刪除法 (case－deletion)和局部影響分析 (local influence)。數(shù)據(jù)刪除法通過比較刪除數(shù)據(jù)點(diǎn)前后參數(shù)估計(jì)的變化大小來度量數(shù)據(jù)點(diǎn)的影響，進(jìn)而識(shí)別影響點(diǎn)。局部影響分析有Cook(1986)［1］從微分幾何觀點(diǎn)提出的曲率準(zhǔn)則方法，其基本思想是把模型擾動(dòng)歸結(jié)為似然函數(shù)的擾動(dòng)，基于似然距離函數(shù)建立影響圖，通過計(jì)算影響圖的法曲率來尋找最大影響方向，研究微小擾動(dòng)的局部影響。近年來，局部影響的方法在許多模型中得到廣泛應(yīng)用和發(fā)展，如文獻(xiàn)［1，2］系統(tǒng)研究了線性模型的局部影響，文獻(xiàn)［3—5］討論了非線性模型及廣義線性模型的情形，文獻(xiàn)［6—8］將局部影響推廣至半?yún)?shù)非線性模型和半?yún)?shù)廣義線性模型的情形。對于列聯(lián)表數(shù)據(jù)的局部影響分析，文獻(xiàn)［9］有系統(tǒng)的研究。本文討論P(yáng)oisson回歸模型的局部影響分析。

首先介紹Poisson回歸模型及其極大似然估計(jì)。設(shè)(yi，)(i=1，2，…，n) 為n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，β =(β1，β2，…，βP)T為 p 維未知參數(shù)，設(shè) yi服從 Poisson 分布，其概率函數(shù)為:

可知 μi=E(yi)=eθi，vi=Var(yi)=eθi，i=1，2，…，n。

考慮如下模型:

(2)式被稱為Poisson回歸模型，其向量形式為η=log(μ)=Xβ，其中η、μ均為n維向量，其分量分別為 ηi、μi，X=(x1，x2，…，xn)T為 n × p 矩陣，xi=(xi1，xi2，…，xip)T。

設(shè)Y=(y1，y2，…，yn)T，記Y關(guān)于β的對數(shù)似然函數(shù)為L(β)，L(β)關(guān)于β的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別記為和，則

該公式可形式地表示為加權(quán)最小二乘估計(jì)的形式:

在實(shí)際應(yīng)用中，取一個(gè)合適的初值β0，(6)式的迭代收斂很快。當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，假定，則有

2.局部影響分析

2.1 局部影響分析的基本思想

這里首先簡要介紹Cook局部影響分析的基本思想。設(shè)L(θ)為模型M相應(yīng)的隨機(jī)變量Y=(y1，…，yn)T的對數(shù)似然函數(shù)，θ為未知的p維參數(shù)向量，其定義域?yàn)镽P的某一開子集Θ，ω=(ω1，…，ωq)T表示對模型M產(chǎn)生擾動(dòng)的向量，其定義域?yàn)镽q的某一開子集Ω，受擾動(dòng)的模型記為M(ω)，其相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)記為L(θ|ω)，L(θ)和L(θ|ω)的極大似然估計(jì)分別記為和。假設(shè)L(θ|ω)在Θ×Ω上存在二階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并假定存在ω0∈Ω，使得M(ω0)=M對應(yīng)于無擾動(dòng)情形，因此有且定義似然距離函數(shù)為。從幾何上看Z=LD(ω)表示(q+1)維空間中的一個(gè)q維曲面，用參數(shù)方程的形式表示為:

曲面(8)稱為影響圖，影響圖隨ω變化情況全面刻畫了擾動(dòng)對模型的影響。由于ω0對應(yīng)于無擾動(dòng)模型，因此影響圖在ω0處的變化率反映了原模型對于擾動(dòng)的敏感程度，稱為局部影響。影響圖(8) 在 ω0處各方向的一階導(dǎo)數(shù)都為零［1，2］，Cook(1986)［1］提出借助二階導(dǎo)數(shù)，利用曲率來度量影響圖在ω0附近的變化情況。根據(jù)文獻(xiàn)［1，2］可知，(8)定義的影響圖在ω0處沿方向d的影響曲率可表示為:

下面我們針對不同的擾動(dòng)形式，利用(9)討論P(yáng)oisson回歸模型的局部影響分析。

2.2 方差加權(quán)擾動(dòng)模型

假定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)yi的方差有擾動(dòng)，ω=(ω1，…，ωn)T表示描述擾動(dòng)的n維向量，ω0=(1，…，1)T表示模型無擾動(dòng)，在此擾動(dòng)結(jié)構(gòu)下，擾動(dòng)模型的對數(shù)似然函數(shù)轉(zhuǎn)化為加權(quán)形式

由(10)直接計(jì)算，并在(^β，ω0)處計(jì)值可得

把上述結(jié)果代入(9)得到方差加權(quán)擾動(dòng)模型的影響曲率計(jì)算公式為

相應(yīng)的影響矩陣為F=D(e)X(XTVX)－1XTD(e)，最大影響曲率表示為cmax=2λ1，λ1為影響矩陣F的特征值中絕對值最大者，最大影響曲率方向dmax為對應(yīng)于λ1的特征向量。

2.3 響應(yīng)變量擾動(dòng)模型

響應(yīng)變量的擾動(dòng)也是一類常見的擾動(dòng)形式。設(shè)擾動(dòng)后響應(yīng)變量為 Yω=Y+ω，ω=(ω1，…，ωn)T表示擾動(dòng)向量，ω0=(0，…，0)T表示無擾動(dòng)，在這種擾動(dòng)形式下，模型的對數(shù)似然函數(shù)為

2.4 自變量擾動(dòng)模型

我們研究一個(gè)自變量有擾動(dòng)的情形。假定第t個(gè)自變量受到擾動(dòng)，即Xt轉(zhuǎn)化為Xt(ω)=Xt+ ω，其中 ω =(ω1，…，ωn)T，ω0=(0，…，0)T表示無擾動(dòng)，此時(shí)，模型的分量形式化為

模型(12)的對數(shù)似然函數(shù)為

其中l(wèi)t表示第t個(gè)分量為1其余分量為0的p維向量，由此得到第t列自變量受到擾動(dòng)的模型的影響曲率為，影響矩陣為由(14)給出。

3.實(shí)際例子

我們以文獻(xiàn)［10］中的數(shù)據(jù)為例，利用本文方法進(jìn)行分析，說明方法的有效性。

數(shù)據(jù)為某醫(yī)院在非氣質(zhì)性心臟病并且僅有胸悶癥狀的就診者中隨機(jī)收集30個(gè)患者在24小時(shí)中的早搏數(shù)y，研究早搏與吸煙x1、喝咖啡x2和性別x3的關(guān)系。

其中y表示24小時(shí)內(nèi)的早搏數(shù)，x1=1表示吸煙，x1=0表示不吸煙，x2=1表示喜歡喝咖啡，x2=0表示不喜歡喝咖啡，x3=1表示男性，x3=0表示女性。

對于該實(shí)際例子，我們采用前面的回歸模型和算法，通過三次Gauss－Newton迭代算法的計(jì)算，得到

表一 參數(shù)估計(jì)值

由于本例子的自變量均是啞變量，討論自變量擾動(dòng)的模型沒有實(shí)際意義，因此我們只進(jìn)行前兩種擾動(dòng)模型的局部影響分析。在上述參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上，分別計(jì)算基于方差擾動(dòng)模型和響應(yīng)變量擾動(dòng)模型的各樣本點(diǎn)局部影響統(tǒng)計(jì)量如下表二。

表二 兩類擾動(dòng)方式的局部影響統(tǒng)計(jì)量結(jié)果

由此可知相應(yīng)的局部影響統(tǒng)計(jì)量圖為

從方差擾動(dòng)的局部影響統(tǒng)計(jì)量的折線圖可以發(fā)現(xiàn)，第16號(hào)，21號(hào)，4號(hào)是強(qiáng)影響點(diǎn)，其次是第11號(hào)，14號(hào)和19號(hào)，這與廣義Cook距離和得分函數(shù)SCi關(guān)于樣本點(diǎn)的變化具有大致相同的趨勢(//［11］);但從響應(yīng)變量擾動(dòng)的局部影響統(tǒng)計(jì)量來看，則第7號(hào)是最強(qiáng)影響點(diǎn)，其次是第1號(hào)，第17號(hào)和第21號(hào)，這與前一種擾動(dòng)的結(jié)果就有很大的不同，也與廣義Cook距離和得分函數(shù)SCi的發(fā)現(xiàn)有很大的不同，值得進(jìn)一步關(guān)注和分析。

［1］ Cook R D.Assessment of local influence ［J］ .J R Statist Soc B，1986，48:133—169.

［2］韋博成，魯國斌，史建清.統(tǒng)計(jì)診斷引論 ［M］.南京:東南大學(xué)出版社，1991.

［3］Thomos W，Cook R D.Assessing influence on regression coefficients in generalized linear models ［J］.Biometrika，1989，76:741—749.

［4］ Wei B C.Expenential Family Nonlinear Models［M］ .Sinapore:Springer－Verlag，1998.

［5］Green P J，Silverman B W.Nonparametric Regression and Generalized Linear Models［M］.London:Chapman and Hall，1994.

［6］朱仲儀，韋博成.半?yún)?shù)非線性模型的統(tǒng)計(jì)診斷與影響分析［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，24(4):568—581.

［7］曾林蕊，朱仲儀.半?yún)?shù)廣義線性模型的局部影響分析［J］.華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，4:18—25.

［8］曾林蕊，朱仲儀.半?yún)?shù)廣義線性隨機(jī)效應(yīng)模型的影響分析［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2007，27A(4):584—593.

［9］何利平，石磊.列聯(lián)表數(shù)據(jù)的局部影響分析 ［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2011，31A(2):518—527.

［10］峁詩松.統(tǒng)計(jì)手冊 ［M］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［11］施紅星.Poisson回歸模型的統(tǒng)計(jì)診斷與影響分析 ［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版)，2009，29(5):34—38.

Local Influence Analysis for Poisson Regression Model

SHI Hong－xing
(School of Primary Education，Chuxiong Normal University，Chuxiong 675000，China)

This paper studies the local influence for Poisson regression model．The counting formulas of influence curvature and influence matrix for case－weights perturbation model，mean shift perturbation model and arguments perturbation model are obtained．Finally the numerical example illustrates that the method is effective．

Poisson regression model;local influence;perturbation;influence matrix;influence curvature．

O212.1

A

1671－7406(2012)06－0005－05

云南省教育廳科研基金項(xiàng)目 (06Y027A);楚雄師院科研基金項(xiàng)目 (05－YJYB01)

2012－02－27

施紅星 (1970—)，男，云南楚雄人，副教授，理學(xué)碩士，主要研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。

(責(zé)任編輯 李艷梅)