赫俊國，劉 飛，歐陽力

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)市政環(huán)境工程學(xué)院，哈爾濱150090)

絮凝是水處理工藝的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，絮凝效果的好壞直接決定著后續(xù)工藝的運(yùn)行工況，影響著最終出水水質(zhì)和水處理的運(yùn)行成本.因而，絮凝過程的動(dòng)力學(xué)控制和形態(tài)學(xué)控制一直是水處理學(xué)科研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)[1-4].絮凝的實(shí)質(zhì)是使混合工藝中析出的絮凝體凝結(jié)，并達(dá)到一定的尺度與密實(shí)度，從而有利于沉淀，實(shí)現(xiàn)清濁分離的目的[5].能否形成結(jié)構(gòu)良好的絮凝體，是整個(gè)給水處理工藝的關(guān)鍵[6-7]，而結(jié)構(gòu)良好的絮凝體應(yīng)具有一定的密度(Floc Density)和強(qiáng)度(Floc Strength).本研究基于分形理論，推求絮凝體的密度和強(qiáng)度的表達(dá)式，通過基于絮凝體分形維數(shù)控制的動(dòng)力學(xué)模型的建立，確立控制絮凝效果的綜合指標(biāo)，以期對(duì)絮凝工藝進(jìn)行動(dòng)力學(xué)控制與絮凝體形態(tài)控制，并為實(shí)際工程的工藝設(shè)計(jì)和運(yùn)行提供了合理的依據(jù).

1 絮凝體的分形維數(shù)

分形理論(fractal theory)是由美籍法國數(shù)學(xué)家曼德布羅特(Mandelbrot)在1967年提出的[8]，具有分形特征的是復(fù)雜系統(tǒng)，其復(fù)雜程度可以用分形數(shù)維來描述.絮凝體的形成和生長也可以通過分形維數(shù)來進(jìn)行描述和分析.

按照分形的定義，物質(zhì)的質(zhì)量M與其特征長度dp之間具有如下關(guān)系[9].

其中:M為絮凝體的質(zhì)量;dp為顆粒的粒徑;Df為分形維數(shù).

對(duì)于絮凝體，通常以其當(dāng)量直徑dp(與平面投影面積相同圓的直徑)作為特征長度.對(duì)于三維歐幾里德體系，Df=3;而對(duì)于非歐幾里德系統(tǒng)，Df＜3.具有Df＜3的性質(zhì)的物體就是分形體，Df稱為分形維數(shù).

傳統(tǒng)的絮凝體研究表明，隨著絮凝體粒徑的增大，其密度呈降低的趨勢(shì)，這種關(guān)系一般符合絮凝體密度ρ與粒徑dp的Kp次方成反比的普遍規(guī)律:

即

用常規(guī)得歐幾里德幾何量度將式(1)寫為:

其中:Vp為物體的體積;α為幾何因子，對(duì)于球體，α=4π/3.

將式(3)代入式(4)得到:

綜合式(1)和式(5)可以得到，絮凝體的分形維數(shù)為:

這一結(jié)果表明，只要Kp＞0，絮凝體的分形維數(shù)身就小于3(對(duì)于三維體系)，呈現(xiàn)出分形的特征.這是由于絮凝體的成長過程是一個(gè)隨機(jī)碰撞過程，具有典型的分形特征.

2 絮凝體的密度與強(qiáng)度的推求

2.1 分形體系下絮凝體的密度的推求

設(shè)組成絮凝體的初始顆粒的特征長度L0，形狀系數(shù)為 α0，密度為 ρ0，則初始顆粒的質(zhì)量為[10]:

設(shè)絮凝體的形狀系數(shù)為α，聚集系數(shù)為β，特征長度為L，對(duì)于分形體系(而非三維歐幾里德體系)，絮凝聚集體內(nèi)含有的初始顆粒數(shù)N可表示為:

式中，令 ψ=βα/α0，則絮凝體的質(zhì)量為:

絮凝體的體積通常有兩種定義:包裹體積(encased volume)和固有體積(solid volume).包裹體積指絮凝體整體邊界內(nèi)包含的所有空間;絮凝體的固有體積指絮凝體內(nèi)所有初始顆粒所占有的空間體積.對(duì)于分形體系，絮凝體的包裹體積可表示為:

絮凝體的密度定義為單位包裹體積內(nèi)所有絮凝體的質(zhì)量，即

將式(9)和式(10)代入上式，可以得到分形體系下，絮凝體的密度表達(dá)式:

可以看出，絮凝體的密度是分形維數(shù)Df的函數(shù).

2.2 絮凝體的強(qiáng)度分析

絮凝體的強(qiáng)度能夠反應(yīng)分形維數(shù)與動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的關(guān)系，它決定著形成的絮體顆粒的最大尺寸，對(duì)絮凝池的合理設(shè)計(jì)具有重要意義，對(duì)后繼工藝的固液分離也具有重要影響.

在固定的攪拌條件下，絮凝體能夠達(dá)到的最大尺寸由絮凝體的黏結(jié)力和流體對(duì)絮凝體的湍流破碎力這兩個(gè)相反的力決定[11].

黏結(jié)力B(g·cm/s2)與絮凝體的凈截面積An(cm2)成正比，如下式:

對(duì)于直徑為dp(cm)的絮凝體，設(shè)其空隙率為ε，其凈體積Vn(cm3)可表示為:Vn∝d3p(1-ε)，則絮凝體的凈截面積為:

由式(13)和式(14)可得:

另外，由絮凝體的物料平衡可以得到:

其中:V、Vε分別為絮凝體和絮凝體中水分所占的體積(m3);ρw、ρ0、ρs分別為水、原水初始顆粒、絮體顆粒的密度(g/cm3).

絮凝體的有效密度表達(dá)式為:ρe=ρs-ρW，Tambo[12]等通過攝影的方法測定靜水樣中離散絮凝體的速度和直徑，得出的密度函數(shù)為，其中系數(shù)α和Kp僅與ALT比(鋁離子投量/濁度)有關(guān).在通常的投藥量范圍內(nèi)，Kp=1.0～1.4，并隨ALT比的增大而增大.所以有:

將式(17)代入式(16)中，處理后得到:

在同樣的絮凝條件下，假設(shè) ρ0-ρW、Kp、α均為常數(shù).將式(18)代入式(15)，則絮凝體的黏結(jié)力B可以表示為:

上式結(jié)合分形維數(shù)表達(dá)式Df=3-Kp可以得到:

另一方面，微渦旋作用在絮凝體上會(huì)產(chǎn)生使絮凝體破碎的湍動(dòng)力.作用在直徑為dp的絮凝體兩相對(duì)側(cè)面的單位面積上的動(dòng)力差Δf為:

其中u1、u2為距離為dp的兩點(diǎn)上水的波動(dòng)速度;表示的是上述兩個(gè)速度之差的平均絕對(duì)值;令

在Kolmogoroff的局部同性湍流假設(shè)條件下，u在慣性區(qū)及黏性區(qū)的表達(dá)式如下:

上兩式中，μ為動(dòng)力黏滯系數(shù)(g/cm·s);ε0為微渦旋的特征能耗值，即單位質(zhì)量流體的輸入功率(W/kg);α、β為常數(shù)，其值大約為

將式(22)和式(23)代入式(21)，并乘以絮凝體表面積，可以得到兩區(qū)總破碎力的表達(dá)式如下:

在實(shí)際中一般絮凝體的破碎主要發(fā)生在黏性區(qū)，其臨界條件是黏結(jié)力B與破碎力ΔF相等.絮凝體的強(qiáng)度一般用kσ表示，kσ可描述為B與ΔF的函數(shù)，如下式:

結(jié)合式(20)和式(25)可得:

式(27)表明，絮凝體的強(qiáng)度與微渦旋的特征能耗成反比，同時(shí)也是顆粒分形維數(shù)的函數(shù).式(28)進(jìn)一步表明，絮凝體的強(qiáng)度kσ與水體的G值的平方成反比.

3 基于絮凝體分形維數(shù)控制的絮凝動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的數(shù)學(xué)分析

當(dāng)溫度、pH值、混凝藥劑的性能均相同的條件下，絮凝過程的主要影響因素為反應(yīng)池空間尺度、空間流體的流速、流體密度、流體黏度、原水水質(zhì)、能量消耗.即影響絮凝過程的因素為:反應(yīng)池的長度尺寸L、寬度尺寸B，高度尺寸H、空間流速u、水體密度ρ、水體黏度ν、原水顆粒平均粒徑d、原水顆粒的量N、能量損失h等.絮凝體的分形維數(shù)Df受到混凝過程中這9個(gè)物理量的影響，可用下式表示:

在有關(guān)量中選取L，u，ρ作為基本量，量綱均采用國際標(biāo)準(zhǔn):

基本量的個(gè)數(shù)為3個(gè)，則π數(shù)為10-3=7個(gè)，用基本量表示為:

采用量綱和諧原理確定各π項(xiàng)的基本量指數(shù)，計(jì)算得到:

將以上計(jì)算結(jié)果代入式(29)，可得:

令

則

另外，采用機(jī)械攪拌的絮凝過程，以能耗計(jì)算G值的方法如下:

則有以下推導(dǎo):

變換可得:

需要說明的是，此處的G·T是雷諾數(shù)Re的另一種表達(dá)形式，是表征攪拌能耗和攪拌持續(xù)時(shí)間的綜合指標(biāo)，與傳統(tǒng)意義上分級(jí)控制的絮凝控制指標(biāo)GT具有不同的意義.

綜合式(31)與式(33)可以得到:

由式(34)可以看出:當(dāng)參數(shù)K表征的反應(yīng)池設(shè)備的形式及原水水質(zhì)一旦確定，由絮凝產(chǎn)生的絮體的分形維數(shù)受兩個(gè)動(dòng)力學(xué)綜合指標(biāo)的控制，即水體的能耗輸入GT和剪切強(qiáng)度Fr.

4 高效絮凝過程的動(dòng)力學(xué)控制與絮凝體形態(tài)控制

式(34)中，K是反映設(shè)備的長寬比、長高比、水體單位體積顆粒數(shù)和顆粒平均粒徑的參數(shù).在設(shè)備的尺寸確定后，單元體積水體的顆粒數(shù)及顆粒平均粒徑是參數(shù)K的主要控制因素.當(dāng)原水水質(zhì)和投藥發(fā)生變化時(shí)，會(huì)影響K值的范圍，進(jìn)而對(duì)絮體的分形維數(shù)產(chǎn)生影響.根據(jù)式(34)，此時(shí)可改變GT值及Fr，即改變水體的能耗輸入和剪切強(qiáng)度，從而對(duì)絮體的分形維數(shù)進(jìn)行控制.

絮凝過程中，所形成的絮凝體過大，其密度將趨近于水的密度，沉淀效果就差;反之，所形成的絮凝體過小，其密度將趨近于分子或分子團(tuán)密度，受水流脈動(dòng)的影響很大，沉淀效果也不會(huì)好[5].所以，形成具有一定密度和強(qiáng)度的結(jié)構(gòu)良好的絮凝體，是絮凝過程的關(guān)鍵.由式(12)可知，絮凝體的密度是分形維數(shù)的函數(shù);由式(28)可知，絮凝體的強(qiáng)度與能耗成反比，同時(shí)是分析維數(shù)的函數(shù);而式(34)給出了分形維數(shù)與動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的關(guān)系，即控制實(shí)際反應(yīng)池中的G與GT值和Fr值指標(biāo)，可控制絮體分形維數(shù)，從而控制絮體密度與強(qiáng)度.

由絮凝體強(qiáng)度的表達(dá)式(28)可以看出，水體能耗越多、速度梯度越大，水體的剪切強(qiáng)度就越大，絮凝體越容易遭到破壞，可見，絮凝過程不能單純追求水體能量輸入的增加.另一方面，由絮凝體分形維數(shù)的表達(dá)式(34)可知，當(dāng)顆粒的強(qiáng)度不變時(shí)，如果能耗增加、G值增大，則絮凝體的分形維數(shù)增加;反之則減小.絮凝過程應(yīng)保證絮凝體達(dá)到一定的分形維數(shù);同時(shí)，為了防止絮體破碎，應(yīng)增加絮凝體的強(qiáng)度.所以，在絮凝前期，應(yīng)保證較高的能量輸入、較強(qiáng)的剪切強(qiáng)度，以增加絮凝體的尺度與分形維數(shù);絮凝后期，應(yīng)減少能量輸入、降低剪切強(qiáng)度，以保證絮凝體強(qiáng)度的增加.因此，高效的絮凝過程需要控制一定的能量輸入G、GT和剪切強(qiáng)度Fr的遞減梯度，并保證絮凝體達(dá)到一定的分形維數(shù)Df.關(guān)于G、GT、Fr值等指標(biāo)以及絮凝體分形維數(shù)Df的合理控制范圍在下一步試驗(yàn)研究中確定.

5 結(jié)論

1)推求出絮凝體的密度和強(qiáng)度的表達(dá)式，得到絮凝體的密度是分形維數(shù)的函數(shù);絮凝體的強(qiáng)度與水體的能耗成反比，同時(shí)也是絮體顆粒分形維數(shù)的函數(shù).

2)得出絮凝體分形維數(shù)是能耗與剪切強(qiáng)度的函數(shù)，確立絮凝動(dòng)力學(xué)綜合指標(biāo)為能耗輸入G、GT和剪切強(qiáng)度Fr.在實(shí)際工程中通過控制G、GT值和Fr值，可以控制絮體分形維數(shù)，從而控制絮體的密度與強(qiáng)度.

3)動(dòng)力學(xué)和形態(tài)學(xué)兩方面的分析表明，高效的絮凝過程需要控制一定的能量輸入G與GT及剪切強(qiáng)度Fr的遞減梯度，并保證絮凝體達(dá)到一定的分形維數(shù)Df.

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