席高文

（重慶科技學(xué)院，重慶401331）

關(guān)于一類微積分計(jì)算方法的探究

席高文

（重慶科技學(xué)院，重慶401331）

通過(guò)對(duì)一類微積分計(jì)算方法的探究，從本質(zhì)上分析所形成的思維模式,給出了一元微分以及積分區(qū)域?yàn)閳A的二重積分通過(guò)平移變換簡(jiǎn)單巧妙的計(jì)算方法。由此可以類比出多元微分，以及多重積分的計(jì)算方法。

微分；導(dǎo)數(shù)；積分；平移；求導(dǎo)法則

1 微分計(jì)算方法的探究

微分的計(jì)算，關(guān)鍵就是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，教材中給出了許多求導(dǎo)法則，例如：和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則等。在教學(xué)中，如何讓學(xué)生掌握求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的核心，是我們要研究的關(guān)鍵問(wèn)題。首先要讓學(xué)生熟練掌握求導(dǎo)法則的核心，其次是掌握求導(dǎo)的基本方法。

首先，對(duì)于求導(dǎo)法則，除了和、差、積、商的求導(dǎo)法則外，對(duì)于復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程的求導(dǎo)法則，從求導(dǎo)的本質(zhì)來(lái)看，最主要的就是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，而反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程的求導(dǎo)法則，完全可以由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得到。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則為：如果函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

即函數(shù)y=f(g(x))對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是y=f(u)對(duì)中間變量u的導(dǎo)數(shù)乘以函數(shù)u=g(x)對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)。在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上，其他幾個(gè)求導(dǎo)法則，只需要作一些簡(jiǎn)單的變化即可得到。例如：對(duì)于隱函數(shù)求導(dǎo)法則，即為在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，如果變量y是x的函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)遇到變量y，只需要把變量y看作中間變量，首先是函數(shù)對(duì)變量y求導(dǎo)，然后再乘以變量y對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)；對(duì)于參數(shù)方程的求導(dǎo)法則，如果變量y和x都是參數(shù)t的函數(shù)，在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需要把變形為，把參數(shù)t看作中間變量，即有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是變量y對(duì)參數(shù)t的導(dǎo)數(shù)，除以變量x對(duì)參數(shù)t的導(dǎo)數(shù)；對(duì)于反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如果變量y是x的函數(shù)，在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是所給函數(shù)用y表示x后，變量x對(duì)變量y的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

其次，就是要掌握求導(dǎo)數(shù)的基本方法和步驟：第一步，觀察所給的解析式是否為兩個(gè)及兩個(gè)以上函數(shù)的和、差、積、商。如果是，則運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為求“形式上為某一個(gè)基本初等函數(shù)”（指由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)復(fù)合而成的初等函數(shù)）的求導(dǎo)問(wèn)題；第二步，利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，求其導(dǎo)數(shù)，直到所求函數(shù)為“標(biāo)準(zhǔn)的基本初等函數(shù)”（指函數(shù)形式為y=xp（p∈R是常數(shù)），y=ax（a＞0且a≠1），y=log ax（a＞0且a≠1），y= sin x，y=arcsin x等）為止。即在運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的中間變量為自變量x時(shí)求導(dǎo)結(jié)束。

例1 設(shè)隱函數(shù)y=sin(x+y)，求y′。

解：由于函數(shù)y=sin(x+y)是一個(gè)形式上的三角函數(shù)，y是x的隱函數(shù)，因此兩端對(duì)x求導(dǎo)得

函數(shù)x+y是兩個(gè)函數(shù)的和函數(shù)，利用求導(dǎo)的運(yùn)算法則得

這里函數(shù)x已經(jīng)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的冪函數(shù)，而函數(shù)y不僅是x的隱函數(shù)，而且是形式上的冪函數(shù)，故

即

例3已知y=xsinx，求

解：對(duì)于y=xsinx，由于不是形式上的某類基本初等函數(shù)，無(wú)法直接求導(dǎo)，因此，必須作恒等變形，才可以利用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。這種恒等變形一般有兩種方法。

方法一：兩端取對(duì)數(shù)得：ln y=sin x ln x，上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得（y是x的隱函數(shù))，則

這里利用了積的求導(dǎo)法則。

方法二：因?yàn)閥=elnxsinx，所以

這里利用了函數(shù)y=elnxsinx是個(gè)形式上的指數(shù)函數(shù)。

2 積分計(jì)算方法的探究

解析幾何是通過(guò)建立坐標(biāo)系，使點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)之間一一對(duì)應(yīng)，以及曲線與方程之間一一對(duì)應(yīng)，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，或用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題。解析幾何的建立第一次真正實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使形與數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破。

解析幾何分為平面解析幾何與空間解析幾何兩部分內(nèi)容，本文以空間解析幾何為主加以討論。如果空間內(nèi)一點(diǎn)P的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為P(x,y,z)與P (x′,y′,z)，則平移變換的公式為或者顯然，平面上任何一條曲線f(x，y)=0，或者空間任何一個(gè)曲面f(x，y，z)=0，經(jīng)過(guò)平移變換后得到的新方程f(x′,y′)=0、f(x′,y′,z′)=0分別表示的是同一條曲線、同一個(gè)曲面。

在計(jì)算二重積分時(shí)，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域，且圓心不在原點(diǎn)時(shí)，無(wú)論是直角坐標(biāo)系或者極坐標(biāo)系下，直接計(jì)算，都比較復(fù)雜，但是，如果利用平移變換，則計(jì)算會(huì)非常簡(jiǎn)單。

解：如圖1所示，積分區(qū)域?yàn)閳Ax2+y2=2y，此圓的圓心在（0，1），半徑為1。一般的方法是利用極坐標(biāo)系計(jì)算（利用直角坐標(biāo)系計(jì)算更復(fù)雜）。

這里應(yīng)用了當(dāng)函數(shù)f（x）=0為奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，，以及定積分的計(jì)算公式。

當(dāng)我們巧妙的利用平移變換后，計(jì)算就會(huì)變的非常簡(jiǎn)單，即有

圖1 積分區(qū)域D

這里同樣應(yīng)用了當(dāng)函數(shù)f（x）=0為奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，；當(dāng)函數(shù)f（y）=0為奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，

圖2 積分區(qū)域D′

類似于例4的問(wèn)題非常多，這里不再贅述。由此可見(jiàn)，如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真探究微積分計(jì)算方法的本質(zhì)，不僅可以使學(xué)生牢固掌握其計(jì)算方法，而且開(kāi)闊了學(xué)生的視野，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力、分析能力以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

Research on the Calculation M ethod of Calculus

XIGaowen
(Chongqing University of Science and Technology,Chongqing 401331)

In this paper,by study on the calculation method of calculus,and thinking model,we obtain single differential,and the calculation method of double integration whose integration domain is circular through the translation of coordinates.Hence,based on it,the calculation of the Multivariate differentialandmultiple integral can be obtained.

differential；derivative；integral；translation；derivation rules

O172

A

1673-1980（2012）03-0177-03

2012-02-21

席高文（1963-），男，河南靈寶人，教授，研究方向?yàn)榻M合數(shù)學(xué)。