周愛兆，盧廷浩

（1. 江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2. 河海大學(xué) 巖土工程科學(xué)研究所，南京 210098）

1 引 言

土與結(jié)構(gòu)接觸面在土木工程、水利工程等領(lǐng)域廣泛存在，由于接觸界面兩側(cè)材料特性的差異，在一定的受力條件下接觸面界面上可能產(chǎn)生錯(cuò)動(dòng)滑移或開裂，對(duì)土與結(jié)構(gòu)相互作用產(chǎn)生重要影響，往往是結(jié)構(gòu)物安全運(yùn)行的薄弱環(huán)節(jié)和關(guān)鍵部位。土與結(jié)構(gòu)物接觸面的復(fù)雜力學(xué)特性是土與結(jié)構(gòu)物研究的熱點(diǎn)課題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者[1－8]對(duì)其進(jìn)行了試驗(yàn)和理論研究，建立一系列本構(gòu)模型，如 Desai等[1]提出的雙曲線模型；盧廷浩等[4]提出接觸面法向剛度與切向剛度相耦合的非線性本構(gòu)模型；欒茂田等[5]提出土與結(jié)構(gòu)間接觸面的非線性彈性-理想塑性模型；胡黎明等[6]提出接觸面損傷本構(gòu)模型；筆者[9]基于廣義位勢(shì)理論，建立了接觸面彈塑性本構(gòu)模型。

上述研究成果側(cè)重于研究常法向應(yīng)力條件下的接觸面剪切特性，模型中計(jì)算參數(shù)和函數(shù)與應(yīng)力路徑無關(guān)。實(shí)際工程中土與結(jié)構(gòu)接觸面受力條件復(fù)雜，應(yīng)力路徑多樣，經(jīng)常遇到法向應(yīng)力與剪應(yīng)力同時(shí)變化的情形，如壩體填筑及蓄水過程中，混凝土防滲墻與周圍土體的相互作用問題；加筋土擋墻填筑過程中筋材與填筑材料之間的相互作用問題等。筆者曾利用大型單剪儀，進(jìn)行不同等應(yīng)力增量比路徑下含礫粗砂、高塑性黏土以及粗粒土與結(jié)構(gòu)接觸面單剪試驗(yàn)，研究應(yīng)力路徑對(duì)接觸面力學(xué)特性的影響。等應(yīng)力增量比路徑定義為試樣在剪切過程中保持剪應(yīng)力增量Δτ 與法向應(yīng)力增量Δσ 成一定比例η（η＝Δτ/Δσ，η為常數(shù)）。當(dāng)η＝∞，為常法向應(yīng)力路徑單剪試驗(yàn)，含礫粗砂與結(jié)構(gòu)接觸面單剪試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)出明顯的剪脹特性和應(yīng)變軟化特性。本文主要基于廣義位勢(shì)理論，建立等應(yīng)力增量比路徑條件下，符合類似含礫粗砂與結(jié)構(gòu)接觸面力學(xué)特征的接觸面本構(gòu)模型。

2 廣義位勢(shì)理論建立接觸面模型方法

文獻(xiàn)[9]基于廣義位勢(shì)理論，利用塑性狀態(tài)方程代替?zhèn)鹘y(tǒng)的屈服面，建立雙重勢(shì)面接觸面彈塑性模型。主要方法為：將土與結(jié)構(gòu)物的接觸面問題看作（σn，τ）空間上的二維問題，2個(gè)塑性應(yīng)變?cè)隽康姆至?、dγp組成的矢量可以用2個(gè)線性無關(guān)的勢(shì)函數(shù)梯度矢量表示。單剪試驗(yàn)條件下，應(yīng)力空間中最為簡(jiǎn)單的2個(gè)勢(shì)函數(shù)可取φ1=σn，φ2=τ，則可得到

傳統(tǒng)的屈服面可以用塑性狀態(tài)方程代替，表達(dá)式為

式中：A、B、C、D為待定系數(shù)，微分式（2）可得

則塑性柔度矩陣[Cp]可表示為

參考傳統(tǒng)彈塑性理論，將應(yīng)變?cè)隽縟ε分解為彈性部分dεe和塑性部分dεp，各分量可表達(dá)為

式中：[Ce]為彈性柔度矩陣；[Cep]為彈塑性柔度矩陣；[Dep]為剛度矩陣，相互之間有如下關(guān)系：

式中：Ke為彈性壓縮模量；Ge為彈性剪切模量。

模型的建立關(guān)鍵是確定A、B、C、D四個(gè)待定系數(shù)，可以根據(jù)接觸面試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用數(shù)學(xué)方法擬合確定。建模過程中無需假設(shè)屈服函數(shù)、硬化參數(shù)，模型數(shù)學(xué)原理清晰，物理假設(shè)少，且具有一般性。

3 應(yīng)變軟化型模型參數(shù)確定方法

3.1 應(yīng)變軟化型接觸面力學(xué)特征

應(yīng)變軟化型接觸面典型力學(xué)響應(yīng)如圖1所示，剪切過程中表現(xiàn)為剪應(yīng)力在峰值出現(xiàn)后隨應(yīng)變的增加而降低。剪切初始階段，顆粒重新排列，咬合力增強(qiáng)，顆粒間空隙減小，直至達(dá)到最密實(shí)的狀態(tài)，此時(shí)體變率為 0，宏觀表現(xiàn)為法向剪縮量達(dá)到最大值；隨著剪應(yīng)力增大，能夠克服顆粒間的咬合力，翻越臨近的顆粒，宏觀表現(xiàn)為法向出現(xiàn)一定的剪脹，隨著剪切的進(jìn)行，剪脹量逐近增加，達(dá)到破壞后，剪脹量不再變化，體變率為0。

圖1 接觸面典型的力學(xué)響應(yīng)Fig.1 Typical mechanical response of interface

3.2 彈性柔度矩陣確定

式中：ν為泊松比。

3.3 待定系數(shù)確定

在接觸面剪切試驗(yàn)中，總應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系的表達(dá)式為

一般認(rèn)為法向應(yīng)力不引起切向變形，即C = 0。另外，待定系數(shù)A根據(jù)單向壓縮試驗(yàn)確定，假定法向壓縮與切向剪切不存在交叉影響，等應(yīng)力增量比路徑中εn-σn關(guān)系與單向壓縮試驗(yàn)中的εn-σn關(guān)系具有一致性，則可根據(jù)單向壓縮試驗(yàn)中的εn-σn關(guān)系求解參數(shù)A。單向壓縮條件下，εn-σn關(guān)系可以用指數(shù)函數(shù)擬合：，微分可得dεn=，對(duì)比式（8）可得

式中：t1、t2為擬合參數(shù)。

3.3.1 待定系數(shù)D的確定

為了考慮應(yīng)力路徑對(duì)接觸面力學(xué)特性的影響，擬合應(yīng)力比α 與切向應(yīng)變?chǔ)?的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖 2所示。圖中，α為應(yīng)力比，α＝τ/σn＝τ/(σ0+τ/η)；αf為峰值應(yīng)力比，αf＝τf/σn＝τf/(σ0+τf/η)；αr為殘余應(yīng)力比，αr＝τr/σn＝τr/(σ0+τf/η)；γ2為峰值應(yīng)力比對(duì)應(yīng)的切向應(yīng)變。本次試驗(yàn)中，當(dāng)試樣達(dá)到峰值剪應(yīng)力后，保持法向應(yīng)力恒定，所以殘余應(yīng)力比與峰值應(yīng)力比對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)力相同。

圖2 應(yīng)力比與切向應(yīng)變關(guān)系Fig.2 Relation curve of stress ratio and tangential strain

應(yīng)力比-切向應(yīng)變關(guān)系曲線可采用復(fù)合指數(shù)函數(shù)[10]擬合，該函數(shù)隨參數(shù)取值不同，對(duì)軟化型和硬化型曲線都適用。擬合函數(shù)公式為

式中：a、b、c為模型參數(shù)。

式（10）具有以下特征：

殘余應(yīng)力比αr指達(dá)到峰值強(qiáng)度以后，剪應(yīng)變較大時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力比，對(duì)同一種土而言其是定值，αr表達(dá)式為

式中：φ′為殘余摩擦角。

模型參數(shù) a、b根據(jù)不同初始應(yīng)力條件下多組試驗(yàn)結(jié)果確定，可采用數(shù)學(xué)軟件程序求解參數(shù)最優(yōu)解。然后，根據(jù)所得參數(shù)，進(jìn)一步尋求其與初始法向應(yīng)力σ0以及等應(yīng)力增量比η的關(guān)系。剪切過程中，土體破壞時(shí)對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)力可以通過聯(lián)合求解破壞強(qiáng)度方程與應(yīng)力路徑方程，假設(shè)強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則滿足摩爾-庫侖破壞準(zhǔn)則及τf=c+σftan φ時(shí)，可以求出破壞時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力：

根據(jù)多組試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)，模型參數(shù)a與試樣破壞時(shí)的法向應(yīng)力關(guān)系曲線可以采用冪函數(shù)形式表示：

式中：ξ1、ξ2為試驗(yàn)擬合參數(shù)；pa為大氣壓（近似取pa=100 kPa），量綱與σ0相同。模型參數(shù)c與試樣破壞時(shí)的法向應(yīng)力近似成線性關(guān)系，表達(dá)式為

式中：ξ3、ξ4分別為試驗(yàn)擬合參數(shù)。

進(jìn)一步對(duì)式（10）作如下變換：

式（16）兩邊分別對(duì)τ 和γ 進(jìn)行微分，可以得到應(yīng)變?cè)隽縟γ與應(yīng)力增量dτ 的關(guān)系式：

比較式（8）中第2式，可得到系數(shù)D表達(dá)式：

式中：a、b、c 分別根據(jù)式（14）、（12）、（15）確定。

綜上，確定等應(yīng)力增量比路徑下剪應(yīng)力-剪應(yīng)變關(guān)系，需要根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果擬合出c、φ、φ′、ξI（i=1～4）7個(gè)參數(shù)。

3.3.2 待定系數(shù)B的確定

在等應(yīng)力增量比路徑下，接觸面典型的法向應(yīng)變-切向應(yīng)變關(guān)系如圖3所示。法向應(yīng)變?chǔ)舗可以看作兩部分法向應(yīng)變的合成：一是法向應(yīng)力增量引起的法向壓縮量εnc，二是剪切引起的剪脹分量εns。

假定法向壓縮與切向剪切不存在耦合作用，則εnc直接可以根據(jù)單向壓縮試驗(yàn)曲線求解。單向壓縮曲線可以用指數(shù)函數(shù)擬合，。根據(jù)試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)力求得相應(yīng)的法向應(yīng)變，減去初始應(yīng)力對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)變，則可以得到應(yīng)力增量引起的法向應(yīng)變?chǔ)舗c。剪切引起的剪脹分量εns= εn-εnc，分離出剪脹分量后，可以根據(jù)εns-γ關(guān)系曲線求解系數(shù)B。

典型εns-γ關(guān)系曲線如圖 3所示，仍然可以采用復(fù)合指數(shù)函數(shù)擬合，表達(dá)式為

式中：m、n、p為模型參數(shù)；εnsmax、εnsmin分別為剪切引起的最大和最小法向應(yīng)變；γ1為εnsmax對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變。式（19）具有以下特征：

剪切引起的最大剪脹量發(fā)生在剪切破壞后，εnsmin主要由破壞后的法向應(yīng)力σf控制，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，擬合εnsmin-lg(σf/Pa)關(guān)系近似呈直線，擬合公式為

式中：ζ1、ζ2分別為試驗(yàn)擬合參數(shù)。

圖3 法向應(yīng)變與切向應(yīng)變關(guān)系Fig.3 Relation curves of normal strain and tangential strain

擬合模型參數(shù)m與lg(σf/pa)關(guān)系，近似呈直線，表達(dá)式為

式中：ζ3、ζ4分別為試驗(yàn)擬合參數(shù)。模型參數(shù)p與試樣破壞時(shí)的法向應(yīng)力近似成冪函數(shù)關(guān)系，表達(dá)式為

式中：ζ5、ζ6分別為試驗(yàn)擬合參數(shù)。

綜上，確定法向應(yīng)變-剪應(yīng)變關(guān)系需增加ζi（i=1～6）6個(gè)參數(shù)。其值完全可以通過接觸面單剪試驗(yàn)確定。進(jìn)一步對(duì)式（19）進(jìn)行微分，得到法向應(yīng)變?cè)隽縟εns與剪應(yīng)變?cè)隽縟γ的關(guān)系式：

dεns與dτ關(guān)系又可以寫成式（25），再將式（17）和式（24）代入，可以得到式（26）。

對(duì)比式（8），可得待定系數(shù)B表達(dá)式：

根據(jù)上述分析可見，通過單剪試驗(yàn)和單向壓縮試驗(yàn)可以最終確定等應(yīng)力增量比路徑下彈塑性柔度矩陣的4個(gè)分量：

模型共含15個(gè)參數(shù)：t1、t1、c、φ、φ′、（i=1～4），ζi（i=1～6），可以通過單向壓縮試驗(yàn)和單向剪切試驗(yàn)確定。

4 模型驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中含礫粗砂與混凝土接觸面等應(yīng)力增量比路徑單剪試驗(yàn)結(jié)果，求解模型參數(shù)見表1。初始應(yīng)力σ0= 200 kPa條件下，不同等應(yīng)力增量比路徑下剪應(yīng)力與切向應(yīng)變關(guān)系的擬合曲線和試驗(yàn)結(jié)果比較如圖4所示，法向應(yīng)變與切向應(yīng)變關(guān)系的擬合曲線和試驗(yàn)結(jié)果比較如圖5所示。擬合結(jié)果表明，雖然模型在擬合個(gè)別試驗(yàn)曲線時(shí)量值有一定偏差，但能夠反映變形的總體趨勢(shì)，可見模型具有一定的合理性。

表1 模型參數(shù)Table1 Model parameters

圖4 模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.4 Comparison of model predictions and experimental results

圖5 模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.5 Comparison of model predictions and experimental results

5 結(jié) 論

（1）基于廣義位勢(shì)理論建立接觸面彈塑性模型數(shù)學(xué)原理清晰，具有一般性，無需考慮屈服函數(shù)，建模簡(jiǎn)單?？紤]了應(yīng)力路徑、初始法向應(yīng)力對(duì)接觸面力學(xué)特性的影響，可以更好地模擬接觸面的受力變形，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

（2）對(duì)于接觸面切向應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，考慮應(yīng)力路徑對(duì)其影響的一個(gè)簡(jiǎn)便方法就是作歸一化處理，擬合應(yīng)力比α與剪切應(yīng)變?chǔ)藐P(guān)系曲線，一般α-γ關(guān)系曲線與τ -γ關(guān)系曲線形式是一致的。通過對(duì)α-γ關(guān)系曲線方程兩邊微分，可以求得剪應(yīng)力增量與切向應(yīng)變?cè)隽恐g的相互關(guān)系。

（3）等應(yīng)力增量比路徑下接觸面法向應(yīng)變?chǔ)舗可以看作兩部分法向應(yīng)變的合成：一是法向應(yīng)力增量引起的法向壓縮量εnc，二是剪切引起的剪脹分量εns，其中εnc根據(jù)單向壓縮試驗(yàn)曲線求解。根據(jù)試驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)力求得相應(yīng)的法向應(yīng)變，減去初始應(yīng)力對(duì)應(yīng)的法向應(yīng)變，則可以得到單剪過程中應(yīng)力增量引起的法向應(yīng)變?chǔ)舗c。剪切引起的剪脹分量εns=εn-εnc，分離出剪脹分量后，進(jìn)一步對(duì)εns-γ關(guān)系曲線方程兩邊微分，可以求得剪脹分量增量與切向應(yīng)變?cè)隽恐g的相互關(guān)系。

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