劉潭秋，劉再明

（1.中南大學 數(shù)學博士后流動站，湖南 長沙 410083；2.中南大學 數(shù)學科學與計算技術學院，湖南 長沙 410083）

很強的時變波動和尖峰分布是金融資產(chǎn)收益的兩個最明顯特征，也一直是研究者們試圖用時間序列模型予以描述的重點.目前，廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型和隨機波動（SV）模型被認為是能夠比較完全地抓住這兩個基本實證特征最常用的模型，且后者大有替代前者的趨勢.這不僅是因為SV類模型比GARCH類模型在結(jié)構(gòu)上更具彈性，而且具有更好的實證表現(xiàn)［1－2］.為了更充分地描述高頻金融資產(chǎn)收益序列的無條件分布明顯厚尾特征，研究者們對基礎SV模型進行了擴展，其中最直接的擴展是將收益的條件分布設定為具有厚尾特征的某種分布，以取代正態(tài)分布，其中最常見的選擇是學生t分布.然而，這樣的擴展被發(fā)現(xiàn)對于一些較大幅度的波動還是不能給予很好地描述，因此研究者們在SV模型中引入跳躍項來解釋這些大幅度的過度運動.事實上，這種跳躍項的設定被認為源自廣泛用于連續(xù)時間金融資產(chǎn)定價模型中的Lévy過程的一種離散化［3－4］.

國外有關跳躍SV模型的研究還沒有獲得一致性的實證研究結(jié)果，一個主要原因就是樣本中對應于跳躍項的極端事件很少，造成相應參數(shù)的估計不準確.相對于發(fā)達國家的股票市場，我國股市是一個“政策市”，政策層面作為外生因素對股市的趨勢有著最直接的影響，因此股市收益序列中可能存在更多較大幅度波動的“極端值”，因此這一模型可能適合于我國股市波動的研究.目前，國內(nèi)已有不少研究者采用SV模型研究中國股市，但是采用跳躍SV模型的還不多見，并且研究中往往采用單個SV模型［5－8］.本文不僅使用跳躍SV模型，并且為了形成對比，還將基礎SV模型、學生t分布SV模型包含其中，試圖探索最適合描述我國股市波動復雜時變特征的SV模型.

1 SV模型

一個能夠同時將跳躍和厚尾分布擴展項包含于其中的SV模型一般表達式為：

式中：時刻t＝1，2，…，T.yt是響應變量，這里表示股市收益；ht是yt不能直接被觀察到的對數(shù)波動（即波動的對數(shù)），遵循一個AR（1）過程，導致yt中高階矩依賴性；exp（μ／2）是模式瞬時波動；φ度量了波動的持續(xù)性；ση是對數(shù)波動的波動，這里設定｜φ｜＜1和ση＞0以確保yt是平穩(wěn)的、各態(tài)歷經(jīng)的和參數(shù)是唯一可識別的；εt是服從某種厚尾分布的隨機誤差變量；ηt是標準正態(tài)白噪音，且假設其與εt相互不相關.ktqt表示跳躍項，其中qt表示一個隨機的跳躍因子并服從以概率κ（未知的）取值1且以概率1－κ取值0的貝魯里分布，即

另外，kt表示當一個跳躍發(fā)生時這個跳躍的幅度，并且根據(jù)國外已有的一些的研究［3，4，9］，假設其服從如下一個先驗分布：

這里的跳躍參數(shù)κ和δ都是未知的，需通過樣本數(shù)據(jù)估計獲得.

通過進行具體設置，式（1）將成為不同SV模型的數(shù)學表達式.為了便于比較，本文將采用如下4個模型對中國股市波動進行實證研究：

1）SV0模型：即基礎SV模型，其中假設εt服從均值為0且方差為1的正態(tài)分布，且不含跳躍項.

2）SVt模型：即學生t分布SV模型，其中假設εt服從均值為0且方差為v／（v－2）的學生t分布（其中v＞2是自由度），并且不含跳躍項.

3）SVJ模型：即跳躍SV模型，其中假設εt服從均值為0且方差為1的正態(tài)分布，并且含跳躍項.

4）SVJt模型：即帶跳躍的學生t分布SV模型，其中假設εt服從均值為0且方差為v／（v－2）的學生t分布（其中v＞2是自由度），并且含跳躍項.

2 貝葉斯推斷與MCMC方法

SV模型的似然函數(shù)是非解析形式的，導致模型的參數(shù)估計很困難.這里采用貝葉斯馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）模擬法，其被認為是SV模型最好的估計工具之一.

對于SVJt模型，令θ≡ （μ，φ，ση）表示參數(shù)向量，y，h分別表示歷史觀察值向量和對數(shù)波動向量.在MCMC方法中，要想通過貝葉斯推斷獲得SV模型的參數(shù)，需要將SV模型看作是包含y的條件分布、h的條件分布和θ的先驗分布的一種等級（hierarchical）結(jié)構(gòu).

根據(jù)貝葉斯定理，h和θ的聯(lián)合后驗分布與前三者存在如下關系：

式中：St（·｜·），N（·｜·）和Ber（·｜·）分別表示學生t分布、正態(tài)分布和貝魯里分布的概率密度函數(shù).

那么，貝葉斯推斷的目標就是從式（4）這個被擴展的后驗分布來了解參數(shù)θ.這需要建立一個MCMC程序從這個分布中產(chǎn)生一個樣本 ｛θ（g），h（g）｝（其中g表示算法程序的實施序號，或稱第g次掃描），隨著g不斷增大使得Markov鏈收斂，然后選擇收斂后獲得的樣本值對參數(shù)進行推斷，其中的參數(shù)樣本值θ（g）自動地來自其邊際后驗分布π（·）.Chib等人給出具體算法程序［3］.然后，在獲得來自后驗分布π（·）樣本點后，通過Monte Carlo積分計算待估參數(shù)的期望——后驗均值，作為SV模型的參數(shù)估計值：

式中：M表示MCMC算法中的Markov鏈總共進行迭代的次數(shù)；R表示這個Markov鏈收斂前的最初的迭代次數(shù)，被稱為燃燒期.這種逼近能夠通過增大樣本容量（M－R）來獲得令人滿意的精確度.

3 實證研究

基于上交所在中國股票市場中的重要地位，本次實證分析以上證綜指收盤價的日收益（率）為研究對象，其中樣本時期為1993年1月1日—2010年12月31日.然而在這期間，政府于1996年12月16日實施的漲跌板限制，無疑對股市波動產(chǎn)生了重要影響，這一點可以從圖1中很清楚地看到，即以虛線所表示的1996年12月16日為界，上證綜指收益序列在這之前的波動明顯高于之后的波動.因此，為了避開這一點，本文以1996年12月16日為界將整個樣本時序分為2個部分，分別稱為序列1和序列2.股市收益計算方式為：

式中：rt表示第t日的收盤價.序列1和序列2中包含的樣本數(shù)據(jù)分別是996個和3 392個.

表1給出了這個樣本序列的概述性統(tǒng)計量，其中2個收益序列的均值幾乎為0，標準差證實了序列1具有更大波動.并且，峰度值都比較大，尤其是序列1，這表明2個樣本序列的無條件分布具有明顯的尖峰特征.另外，序列1的偏度值（≈1.38）為正且序列2的偏度值（≈－0.07）幾乎等于0，因此這里不考慮采用不對稱SV模型是比較合理的.用于正式檢驗序列是否服從正態(tài)分布的Jarque－Bera統(tǒng)計量（即JB統(tǒng)計量）的值都小于臨界值，這表明對于這2個樣本序列在5%統(tǒng)計顯著水平下拒絕原假設，即它們不服從正態(tài)分布.此外，對于序列1和2，用于檢驗序列相關的Ljung－Box檢驗Q統(tǒng)計量的值都小于臨界值，這表明在5%統(tǒng)計顯著水平接受不存在序列無關的原假設，因此2個序列都不存在序列自相關.選擇Q統(tǒng)計量滯后步長為10，因為對于某個日收益而言，考慮隨后2個星期內(nèi)每天收益對其的影響已足夠.最后，ADF統(tǒng)計量表明，在5%統(tǒng)計顯著水平下拒絕存在單位根的原假設，即這兩個序列是平穩(wěn)的.

圖1 上證綜指日收益序列圖Fig.1 Time series diagram of daily returns for Shanghai composite index

表1 上證綜指日收益的概述性統(tǒng)計量Tab.1 Descriptive statistics of daily returns for Shanghai composite index %

為了使Markov鏈盡快收斂，這里采用大多數(shù)相關研究給出的相應參數(shù)最初先驗分布設定：

式中：N，Beta，Gamma分別表示正態(tài)分布、貝塔分布和伽瑪分布.將參數(shù)初始值選擇為：μ＝0，φ＝0.98，σ2η＝0.025，v＝15，κ＝0.005和δ＝0.04.此外，通過觀察每個參數(shù)取樣點邊際平均值的時序圖觀察Markov鏈收斂情況，具體地確定每個模型相應參數(shù)的M和R值，以確保每個參數(shù)對應的Markov鏈收斂且受初始值影響盡可能小.

從表2給出的兩個序列估計結(jié)果的相同點和不同點來分析4個不同SV模型的參數(shù)估計結(jié)果，可得出其相同點和不同點.

1）相同點：

①SV0比SVt模型和SVJt模型有更大的μ估計值和ση估計值，以及更小的φ估計值.這表明相對于后面2個擴展模型，SV0模型被預期有更高的模式瞬時波動水平和波動方差以及更低的波動持續(xù)性.因為極端實現(xiàn)值在SV0模型中被歸因于波動水平的急劇變化，而在其他3個擴展模型中則大部分歸因于具有厚尾分布的εt或（和）跳躍.此外，4個模型的參數(shù)φ估計值都明顯小于國外相關研究中該參數(shù)估計值，但與相關國內(nèi)研究結(jié)果一致.

表2 4個隨機波動模型的參數(shù)估計結(jié)果Tab.2 Parameter estimates of four SV models

②SVJ模型比SVt模型有更小的φ估計值、更大的ση估計值和相差不多的μ估計值.這顯示厚尾分布能夠?qū)σ恍┳兓认鄬^小且數(shù)量更多的極端實現(xiàn)值進行描述.SVJt模型的參數(shù)估計值對此給出了進一步驗證，同時包含厚尾分布和跳躍項后，該模型比前2個模型有更小的μ估計值和ση估計值，以及更大的φ估計值.這進一步證明了研究者們的一個觀點：收益中一些大幅擺動的特征需要用跳躍來抓住，因為它們變化幅度對于一個t分布來說太大而不能抓住.此外，相對于SVt模型，SVJt模型具有更大的自由度參數(shù)v估計值，即相應的學生t分布的尾部更細，這也表明該模型包含的跳躍項分擔了其中變化幅度更大的極端實現(xiàn)值的描述.

③由兩個序列的跳躍概率參數(shù)κ和跳躍幅度標準差δ的估計值可知，SVJt模型和SVJ模型都具有非常小的跳躍概率和跳躍幅度，且前者相對后者有更小估計值，這是因為許多收益值在SVJ模型中被看作跳躍而在SVJt模型中則被看作t分布的尾部值，從而降低了后一個模型的跳躍頻率和跳躍幅度.就這2個參數(shù)估計值的離散程度而言，雖然這2個模型中這些跳躍參數(shù)估計不如模型中其他參數(shù)那樣精確，但不像Chib等人的研究結(jié)果有那樣大的離散程度［3］，這表明中國股市收益波動的極端實現(xiàn)值較多.

2）不同點：

①Berg研究中使用DIC統(tǒng)計量對SV模型進行比較且獲得穩(wěn)定的表現(xiàn)［11］.對于序列1，4個SV模型按DIC排序，其中SVJt模型最優(yōu)，依次是SVJ模型、SVt模型和SV0模型.顯然，對于波動劇烈的序列1來說，包含跳躍項和厚尾分布項能夠增強模型對序列中極端實現(xiàn)值的描述.相對于SV0模型，SVt模型的DIC值略小，但包含跳躍項的SVJ模型和SVJt模型的DIC值則下降顯著.

②根據(jù)DIC值，序列2的模型優(yōu)劣排序是SV0模型、SVt模型、SVJ模型和SVJt模型.這表明，對于波動較為平緩的序列2而言，包含跳躍項和厚尾分布的模型對收益序列中的極端實現(xiàn)值的描述都不如基礎SV模型精確，因為相對于SV0模型，擴展模型的DIC值都增大了，尤以包含跳躍項的2個模型DIC值上升顯著.

③對于2個包含厚尾分布的擴展模型，序列1比序列2相應有更大的自由度參數(shù)v估計值，這很可能是由于前者比后者波動幅度更大造成的.對于序列1，SVJt模型顯著降低了SVt模型的自由度參數(shù)v估計值，這不同于序列2的這2個模型具有變化不大自由度v參數(shù)估計值.因為對于波動更劇烈的序列1，厚尾分布設定對極端實現(xiàn)值的解釋能力不強，而跳躍項卻能夠很好地對其進行描述，這可以從相應模型的DIC值得到印證.但是，對于波動較平緩的序列2，厚尾分布設定不僅不能很好地解釋序列中的極端實證值，而且跳躍項的添加反而降低了SV模型對收益波動特征描述的能力.

4 結(jié) 論

本文研究SV模型的厚尾分布設定和跳躍項設定對于金融資產(chǎn)收益的尖峰（厚尾）實證特征的描述能力.通過將4個SV模型應用于實施漲跌板限制政策前后2組上證綜指日收益數(shù)據(jù)的實證對比分析發(fā)現(xiàn)，與國外發(fā)達國家股市相比，我國股市波動持續(xù)性較低，并且跳躍參數(shù)估計比較精確，這不僅表明我國股市存在更多的極端實現(xiàn)值，而且也間接證明我國股市是受政府政策影響較多的“政策市”.對于漲跌板政策實施前的序列（序列1）而言，跳躍項和厚尾分布設定有助于SV模型更充分地對數(shù)據(jù)進行擬合，尤其是跳躍項.但是，對于該政策實施后的序列（序列2），跳躍項和厚尾分布設定不能改進SV模型對數(shù)據(jù)的描述能力，尤其是前者.這意味著跳躍項設定對于準確描述波動劇烈的序列是必要的，但對波動平緩的序列是不必要的.

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