樸勇杰， 沈京虎

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

2－度量空間上具有隱式收縮條件的2個映射的唯一公共不動點(diǎn)

樸勇杰， 沈京虎

（延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉133002）

通過引進(jìn)1類新的函數(shù)類并建立1個隱式收縮條件，證明了滿足某種條件的2個映射存在唯一公共不動點(diǎn)的定理，同時給出了若干推論．所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［3－9］的一些結(jié)果．

函數(shù)類F；隱式收縮條件；重合點(diǎn)；公共不動點(diǎn)；不動點(diǎn)

0 引言與基本概念

文獻(xiàn)［1－9］的作者在2－度量空間上討論并得到了有限個或無限個映射族的公共不動點(diǎn)定理，但他們主要是在顯式或半顯式的收縮或擬收縮條件下推廣和改進(jìn)了2－度量空間上的不動點(diǎn)和公共不動點(diǎn)定理．文獻(xiàn)［10］的作者在度量空間上通過引進(jìn)隱式收縮條件討論了公共不動點(diǎn)問題，得到了較好的結(jié)果．本文受文獻(xiàn)［10］的啟示，通過引入1類新的函數(shù)類F并建立1個隱式收縮條件，討論并得到2－度量空間上2個映射的公共不動點(diǎn)的存在定理，進(jìn)一步給出1個映射的唯一不動點(diǎn)存在定理．

定義1 F∈F當(dāng)且僅當(dāng)F∶（R＋）6→R＋是連續(xù)函數(shù)，其中R＋＝［0，∞）．考慮F的如下幾個性質(zhì)：

（F1）F關(guān)于第6變元是單調(diào)遞減的且存在h∈ ［0，1）使得若F（u，v，u，v，0，u＋v）≤0，則v≤hu；

（F2）對任何u＞0，F(xiàn)（0，u，0，u，0，0）＞0；

（F3）對任何u＞0，F(xiàn)（u，u，0，0，u，u）＞0．

注記1 定義1中給出的F的各種條件明顯不同于文獻(xiàn)［10］中所給的條件．

例題1 定義F∶（R＋）6→R＋為F（u1，u2，u3，u4，u5，u6）＝a1u1＋a2u2＋a3u3＋a4u4＋a5u5－a6u6，其中a1，a2，a3，a4，a5，a6為非負(fù)實(shí)數(shù)且滿足條件：則由給定條件可知h∈［0，1），于是F滿足（F1）．因?yàn)閍6＜a2＋a4，F(xiàn)顯然滿足（F2）．另外，若u＞0，則F（u，u，0，0，u，u）＝（a1＋a2＋a5－a6）u＞0，于是F滿足（F3）．例如，取a1＝a3＝a5＝1，a2＝2，a4＝3，a6＝3，則a1，a2，a3，a4，a5，a6滿足給定條件．

定義2［11－12］設(shè)X是非空集合，f，g∶X→X是2個映射．如果存在x，w∈X使得w＝fx＝g x，則稱x是f和g的重合點(diǎn)，而w是f和g的重合的點(diǎn)．

定義3［13］稱2個映射f，g∶X→X是弱可共處的是指，如果x∈X且fx＝g x，則fgx＝gfx．

定義4［4－9］2－度量空間（X，d）是由集合X和映射d∶X×X×X→ ［0，＋∞）組成，使得

（i）對任何不同的x，y∈X，存在1個u∈X滿足d（x，y，u）≠0；

（ii）d（x，y，z）＝0當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z中至少有2個是相同的；

（iii）d（x，y，z）＝d（u，v，w），其中｛u，v，w｝是｛x，y，z｝的任意排列；

（iv）對任何x，y，z，u∈X，d（x，y，z）≤d（x，y，u）＋d（x，u，z）＋d（u，y，z）．

定義5［4－9］稱2－度量空間（X，d）的序列｛xn｝n∈N是柯西序列是指，對任何ε＞0，存在N∈N使得當(dāng)n，m＞N時，成立d（xn，xm，a）＜ε，?a∈X．稱｛xn｝n∈N收斂于x∈X是指，對任何a∈X，limn→＋∞d（xn，x，a）＝0．用xn→x表示xn收斂于x，并稱x是｛xn｝n∈N的極限．

定義6［4－9］稱2－度量空間（X，d）是完備的，是指X中的每個柯西序列都收斂．

引理1［11－12］設(shè)f，g∶X→x是弱可共處的．如果f和g有唯一的重合的點(diǎn)w＝fx＝gx ，則w是f和g的唯一的公共不動點(diǎn)．

引理2［4－9］設(shè)｛xn｝n∈N是2－度量空間（X，d）中的序列．如果存在h∈ ［0，1）滿足對任何a∈X及任何n∈N，成立d（xn＋2，xn＋1，a）≤h d（xn＋1，xn，a），則d（xn，xm，xl）＝0，?n，m，l∈N，且｛xn｝n∈N是柯西序列．

引理3［4－9］設(shè)｛xn｝n∈N是2－度量空間（X，d）中收斂于x的序列，則limn→＋∞d（xn，b，c）＝d（x，b，c），?b，c∈X．

則F滿足（F1）—（F3）．

事實(shí)上，F(xiàn)顯然是連續(xù)的且關(guān)于第6變元是單調(diào)遞減．如果F（u，v，u，v，0，u＋v）≤0，則（a2＋a4

1 不動點(diǎn)和公共不動點(diǎn)

定理1 設(shè)（X，d）是2－度量空間，f，T∶X→X是2個映射使得TX?f X，且對任何x，y，a∈X，

其中F∈F滿足（F1）—（F3）．如果fX 或TX是完備的，則f和T有唯一的重合的點(diǎn)．進(jìn)一步，若f和T是弱可共處的，則f和T有唯一公共不動點(diǎn)．

證明 任選x0∈X，并根據(jù)TX?fX 構(gòu)造2個序列｛xn｝和｛yn｝滿足yn＝fxn＝Txn＋1，n＝0，1，2，…．如果存在某1個n使得xn＝xn＋1，則yn＝fxn＝Txn就是f和T的重合的點(diǎn)．因此我們不妨假設(shè)xn≠xn＋1，?n＝0，1，2，…．對任何n＝0，1，2，… 及a∈X，取x＝xn，y＝xn＋1，并代入到（1）式得到F（d（Txn，Txn＋1，a），d（f xn，f xn＋1，a），d（f xn，Txn，a），d（f xn＋1，Txn＋1，a），d（f xn，Txn＋1，a），d（fxn＋1，Txn，a））≤0，整理得

記u＝d（yn－1，yn，a），v＝d（yn，yn＋1，a），則根據(jù)定義4的（iv）得到d（yn＋1，yn－1，a）≤u＋v＋d（yn＋1，yn－1，yn）．于是根據(jù)（F1），并由式（2）得到

取x＝xn，y＝xn＋1，a＝y(tǒng)n－1，并代入到（1）式，則得到類似于式（2）的如下結(jié)果：

根據(jù)定義4的（ii）整理得F（0，d（yn，yn＋1，yn－1），0，d（yn＋1，yn，yn－1），0，0）≤0．因此根據(jù)（F2）得到d（yn＋1，yn，yn－1）＝0，?n＝1，2，…．于是（3）式變成

根據(jù)（F1）得到v≤hu，即成立d（yn，yn＋1，a）≤h d（yn－1，yn，a），?n＝0，1，2，…，a∈X．于是根據(jù)引理2知序列｛yn｝是柯西序列．

假設(shè)TX是完備的．因?yàn)閥n＝fxn＝Txn＋1∈TX，因此存在z∈X使得yn＝fxn＝Txn＋1→Tz．取x＝xn，y＝z，并代到（1）式得到

整理得

由于F是連續(xù)的且yn→Tz以及yn是柯西序列，因此對式（5）取極限（即令n→∞），并根據(jù)引理3和定義4的（ii）整理得F（0，d（Tz，fz ，a），0，d（Tz，fz ，a），0，0＋d（Tz，fz ，a））≤0．根據(jù)（F1）（其中取u＝0，v＝d（Tz，f z，a））得到d（Tz，f z，a）＝0，?a∈X．于是再次根據(jù)（ii）得到Tz＝f z．令u＝Tz＝fz ，則u就是f和T的重合的點(diǎn)．

假設(shè)v＝fz1＝Tz1也是f和T的重合的點(diǎn)且假設(shè)u≠v，則根據(jù)（ii）存在a∈X使得d（u，v，a）＞0．取x＝z，y＝z1并代到（1）式得

整理得

這與條件（F3）相矛盾，于是必有u＝v．這說明f和T的重合的點(diǎn)是唯一的．根據(jù)引理1可知u是f和T的唯一的公共不動點(diǎn)．

如果fX 是完備的，則由于yn＝f xn＝Txn＋1∈fX ?TX，因此存在z1，z2∈X使得yn＝f xn＝Txn＋1→fz1＝Tz2．余下的證明與TX是完備時的情況相同，即把z2看作z即可．

推論1 設(shè)（X，d）是完備的2－度量空間，T∶X→X是滿映射使得對任何x，y，a∈X，

其中F∈F滿足（F1）—（F3），則T有唯一的不動點(diǎn)．

證明 取f＝1X，則f和T滿足不等式（1）且f和T顯然是弱可共處的，于是根據(jù)定理1知T有唯一不動點(diǎn)．

推論2 設(shè)（X，d）是2－度量空間，f∶X→X是映射使得對任何x，y，a∈X，

其中F∈F滿足（F1）—（F3）．如果fX 是完備的，則f有唯一不動點(diǎn)．

證明 取T＝1X即可．

定理2 設(shè)（X，d）是2－度量空間，f∶X→X是連續(xù)映射使得對任何x，y，a∈X，

其中F是滿足（F1）—（F3）的函數(shù)．如果fX 是完備的，則f有唯一不動點(diǎn)．

證明 取T＝1X，并按定理1的證明方法構(gòu)造｛xn｝使其滿足xn＋1＝fxn，然后利用條件（F1）和（F2）證得｛xn｝是柯西序列．因?yàn)閒X 是完備的，因此存在z，u∈X使得xn＋1＝fxn→fz ＝u．由f的連續(xù)性可得到fu ＝limn→∞fxn＋1＝limn→∞fxn＝u，這說明u是f的不動點(diǎn)．若v也是f的不動點(diǎn)，則根據(jù)（9）式得到對任何a∈X，F(xiàn)（d（u，v，a），d（fu ，fv ，a），d（fu ，u，a），d（fv ，v，a），d（fu ，v，a），d（f v，u，a））≤0，整理得F（d（u，v，a），d（u，v，a），0，0，d（u，v，a），d（u，v，a））≤0．于是根據(jù)（F3）得到d（u，v，a）＝0，?a∈X，因此u＝v．這說明u就是f的唯一的不動點(diǎn)．

注記2 定理2說明定理1中關(guān)于F的連續(xù)性可用映射f的連續(xù)性代替．

注記3 定義F（u1，u2，u3，u4，u5，u6）＝－h(huán)u1＋u2，其中h∈ ［0，1），則F顯然滿足（F1）—（F3）．此時，定理2的（9）式變成d（f x，fy，a）≤hd （x，y，a），?x，y，a∈X，而這正是Banach不動點(diǎn)原理在2－度量空間上的表現(xiàn)形式．所以定理2本身推廣和改進(jìn)了很多不動點(diǎn)定理，因此具有重要的意義．另外，仍考慮F（u1，u2，u3，u4，u5，u6）＝－h(huán)u1＋u2，其中h∈ ［0，1），則推論1中的（7）式變成d（x，y，a）≤hd （Tx，Ty，a），?x，y，a∈X，滿足該條件的推論1正是2－度量空間上滿足擬收縮條件的映射族的公共不動點(diǎn)定理［4］的最簡單結(jié)果的表現(xiàn)形式．因此，本文的主要結(jié)果推廣和改進(jìn)了很多2－度量空間上滿足顯式或半顯式狀態(tài)的收縮或擬收縮條件的映射族的公共不動點(diǎn)定理．

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Unique common fixed points for two mappings with implicit contractive condition on 2－metric spaces

PIAO Yong－jie， SHEN Jing－h(huán)u
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

A class of functions is introduced and an implicit contractive condition is considered，then the existent theorems of unique common fixed point for two mappings satisfying some conditions are proved and some their corollaries are given．The obtained results generalize and improve some known conclusions in references［3－9］．

class of functions；implicit contractive condition；coincident point；common fixed point；fixed point

O177．91

A

1004－4353（2012）03－0173－04

20120623 基金項(xiàng)目：吉林省教育廳科研項(xiàng)目（吉教科合字［2011］第434號）

樸勇杰（1962—），男，理學(xué)博士，教授，研究方向?yàn)榉蔷€性理論和分析學(xué)．