羅　敬，段　汕

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實(shí)數(shù)連續(xù)性九個(gè)等價(jià)命題的證明

羅敬，段汕*

（中南民族學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430074）

敘述九種形式的實(shí)數(shù)連續(xù)性定理，并采用閉循環(huán)回路方式證明這九種常見(jiàn)實(shí)數(shù)連續(xù)性定理彼此等價(jià)。

實(shí)數(shù)連續(xù)性；等價(jià)命題；證明

1　實(shí)數(shù)連續(xù)性命題描述

1.1單調(diào)有界定理

1.2閉區(qū)間套定理

1.3有限覆蓋定理

1.4 界點(diǎn)定理

1.5 確界定理

1.6 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理

1.7 聚點(diǎn)定理

定理1.7.1（聚點(diǎn)定理）：實(shí)數(shù)集的任一無(wú)限有界子集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。

1.8 致密性定理

定理1.8.1(致密性定理):有界數(shù)列必含有收斂子列。

1.9 柯西收斂準(zhǔn)則

2 實(shí)數(shù)連續(xù)性九個(gè)命題的等價(jià)性

前面我們敘述了實(shí)數(shù)連續(xù)性的九個(gè)命題，現(xiàn)在我們將證明實(shí)數(shù)連續(xù)性的九個(gè)命題中任意兩個(gè)等價(jià)。為了節(jié)省篇幅，我們用閉循環(huán)回路的方式證明。這些證明有助于加深對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的九個(gè)命題的理解及其等價(jià)性的理解，有助于掌握用這些定理證明分析中一些重要定理的思想方法。這是《數(shù)學(xué)分析》中很重要的基本功。下面我們按圖1所示順序證明它們等價(jià)：

圖1 九個(gè)命題的閉循環(huán)回路

2.1 單調(diào)有界定理→閉區(qū)間套定理

存在極限。設(shè)

2.2 間區(qū)間套定理→有限覆蓋定理

2.3 有限覆蓋定理→界點(diǎn)定理

故綜上可得：假設(shè)不成立。

2.4 界點(diǎn)定理→確界定理

2.5 確界定理→實(shí)數(shù)連續(xù)性定理

2.6 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理→聚點(diǎn)定理

2.7 聚點(diǎn)定理→致密性定理

2.8 致密性定理→柯西收斂準(zhǔn)則

證明: （1）柯西收斂準(zhǔn)則的必要性

（2）證柯西收斂準(zhǔn)則的充分性

2.9 柯西收斂準(zhǔn)則→單調(diào)有界定理

至此，實(shí)數(shù)連續(xù)性九個(gè)定理的等價(jià)性得到了證明。這九個(gè)定理的數(shù)學(xué)形式雖然不同，但都描述了實(shí)數(shù)集的連續(xù)性。這樣，我們?cè)诮鉀Q有關(guān)實(shí)數(shù)連續(xù)性的問(wèn)題時(shí)，表述的方式就更多樣化了。正如在任何語(yǔ)言中，同一思想可以用多種表達(dá)方法一樣，同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)可以有不同的表達(dá)方式和不同的證明方法。而在證明過(guò)程中，我們不只檢驗(yàn)了定理，而且對(duì)定理有了更深的理解。隨著對(duì)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)呈現(xiàn)給我們的是一個(gè)更加精彩的世界，其中的發(fā)現(xiàn)更是無(wú)窮無(wú)盡的。應(yīng)用這九個(gè)命題，我們可以證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理、最值定理、一致連續(xù)性定理等,從而實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)定理有更加廣泛的應(yīng)用空間。

[1] 段鵬舉. 實(shí)數(shù)連續(xù)性的八個(gè)等價(jià)命題[J]. 宿州學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,23(1).

[2] 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等. 數(shù)學(xué)分析（第二版上）[M]. 北京:高等教育出版社，1983. 103-107.

[3] 劉玉蓮，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M]. 北京:高等教育出版社，1981. 119-131.

[4] T.M.茲赫氣哥爾茨，葉彥謙，等. 微積分學(xué)教程[M]. 北京:人民教育出版社，1978.7-18.

[5] 崔寶同，王海濱. 數(shù)學(xué)分析的理論與方法[M]. 北京: 科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1990.96-98.

[6] 鄧東皋，尹小玲. 數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程[M]. 北京: 高等教育出版社，1999.9-13.

The Proof on the Equivalence among Nine Theorems of the Continuance of Real Number

LUO Jing, DUAN Shan

(School of Mathematics and Statistics ,South-Central University for Nationalities , Wuhan Hubei 430074 ,China)

This paper illustrates nine theorems of the continuance of real number,and proves the nine theorems are equivalent in the analytic way of closed circle.

Continuance of Real Number; Equivalent Preposition; Proof

O171

A

1009－5160(2012)03－0089－05

*通訊作者：段汕（1962-），女，教授，研究方向：圖像處理和模式識(shí)別.