張海鵬，韓端鋒，郭春雨

(哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

航母作為一種高科技含量的戰(zhàn)斗艦艇，其排水量與船體要素之間存在緊密的客觀聯(lián)系，二者的統(tǒng)計回歸與數(shù)學建模研究較少，因此在航母頂層設(shè)計階段如何根據(jù)目標圖像要求確定航母總體要素成為亟待解決的問題.

船舶總體設(shè)計包括主尺度要素確定、型線設(shè)計、總布置以及結(jié)構(gòu)設(shè)計等多方面內(nèi)容，其中主尺度要素的確定是各項工作的先決條件.尋求有效方法將船舶總體要素建立成數(shù)學模型可作為頂層概念設(shè)計與合同設(shè)計的參考準則與設(shè)計依據(jù)，具有不可替代的重要意義［1］.

目前廣泛采用基于數(shù)理統(tǒng)計理論的回歸方法來建立數(shù)學模型，如多元線性回歸分析和逐步回歸分析方法等［2］.近年來，隨著人工智能理論的發(fā)展，計算機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)得到越來越多的關(guān)注與運用［3］.本文首先介紹傳統(tǒng)多項式回歸分析方法與基于學習因子自適應(yīng)調(diào)整的改進粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)，并將改進后的PSO算法嵌入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，實現(xiàn)對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練過程的優(yōu)化.其次利用經(jīng)改進粒子群優(yōu)化后的BPNN對國外航母主尺度數(shù)據(jù)資料建立數(shù)學模型，并將其與基于傳統(tǒng)多項式回歸分析方法的結(jié)果進行對比分析.

1 回歸分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

1.1 多項式回歸分析

若回歸方程表達式為

式中:fi(x1，…，xk)都是自變量的已知函數(shù)，且不包括任何參數(shù).令:

則上述方程可表示為

因為對于任意連續(xù)函數(shù)上的一點，總可以在其鄰域內(nèi)用多項式來逼近它，所以對于較復(fù)雜的問題，可用多項式回歸進行分析計算.

1.2 改進的粒子群算法

PSO最早由Eberhart等在1995提出［4］，通過模仿鳥類群體行為進行最優(yōu)值搜索.

設(shè)在n維的搜索空間中，由m個粒子組成的種群記為X=［x1… xi… xm］.其中，第i個粒子的位置為xi=［xi1xi2… xin］T，其速度為vi=［vi1vi2… vin］T.粒子i的個體位置為pi=［pi1pi2… pin］T.粒子在搜索過程中通過跟蹤2個目標值來更新自己的速度和位置:1)粒子本身目前找到的最優(yōu)解，即個體極值;2)整個種群目前找到的最優(yōu)解，即群體極值.其迭代計算公式為

在粒子群優(yōu)化算法中，學習因子c1、c2分別控制“認知”部分和“社會”部分對粒子速度的影響.一般來說，在基于種群的優(yōu)化方法中，總是希望個體在初始階段能夠在整個尋優(yōu)空間進行搜索，不至于過早陷入局部值;而在結(jié)束階段能夠提高算法收斂速度和精度，有效地尋找到全局最優(yōu)解［5-7］.本文提出一種加速系數(shù)隨迭代進程基于“S”型函數(shù)動態(tài)變化的調(diào)整方法:

式中:a為正系數(shù)，控制c1的下降陡峭程度，建議取在5～15;kmax為最大迭代次數(shù)，k為當前迭代次數(shù).該方法可最大程度使粒子群在迭代初始階段具有大的“認知”部分，而在迭代后期階段具有大的“社會”部分，這樣更有利于算法收斂于全局最優(yōu)解，提高算法收斂速度和精度.改進后的c1、c2函數(shù)曲線如圖1所示.

圖1 改進后的學習因子c1、c2Fig.1 Improved learning factors c1，c2

1.3 經(jīng)改進PSO優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BPNN是一種多層結(jié)構(gòu)的前向網(wǎng)絡(luò)［8］，其神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型如圖2所示.

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)Fig.2 Layers of BP network

其隱層神經(jīng)元的激活函數(shù)為S型函數(shù)，而輸出神經(jīng)元的激活函數(shù)可以是S型函數(shù)，也可以是線性函數(shù).它可以實現(xiàn)從輸入到輸出的任意非線性映射.典型的S型Sigmoid函數(shù)如下:

由于傳統(tǒng)BP算法是基于梯度下降這一思想的，因此不可避免地帶來以下問題［9-10］:

1)從數(shù)學上看，它是一個非線性優(yōu)化問題，這就不可避免地存在局部極小問題;

2)運算量大，訓練時間長，收斂速度慢;

3)魯棒性差，網(wǎng)絡(luò)對參數(shù)的初始設(shè)置比較敏感;

4)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運算參數(shù)等都尚無公認的理論指導(dǎo)，往往是根據(jù)經(jīng)驗選取的，一旦選擇不當系統(tǒng)性能將惡化，甚至導(dǎo)致不收斂.

改進PSO算法避免了梯度下降法中要求函數(shù)可微、對函數(shù)求導(dǎo)的過程，因此用PSO算法替代BP算法中的梯度下降法訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，能夠改善BPNN性能，加快搜索速度，并且能夠防止整個算法的過早收斂，使其不易陷入局部極小，增強了網(wǎng)絡(luò)的泛化性能.

在BPNN學習中，用改進的PSO算法替代傳統(tǒng)BP算法，粒子群結(jié)點由位置向量和速度向量表示.其中，位置向量用BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值而定義，即假設(shè)BP網(wǎng)絡(luò)為三層結(jié)構(gòu)，令R、S1、S2分別為輸入層、隱層和輸出層神經(jīng)元的個數(shù)，則粒子群個體位置向量x的維數(shù)n為BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值個數(shù)之和，即

在粒子群節(jié)點速度向量的定義中，每一維粒子都有一個最大限速度vmax(vmax＞0)，如果某一維的速度超過設(shè)定的vmax，則該維速度被限定為vmax.

粒子群結(jié)點適應(yīng)度函數(shù)使用BP算法的均方差MSE(mean squared error)定義:

式中:Yij是節(jié)點的期望輸出，Dij是節(jié)點的實際輸出.

圖3 PSO-BP網(wǎng)絡(luò)算法流程Fig.3 Flow chart of PSO-BP

可見，對于給定的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，只需對連接權(quán)值進行編碼，將其映射為碼串所表示的個體，同時將訓練中產(chǎn)生的均方誤差作為評價個體的適應(yīng)函數(shù)，此時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練就可轉(zhuǎn)化為尋找一組使均方誤差最小的最佳連接權(quán)值的優(yōu)化問題.基于改進PSO的BPNN算法流程圖如圖3所示.

2 主尺度回歸模型建立

通過搜集、篩選近50年現(xiàn)役及退役的國外航母主尺度資料，選擇了其中具有代表性的15艘［11］，將其主尺度分別利用上述多項式回歸與改進PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立數(shù)學模型.通過這些數(shù)學模型不僅可以反映出近現(xiàn)代航母發(fā)展的基本走勢，還可為在航母頂層論證與初步設(shè)計階段提供一個預(yù)報與評價主尺度與船型系數(shù)的科學依據(jù)，并通過對回歸公式進一步的理論研究總結(jié)出某些回歸變量間的內(nèi)在理論聯(lián)系，為科研與設(shè)計單位提供較為全面、系統(tǒng)的參考信息.

考慮到航母設(shè)計之初主要以滿載排水量為目標圖像［12］，故以滿載排水量 Δ =LBTCBρ作為輸入，分別以船總長L、總寬B、設(shè)計水線長Lw、設(shè)計水線寬Bw和吃水T作為輸出.分別采用基于多項式回歸的Matlab Curve-fitting tool工具箱與基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的Matlab BP工具箱中的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計函數(shù)與網(wǎng)絡(luò)仿真函數(shù)［13-14］，建立了國外典型航母主尺度的數(shù)學模型.采用多項式回歸的船舶主尺度與滿載排水量的回歸關(guān)系式為

船總長L、總寬B、吃水T、設(shè)計水線長Lw與設(shè)計水線寬Bw的擬合結(jié)果分別如圖4～8所示.

圖4 總長L與滿載排水量Δ的多項式與PSO-BP回歸Fig.4 Polynomial and PSO-BP regression of L and Δ

表1 給出了其中吃水T與設(shè)計水線寬Bw的計算結(jié)果，從中可以看出采用改進PSO-BP方法進行回歸的結(jié)果比較準確，與實際值比較接近.

表1 15艘典型航母吃水與設(shè)計水線寬以及2種方法的回歸值Table 1 15 AC＇s draft and breadth of waterline and the regression value

圖5 總寬B與滿載排水量Δ的多項式與PSO-BP回歸Fig.5 Polynomial and PSO-BP regression of B and Δ

圖6 吃水T與滿載排水量Δ的多項式與PSO-BP回歸Fig.6 Polynomial and PSO-BP regression of T and Δ

圖7 設(shè)計水線長Lw與滿載排水量Δ的多項式與PSO-BP回歸Fig.7 Polynomial and PSO-BP regression of Lw and Δ

圖8 設(shè)計水線寬Bw與滿載排水量Δ的多項式與PSO-BP回歸Fig.8 Polynomial and PSO-BP regression of Bw and Δ

3 結(jié)果分析與比較

對以上2種回歸結(jié)果進行誤差總結(jié)分析，引入用于評價數(shù)據(jù)變異性方面是否成功的衡量指標樣本決定系數(shù)R2進行擬合優(yōu)度評價［2］.R2即響應(yīng)數(shù)據(jù)yi與預(yù)測響應(yīng)數(shù)據(jù)之間相關(guān)系數(shù)的平方，其定義為回歸平方和SSR與總平方和SST的比值.R2可以取0到1之間的所有值，值越接近1，擬合效果越好.表2為擬合曲線的擬合優(yōu)度統(tǒng)計結(jié)果.

表2 2種方法的擬合誤差統(tǒng)計結(jié)果Table 2 R2 of the two methods to comparison

從比較結(jié)果可知，用改進PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回歸的精度要高于多項式回歸.但前者沒有明確的函數(shù)公式關(guān)系.針對光滑度而言，改進PSO-BP回歸曲線的整體光滑程度不及多項式回歸曲線，但具有良好的分段光滑特性，這在分析數(shù)據(jù)的分段變化趨勢中具有非常重要的意義.

總體來說，2種方法的擬合值均較精確，誤差滿足設(shè)計精度要求.多項式回歸曲線總體光滑，且可以給出回歸公式，運用方便;改進PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回歸曲線則更精確，具有良好的分段光滑特性.二者均可用于船型總體論證與初步方案設(shè)計.

4 結(jié)論

本文搜集國外典型航母的主尺度相關(guān)數(shù)據(jù)，將粒子群優(yōu)化算法進行改進并引入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，分別建立了多項式回歸模型以及改進PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回歸模型，并將回歸分析誤差進行比較，較好地擬合了主尺度關(guān)于滿載排水量的變化規(guī)律.并得出以下結(jié)論:

1)對傳統(tǒng)粒子群算法的學習因子進行關(guān)于迭代進程的自適應(yīng)調(diào)整，這樣有利于算法收斂于全局最優(yōu)解，提高算法收斂速度和精度.

2)用改進PSO替換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BP學習算法，并構(gòu)建新的粒子群神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可以提高混合型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習速度，并降低算法對網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值的敏感性而減小網(wǎng)絡(luò)受外界激發(fā)的震蕩，加強算法的全局搜索能力.

3)本文為船舶主尺度數(shù)學模型的建立提供了一種新的思路和方法，將以往須通過分類擬合的項目整合，既能在回歸自變量全范圍內(nèi)實現(xiàn)根據(jù)數(shù)據(jù)趨勢自動分段，又保證在分段內(nèi)部具有光滑特性.并通過對比實驗證實了新方法的可靠性，該研究成果不僅具有相應(yīng)的科學理論價值，而且具有重要的工程指導(dǎo)意義.

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