韓 磊，陳建生，陳 亮

（1.河海大學 巖土工程研究所，南京 210098；2.中交第二公路勘察設計研究院有限公司，武漢 430056）

1 引 言

經過幾十多年的發(fā)展，我國已在注漿技術方面取得了較大進展，應用范圍已遍及礦山、水利、土木、交通等多個工程領域。但由于復雜的地層條件和注漿工程的隱蔽性，因而理論方面的研究相對滯后于實踐。

滲透注漿是指在壓力作用下使?jié){液充填土和巖石的裂隙，排擠出空隙中存在的自由水和氣體，達到加固或防滲的目的。通常把以鉆孔中心為原點的漿液充填范圍叫擴散半徑。注漿理論就是借助于流體力學和固體力學的知識，對漿液的單一流動形式進行分析，建立擴散半徑、壓力、流量、注漿時間之間的關系。擴散半徑決定著注漿孔的布置和漿液消耗量，也是選擇工藝參數、評價注漿效果的重要依據。因此，對漿液在地層中的擴散形態(tài)的研究具有重要的意義。

多孔介質滲透注漿理論形成比較早，典型代表主要有球形擴散公式和柱形擴散公式。后人多在此基礎上進行改良和發(fā)展。1938年 Maag[1]推導出牛頓漿液在砂層的球形擴散公式

式中：r為漿液的滲透半徑；K為土體的滲透系數；h1為注漿壓力水頭；β為漿液黏度與水的黏度之比，β=μg/μw；n為土體的孔隙率；t為注漿時間；r0為注漿孔半徑。

另外還有柱形擴散公式如下[1]：

分析以上計算公式的推導過程，還存在著一些問題：①雖然動力學方程可以用達西定律來替代，但漿液的運動是非恒定的，沒有考慮連續(xù)性方程；②漿液壓力使土體孔隙率增大，甚至可能導致地表抬動，公式沒有考慮孔隙率隨注漿壓力變化的影響；③公式還遠未成熟，實用價值有限。尤其是賓漢漿液柱形公式存在較多參數，計算結果很不穩(wěn)定。因此，本文從連續(xù)性方程出發(fā)進一步研究漿液的擴散半徑，并用FLAC軟件分析了漿液和地下水的二相滲流過程。

2 柱形擴散半徑的進一步探討

傳統(tǒng)經典滲透公式的推導，僅使用了達西定律作為動力學方程，但速度分量仍要滿足連續(xù)性方程。因此，下面從連續(xù)性方程出發(fā)，考慮漿液壓力對土體孔隙率的影響，對漿液在多孔介質中的滲流規(guī)律做進一步的研究。

在實際的注漿工程中，漿液從注漿管中流出來后再向上返，直至充滿整個灌漿孔段，非常符合線性源理論[2]，可以歸結為平面流動問題。因此，大多數注漿都使用柱形擴散模型，如圖1所示。圖中注漿壓力pr假設為常數，l為注漿段的長度。

圖1 漿液柱形擴散的滲透模型Fig.1 Column flow model of grout diffusion

一般情況下，把漿液在介質中的流動作為層流考慮，而漿液在地層中的流動和地下水的流動規(guī)律非常相似，因此，仍然可以借用地下水的流動規(guī)律來近似考慮漿液的流動。設漿液流速為v，壓力為p，有

式中：Kg、Kw分別為漿液和水在土體中的滲透系數；h為漿液的壓力水頭；γw為水的重度。

當考慮到多孔介質的孔隙率n后，一維狀態(tài)下連續(xù)性方程為[3]

當漿液壓力增高時，土的孔隙率要增大，在最簡單的情況下有

式中：Kp為土的體積變化模量，即產生單位孔隙率變化所需要的壓力變化；n0為壓力 p=p0時的孔隙率。假定Kp為常數，而漿液的滲透系數k在一定時間范圍內不變，則把式（4）、（6）代入式（5）后得

式（8）是一維熱傳導方程，p可以看作是關于r、t的函數。

初始條件：

邊界條件：

用拉普拉斯變換法求解偏微分方程（7）的初邊值問題得

3 注漿過程的二相流模擬

以上介紹的滲透注漿理論，只是對漿液的單一流動形式進行分析，漿液的滲透系數由水的滲透系數除以漿與水的黏度比得到。實際上，當漿液在壓力作用下灌入地層時，其滲透過程是地下水和漿液在多孔介質中的兩相非穩(wěn)定滲流。

兩相滲流是指多孔介質中存在兩種彼此不混溶的流體同時流動，相互作用、相互影響，具有不同于單相流體滲流規(guī)律的一種流動形式[4]。它們都沿著自己的網狀通道流動，這些通道比單相流動時可能要迂回曲折得多。在通常情況下，孔隙內的被驅替相不可能完全流走，固體表面上總還殘留著一層潤濕流體。

3.1 水和漿液的二相滲流原理

在兩相流中存在3種界面，即流體之間和兩種流體與多孔介質表面之間的界面。在界面上由于各相內部的分子間的引力差會產生表面張力，由此引出了固體被液體潤濕的概念。對于飽和土體，在灌漿之前孔隙中已充滿了地下水，假設漿液和水互不混溶。漿液是以較高的速率被壓入到多孔介質中，從中驅替出孔隙水，這個過程是一種非穩(wěn)定滲流狀態(tài)。圖2為漿液驅水的二相滲流模型。兩種流體之間的壓力存在不連續(xù)性，這個壓力差稱為毛細壓力：

式中：pc為毛細壓力；pg為漿液的壓力；pw為水的壓力。已經可以證明[5]，在低速流的情況下，尤其是在漿液推進的鋒面帶中，飽和度的梯度比較大，毛細壓力就不能忽視。

圖2 漿液驅水的二相滲流模型Fig.2 Two-phase flow model of grout driving water

每一流體的流動由達西定律表示，當水或漿的飽和度為1時，介質分別相對于水或漿液的滲透率就是介質固有的滲透率。但當二相滲流時，因孔隙中同時存在兩種流體的流動，介質滲透率不僅與其孔隙特征有關，同時還與各自的飽和度有關[6]。顯然兩相流各相滲透率小于介質固有的滲透率，稱其為有效滲透率，其值與介質固有滲透率之比稱為相對滲透率。

式中：kw、kg為水和漿液的有效滲透率；k為土體介質的固有滲透率；κw、κg分別為水和漿的相對滲透率，僅僅依賴于飽和度的函數。相對滲透率是將單相流體的運動方程推廣到兩種或兩種以上流體同時流動的基礎。因此，達西定律可以另寫為

式中：q、p分別代表各相流體的流量、壓力；A為過流斷面積。

達西定律實質上就是流體流過多孔介質的運動方程。為了求解通過多孔介質的整個流運動問題，還必須結合連續(xù)方程[7]：

式中：Sw為水的飽和度；Sg為漿液的飽和度。水和漿液完全充滿整個空隙，因此有

在某一過水斷面上的總流量為

對于不混溶流體，由于毛細作用的結果，流體之間不可能存在宏觀意義下的突變界面，即不存在完全把兩種流體分隔開的連續(xù)界面。它們之間存在一個過渡帶，越過此帶流體從一種成分變到另一種成分。因此，某點處關于某一流體的飽和度也是變化的。

FLAC中的兩相流模塊可以進行水下帷幕注漿的數值建模。控制方程就是基于以上表達式，采用有限差分方式求解，另外還要分別獲得相對滲透率、毛細壓力與飽和度之間的關系，才可求得任一時刻漿液的飽和度分布情況。在FLAC的數值實現中，內置了 Van Genuchten[8]形式的相對滲透率經驗法則和毛細管壓力曲線。

3.2 工程實例

FLAC中的兩相流模塊可以進行兩種不混溶流體通過孔隙介質而流動的數值模擬[9－10]?？紫队伤蜐{液完全充填，其中地下水比水泥漿更能浸潤孔隙介質。漿液在壓力作用下驅動地下水流動，但它們之間不發(fā)生質量轉移?？刂品匠叹褪腔谝陨媳磉_式，采用有限差分方式求解，同時兩相流還可以與固體進行耦合分析。下面以某土石壩為例，利用FLAC中的二相流模塊對注漿過程進行模擬分析。

某大壩為均質土壩，壩頂長為 500 m，寬為7.5 m，最大壩高為58.5 m。壩體填土多為粉質黏土，下部夾有碎石，厚40～50 m，填筑質量較差。壩基為風化砂巖，較破碎，大壩填筑時清基不徹底。水庫建成蓄水后，壩下游出現滲漏，日平均滲漏量約3000 m3。其中K0+250～K0+300段，強風化巖出露于壩基，地層構造復雜，存在F17順河向斷層，是大壩滲漏的主要來源。

鑒于前期對壩體進行過劈裂灌漿處理，這次對強風化接觸帶和壩基采用自上而下分段灌漿法進行防滲加固，灌漿深度從壩頂以下55 m處開始，每5 m一段。為了合理布置帷幕灌漿孔的間距，必須確定漿液擴散的半徑，因此，取過壩軸線的縱截面建立二維有限差分模型。本例模擬灌漿段55～60 m的施工，模型從地下水位（深度29 m）開始，到壩深70 m處，地下水位以上采用等效荷載施加于模型表面，共12300個單元，12741個節(jié)點。采用水灰比為 1:1的水泥漿施工，漿液與水的黏度比取4.398[11]。模型的上下邊界保持孔隙水壓力不變，水的飽和度為1。初始狀態(tài)下孔隙介質完全被水充填。在模擬計算中，巖土本構關系采用摩爾-庫侖模型，根據前期的大壩安全鑒定報告和滲漏通道探測報告，各物理參數取值見表1。

表1 大壩各地層深度及物理參數Table1 Depth and physical parameters of dam strata

圖3為灌漿1800、5400、10800 s后Sw分布的等值線圖，1-Sw就是漿液的分布。從圖中可以看出，漿液呈柱狀向外擴散，在靠近注漿段處，漿液的飽和度較大且分布均勻。隨著時間的增加，漿液擴散得越遠，但擴散的速率逐漸減小。計算結果與實際檢測結果吻合，鉆孔K0+280在旁邊0.6 m處重新鉆孔時，發(fā)現有水泥和土膠結在一起的混凝土巖芯。分布規(guī)律也證明一些滲透注漿理論采用柱形模型是可行的，但在不同地層上漿液的擴散范圍是不同的。從圖中可以清楚地看到，漿液和水之間的過渡區(qū)，取漿液飽和度達到0.9處的擴散距離與柱形公式（2）、本文公式（10）相比較，見圖4、5。通過對比可以發(fā)現，柱面公式計算出的擴散半徑明顯偏小，公式（10）和FLAC計算的結果在開始階段較為接近，但采用二相流理論漿液擴散速率遞減地更快。這是因為在漿液前鋒處，飽和度的梯度比較明顯，毛細壓力較大，當漿液不能克服毛細力的作用時，漿液就會停止運動，以往的滲透注漿理論均反映不出這一點。另外，擴散半徑不僅與滲透系數有關，還與孔隙度有關，而且孔隙度較滲透系數對擴散半徑有著更大的影響。

圖6為在擴散半徑0.2 m處豎直兩點（0.2,11）、（0.2,13.4）漿液流速的變化。點（0.2,11）處是全風化土，點（0.2,13.4）是壩填土。由于填土的孔隙度比全風化土要大，在初始階段，填土中的孔隙很快便充滿漿液，速度比全風化土要快，但填土的滲透系數較小，接下來全風化土中的漿液的流量超過了上層填土，擴散得更快，但由于孔隙度小，很難再繼續(xù)向前流動了；再結合圖3(c)，壩填土的滲透系數雖然較下層偏小，但其孔隙度大，反而擴散得更遠。

圖3 注漿后不同時刻水的飽和度分布Fig.3 Water saturation degrees of different times after grouting

圖4 壩填土中漿液擴散半徑對比Fig.4 Comparison of grout diffusion radius in dam fill

圖5 全風化土中漿液擴散半徑對比Fig.5 Comparison of grout diffusion radius in weathered soil

圖6 點(0.2,11.0)、(0.2,13.4)處的漿液流速變化Fig.6 Variation of grout flow at points(0.2,11.0) and (0.2,13.4)

圖7為注漿段中間水平兩點（0.2，12.4）、（0.4，12.4）漿液流速的變化。由于點（0.2，12.4）非常靠近注漿孔，漿液流量在開始時出現了較大的升高；當漿液擴散到點（0.4，12.4）時，流量逐漸增加，最后與點（0.2，12.4）保持一致。在漿液開始流動時，滲透速度不斷增大，這是因為在開始階段土體的孔隙是聯(lián)通尚未被漿液填塞的，漿液在土層中的滲透系數較大。之后先流入的漿液將土體中的孔隙通道堵塞，使壓力損失變大，滲透速度趨于穩(wěn)定并有減小的趨勢。

圖7 點(0.2,12.4)、(0.4,12.4)處的漿液流速變化Fig.7 Variation of grout flow at points(0.2,12.4) and (0.4,12.4)

4 結 論

（1）本文推導公式在開始階段與二相流模擬的結果相近，到了后期FLAC計算的漿液運動的速率比較慢。由此可見，在漿液的前鋒處，毛細壓力的作用不可忽略。

（2）FLAC二相流模擬結果表明：漿液和水之間存在著一個過渡帶，漿液的飽和度在不同時間和位置上是變化的；擴散半徑不僅與滲透系數有關，還與孔隙度有關，而且孔隙度較滲透系數對擴散半徑有著更大的影響。

（3）二相流模擬有其獨特之處，可以較好地模擬注漿的施工過程，分析漿液的擴散距離，并為實際生產提供參考和指導。

[1]巖土注漿理論與工程實例協(xié)作組. 巖土注漿理論與工程實例[M]. 北京: 科學出版社,2001.

[2]何修仁. 注漿加固與堵水[M]. 沈陽: 東北工學院出版社,1990.

[3]BEAR J. Hydraulics of groundwater[M]. New York:McGraw-Hill,1979.

[4]張良輝,熊厚金,張清. 漿液的非穩(wěn)定滲流過程分析[J].巖石力學與工程學報,1997,16(6): 564－570.ZHANG Liang-hui,XIONG Hou-jin,ZHANG Qing.Analyses of the unsteady permeation process of grout[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,1997,16(6): 564－570.

[5]貝爾 J. 多孔介質流體動力學[M]. 李競生,陳崇希譯.北京: 中國建筑工業(yè)出版社,1983.

[6]DULLIEN F A L. 多孔介質——流體滲移與孔隙結構[M].楊富民,黎用啟譯. 北京: 石油工業(yè)出版社,1990.

[7]薛定諤 A E. 多孔介質中的滲流物理[M]. 王鴻勛,張朝琛,孫書琛譯. 北京: 石油工業(yè)出版社,1982.

[8]VAN GENUCHTEN M TH. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils[J]. Soil Science Society of America Journal,1998,44: 892－898.

[9]劉波,韓彥輝. FLAC原理、實例與應用指南[M]. 北京:人民交通出版社,2005.

[10]Itasca Consultiong Group Inc. FLAC user′s manuals,version 5.0[M]. Minneapolis: Itasca Consultiong Group Inc.,2005.

[11]劉文永,王新剛,馮春喜,等. 注漿材料與施工工藝[M].北京: 中國建材工業(yè)出版社,2008.