藺 捷，薛 紅，王曉東

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

期權(quán)作為一種防范金融風(fēng)險或投機(jī)的有效手段而得到了迅猛發(fā)展.除了標(biāo)準(zhǔn)歐式和美式看漲看跌期權(quán)外，還有很多不同的復(fù)雜的新型期權(quán)，缺口期權(quán)就是其中的一種.文獻(xiàn)[1]在幾何布朗運(yùn)動環(huán)境下利用風(fēng)險中性估值原理，給出了缺口期權(quán)定價公式;文獻(xiàn)[2]在幾何布朗運(yùn)動環(huán)境下利用保險精算的方法，將期權(quán)定價問題轉(zhuǎn)化為公平保費(fèi)的確定問題，給出了歐式期權(quán)定價公式.

1 金融市場數(shù)學(xué)模型

假設(shè)股票價格S(t)和利率r(t)分別滿足隨機(jī)微分方程

假設(shè){BH(t)，t≥0}與{WH(t)，t≥0}是完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動且相互獨(dú)立.令

定理1隨機(jī)微分方程(3)的解為

證明 由分?jǐn)?shù)型It^o公式

可得

定理2[3]隨機(jī)微分方程(4)的解為

定義3[4]股票價格{S(t)，t≥0}在[t，T]上的期望回報率β(u)由下式給出

定理4[3]股票價格{S(t)，t≥0}在[t，T]上的期望回報率 β(u)滿足 β(u)=μ，u∈[t，T].

2 缺口期權(quán)定價公式

定義5[1]歐式缺口看漲期權(quán)到期日的價值為

定義6歐式缺口看漲期權(quán)的保險精算價格定義為

引理7[5]假定a，b，c，d，k為實(shí)數(shù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則有其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

其中Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

由引理7可得

定理9歐式缺口看漲期權(quán)在t時刻的保險精算價格為

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

關(guān)于算子MH的定義見文獻(xiàn)[6-8].

證明 由定理1、2、4可知

由分?jǐn)?shù)型It^o公式，知

則

由于

由于

且

當(dāng)K≥G時，

其中

同理當(dāng)K＜G時，有

注1當(dāng)b=0，c=0，a→0時，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下缺口期權(quán)定價公式

其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，且

特別地，

(ii)當(dāng)G=K時，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式期權(quán)定價公式(參見文獻(xiàn)[2]).

3 結(jié) 語

本文在利率滿足Vasicek模型，股票價格過程遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程，建立了金融市場數(shù)學(xué)模型，利用保險精算方法，討論缺口期權(quán)定價問題，得到了缺口看漲期權(quán)的定價公式.

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