耿 濟(jì)

(海南大學(xué)，海南?？?70228)

本文是數(shù)學(xué)娛樂(lè)［1～10］的續(xù)作，應(yīng)用線性代數(shù)方法探討幻方.

1 洛書(shū)與線性方程組

中國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中的洛書(shū)是世界上最古老的幻方，現(xiàn)在用矩陣表示

其中，1，3，5，7，9原來(lái)用小白點(diǎn)的數(shù)目表示，把奇數(shù)代表陽(yáng);2，4，6，8 原來(lái)用小黑點(diǎn)的數(shù)目表示，把偶數(shù)代表陰，這與陰陽(yáng)學(xué)說(shuō)有關(guān).考古學(xué)上發(fā)現(xiàn)的“奇字”是6位數(shù)字，正是《易經(jīng)》卦象的起源［8］.由此可見(jiàn)，洛書(shū)在《易經(jīng)》中具有特殊和重要的地位.

洛書(shū)在數(shù)學(xué)上具有2個(gè)基本性質(zhì).

加法性質(zhì) 每行、每列、左右對(duì)角線上3個(gè)數(shù)字和等于15.

乘法性質(zhì) 每行3個(gè)數(shù)字相乘，3個(gè)乘積相加等于每列3個(gè)數(shù)字相乘，3個(gè)乘積相加［3］.

洛書(shū)與線性方程組有下述關(guān)系.

設(shè) x1，x2，x3，…，x9是 1，2，3，…，9 的某種排列，下列矩陣為

要求A中每行、每列、左右對(duì)角線上相加等于15，試求x1，x2，x3，…，x9正整數(shù)解.

這一問(wèn)題含有9個(gè)未知量，從要求中知道有8個(gè)方程，實(shí)際上還有9個(gè)未知量相加等于45，總共有9個(gè)方程，這是一個(gè)9個(gè)未知量、9個(gè)方程的線性方程組求解的問(wèn)題.

線性代數(shù)在理論上提出判別線性方程組有沒(méi)有解的方法，應(yīng)用上提出使用計(jì)算機(jī)求解的方法，因此，近代科技上應(yīng)用廣泛.

已知線性方程組

求解時(shí)，首先寫出線性方程組未知量的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)的矩陣B，稱B為增廣矩陣;其次對(duì)B施行初等行變換，即下述3種變換:

1)B 中對(duì)調(diào) i，j兩行，記作 ri?rj;

2)以數(shù)k≠0乘B中i行，記作kri;

3)把B中j行的k倍加到i行上，記作ri+krj.

最后經(jīng)過(guò)一系列的矩陣初等行變換，把B變成標(biāo)準(zhǔn)形式

由此得出等價(jià)的線性方程組，即得通解的結(jié)果.

從已知線性方程組得到

經(jīng)過(guò)一系列的矩陣初等行變換得到標(biāo)準(zhǔn)形式

由此得出等價(jià)的線性方程組

現(xiàn)在采用參數(shù)u=x8，v=x9，立即得到原方程組的通解

這里參數(shù) u，v，既具有任意性，可以多種選取;又具有約束性，因?yàn)?u=x8，v=x9，x1，x2，…，x8，x9是 1，2，3，…，8，9 的某種排列，參數(shù) u，v 的全部解為(1，6)，(1，8)，(3，4)，(3，8)，(7，2)，(7，6)，(9，2)，(9，4).此時(shí)原線性方程組共有8組解，也就是說(shuō)3階幻方有8個(gè)，洛書(shū)是其中的1個(gè)，通過(guò)2種不同的旋轉(zhuǎn)正好產(chǎn)生8個(gè)不同的幻方.

附注 式(21)是x5=5，與參數(shù)無(wú)關(guān)，從式(2)、(5)、(7)、(8)相加，減去式(9)除3得出式(21).標(biāo)準(zhǔn)形式中有2行全為零，因?yàn)槭?1)，(2)，(3)相加就是式(9)，又式(4)，(5)，(6)相加也是式(9)，說(shuō)明式(1)～(9)的9個(gè)方程中有2個(gè)是“多余”的方程，即可以刪去.此外式(14)即式(21)，x5=5，代入式(5)和(7)分別得出式(11)和(10)即式(18)和(17)，還有式(3)就是式(16)，也是式(23).由此可見(jiàn)，線性方程組在計(jì)算上還可以得到很大的簡(jiǎn)化.

2 Nasik幻方與行列式

Nasik幻方是4階幻方中最有趣的一類幻方，它比通常的4階幻方要求條件更高.具體地說(shuō)，如果下述4階幻方是一個(gè)Nasik幻方，由自然1～16為元素構(gòu)成的矩陣

每行4個(gè)元素和等于34，即a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4=c1+c2+c3+c4=d1+d2+d3+d4=34，每列4個(gè)元素和等于34，即a1+b1+c1+d1=a2+b2+c2+d2=a3+b3+c3+d3=a4+b4+c4+d4=34，還有左、右對(duì)角線上4個(gè)元素和等于34，即a1+b2+c3+d4=a4+b3+c2+d1=34，除以上一般4階幻方具有的條件外，還有左、右泛(折)對(duì)角線上4個(gè)元素和等于34，即a2+b3+c4+d1=a3+b4+c1+d2=a4+b1+c2+d3=34以及a1+b4+c3+d2=a2+b1+c4+d3=a3+b2+c1+d4=34.由此可見(jiàn)，一般4階幻方要求10個(gè)等式成立，而Nasik幻方要求16個(gè)等式成立，這就是Nasik幻方的定義.

2009年筆者［4］以線性方程組為工具獲得等價(jià)Nasik幻方的新定義，即要求每行、每列4個(gè)元素和等于34，還有 a1+c3=a2+c4=a3+c1=a4+c2=b1+d3=b2+d4=b3+d1=b4+d2=17.

Nasik幻方與行列式有下述關(guān)系.

定理 Nasik幻方共有384個(gè)，任意一個(gè)對(duì)應(yīng)的行列式都等于零.

證明 已知Nasik幻方共有384個(gè)［4］，現(xiàn)在任取一個(gè)Nasik幻方對(duì)應(yīng)的行列式

從等價(jià)Nasik幻方的新定義中知道

分別代入第3行、第4行，得到

第3行減1行，第4行減第2行，就有

已知 a1+a2+a3+a4=34，即 a2+a4=34－(a1+a3)，b1+b2+b3+b4=34，即b2+b4=34－(b1+b3)，代入第3行、第4行，又有

從第3行提取公因式17－(a1+a3)，第4行提取公因式17－(b11+b3)，又有

最后由于行列式中第3行、第4行對(duì)應(yīng)的元素相等，所以行列式D=0.

如果舉例驗(yàn)證，不妨從歷史上著名的3個(gè)Nasik幻方［4］中挑選一個(gè)

自行加以計(jì)算(或者按照文獻(xiàn)［4］另作1個(gè)Nasik幻方).

3 矩陣乘法新概念及其在幻方上的應(yīng)用

為了探討2個(gè)任意階幻方相乘得出新幻方的問(wèn)題，導(dǎo)出矩陣乘法新概念.

定義 設(shè)n階矩陣

與m階矩陣

的新乘法用分塊矩陣表示為nm階矩陣

以及

其中In，Im分別表示為n階、m階的矩陣，它們所有的元素全部等于1.

例 已知

試求A×B，B×A的乘積.

解

由此可見(jiàn)，A×B≠B×A，即A，B的乘積不滿足交換律，對(duì)于結(jié)合律A×(B×C)=(A×B)×C是成立的(嚴(yán)格的證明從略).

上例實(shí)質(zhì)上是幻方A與幻方B相乘，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證A×B與B×A都是幻方，因?yàn)槊啃?、每列以及左、右?duì)角線上12個(gè)數(shù)字和等于870(它們的元素分別是由1～144構(gòu)成的).

一般而言，獲得下述結(jié)果.

性質(zhì) n階幻方A與m階幻方B相乘得到nm階幻方A×B與B×A.

證明 假設(shè)n階幻方A的第1行的元素為a11，a12，…，a1n，m階幻方B的第1行的元素為b11，b12，…，b1m時(shí)，現(xiàn)在計(jì)算A×B中第1行各元素相加，按照A×B的法則得到m(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bm－m)n2·n，已知 a1+a2+… +an=［(n2+1)n］/2，b1+b2+…bm=［(m2+1)m］/2，代入即得

所以A×B的第1行nm個(gè)元素和符合幻方第1行的要求.其余的第2，…，n;n+1，n+2，…，2n;…;n(m－1)+1，n(m －1)+2，…，nm 各行，證法相同.

至于A×B的各列nm個(gè)元素和應(yīng)用上法得到［(n2m2+1)nm］/2，左、右對(duì)角線上的nm個(gè)元素和也能得到［(n2m2+1)nm］/2，所以A×B是nm階的幻方.

類似地，證得B×A也是nm階幻方.

上述性質(zhì)的重要性就是通過(guò)矩陣乘法新概念解決了幻方相乘等于幻方的新結(jié)果.由此又導(dǎo)出一些新概念:例如幻方A的自乘，即A的平方，記為A2，就有幻方

例 試求幻方

的幻方A2.

解 從已知的3階幻方A得到9階幻方

幻方A不僅有A2，還有A3以及An的新幻方，通過(guò)幻方乘法出現(xiàn)高階幻方.

回顧文獻(xiàn)［11］王永健指出的:“現(xiàn)在，已排出的最大幻方，是n=105，即包含1052(個(gè))數(shù)的方陣，它的幻和N105=578，865，是由美國(guó)紐約市普莫勒市的一個(gè)13歲少年孫達(dá)完成的”.時(shí)至今日，這一“世界之最”恐怕早已被打破.本文應(yīng)用3階幻方與4階幻方相乘得出12階幻方，12階幻方自乘就是144階幻方;如果把144階幻方再與12階幻方相乘出現(xiàn)一個(gè)1 728階幻方，估計(jì)它就是現(xiàn)在的“世界之最”.筆者認(rèn)為追求幻方的最大階數(shù)意義不大，應(yīng)該與其他的學(xué)科相結(jié)合，為幻方的發(fā)展提供新的方向.本文將幻方與線性代數(shù)相結(jié)合，也為線性代數(shù)的發(fā)展提供新的內(nèi)容.

［1］職濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(一)——夫妻問(wèn)題的新證與應(yīng)用［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，25(4):321－324.

［2］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(二)——牙牌問(wèn)題的新證與推廣［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，26(3):206－219.

［3］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(三)——洛書(shū)定理與應(yīng)用［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，26(4):303 －308.

［4］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(四)——Nasik幻方的性質(zhì)與構(gòu)造法［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，27(2):107－115.

［5］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(五)——推廣Fibonacci數(shù)列與冪級(jí)和［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，27(4):313－319.

［6］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(六)——移棋相間［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，28(1):1 －10，14.

［7］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(七)——一個(gè)麻將和牌問(wèn)題［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，28(2):93－98.

［8］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(八)——易經(jīng)卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，29(2):99－103.

［9］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(九)——學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的收獲［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，29(4):297 －304.

［10］耿濟(jì).數(shù)學(xué)娛樂(lè)(十)——學(xué)習(xí)《九章算術(shù)》的收獲［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，30(2):95 －102.

［11］王永健.世界之最·數(shù)學(xué)分冊(cè)［M］.南京:江蘇人民出版社，1981.