林 翔

(福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校，福建福州350012)

諸如機(jī)械加工的零部件，都必然存在實(shí)際與理想之間的誤差，只有通過檢測(cè)計(jì)算分析，才能評(píng)定其誤差大小以確定加工成敗.此類的形狀誤差計(jì)算，諸如圓度誤差、直線度誤差、平面度誤差等等，一般都涉及到求取離散min-max問題.目前離散min-max問題的計(jì)算技術(shù)和應(yīng)用軟件，多掌握在歐美及日本等國(guó)外幾家著名的精密檢測(cè)儀器研發(fā)機(jī)構(gòu)手中，秘而不宣;但從其實(shí)際檢測(cè)的評(píng)定結(jié)果分析來看，其計(jì)算精度亦有局限，平面度方面尤為明顯.故筆者從原始概念和定義出發(fā)，尋求解決此類min-max問題的新算法，研發(fā)高精實(shí)用軟件，提升評(píng)定精度.

1 平面度誤差

平面度誤差是形狀誤差的主要內(nèi)容之一，按《GB/T 1958 －2004》［1］及《JJG 117 －2005》［2］的表述，是指被測(cè)物體表面相對(duì)于理想平面的變動(dòng)量.按文獻(xiàn)［1－2］要求，平面度誤差的計(jì)算結(jié)果，應(yīng)該滿足最小區(qū)域準(zhǔn)則，即以理想平面作為基準(zhǔn)，使被測(cè)物體表面對(duì)于基準(zhǔn)平面的最大變動(dòng)量達(dá)到最小.

圍繞平面度誤差的判定準(zhǔn)則，專家們研究出了很多評(píng)定平面度誤差的算法，諸如最小二乘法［3］、最小包容區(qū)域法［4］、有序判別法［5］、生物遺傳算法［6］等.這些算法的運(yùn)用，都使平面度誤差計(jì)算收到不錯(cuò)的計(jì)算結(jié)果，但由于這些近似算法的先天缺陷，故而計(jì)算精度普遍偏低.文獻(xiàn)［1］規(guī)定，最小包容區(qū)域法是最符合最小區(qū)域判定準(zhǔn)則的，在解決同一個(gè)平面度誤差計(jì)算問題得出不同計(jì)算結(jié)果時(shí)，它是終極評(píng)定方法，并以它的結(jié)果作為最終仲裁.

歸納這一準(zhǔn)則，其要點(diǎn)就是求取2個(gè)平行的平面，把被測(cè)表面夾在其間，且2個(gè)平面之距達(dá)到最小.可以這樣認(rèn)為，對(duì)于同樣一個(gè)被測(cè)平面，求得的2個(gè)包容平面之間距越小，就越接近真值，其算法就是好算法.筆者緊緊圍繞平面度誤差概念，在目前已經(jīng)被廣泛使用的平面度誤差算法的基礎(chǔ)上尋求算法，使計(jì)算繼續(xù)進(jìn)行下去，引導(dǎo)計(jì)算結(jié)果逐步向最小條件靠攏，從而更精確地評(píng)定平面度誤差值.

2 探尋新算法

一般情況下，物體的表面形狀，是由在表面上測(cè)量得到的若干點(diǎn)Pk(xk，yk，zk)(k=1，…，n)來描述的.從最小包容區(qū)域法規(guī)定可知，平面度誤差計(jì)算的關(guān)鍵在于求一對(duì)平行的平面，它們包容所有測(cè)量點(diǎn)Pk(k=1，…，n)，并使平面間距離達(dá)到最小.這是一個(gè)典型的離散min-max問題.

找到這2個(gè)平行平面并不難，可以有很多辦法，比如最常見的最小二乘法.不論以何種方法求得基準(zhǔn)平面，不妨記其方程為π:ax+by+cz+d=0(如圖1所示)，從而求得最小二乘意義下的平面度誤差值，如設(shè)δ.此誤差計(jì)算結(jié)果是國(guó)標(biāo)［1］認(rèn)可的，在精度要求不高的情況下已具有實(shí)用意義.

圖1 基準(zhǔn)平面與被測(cè)平面示意圖

在此基礎(chǔ)上，如何對(duì)π進(jìn)行細(xì)微的轉(zhuǎn)動(dòng)，把δ的值降下來，使之向min逼近，是解決min-max問題的焦點(diǎn).筆者經(jīng)過觀察分析發(fā)現(xiàn)，通過有意識(shí)地?cái)_動(dòng)平面π的法方向，使δ值下降成為可能.

設(shè)平面π:ax+by+z+d=0(為了討論方便，此處令c=1.00)是通過最小二乘法擬合得到的初始基準(zhǔn)平面，樣本點(diǎn)Pk(k=1，…，n)到π的距離為δk(代數(shù)值)，其中最大值為δi，最小值為δj，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Pi，Pj，記δi=max(δk)，δj=min(δk)(k=1，…，n)，δj一般情況下為負(fù)值;記 δ=| δi- δj|=max(δk)-min(δk)=max(δk)+max(- δk)(k=1，…，n).

Pi在π的投影點(diǎn)為Ai，Pj在π的投影點(diǎn)為Aj，沿著AiPi方向距Ai點(diǎn)ε處(ε是一很小的值)，記作Ai'點(diǎn);同樣沿AjPj方向距Aj點(diǎn)ε處，取Aj'點(diǎn).設(shè)Ai'，Aj'的中點(diǎn)為Q，在平面π上求得點(diǎn)Q'，使直線Q'Q⊥Ai'Aj'.通過這新獲得的Ai'，Aj'，Q'3個(gè)點(diǎn)，做一個(gè)新的平面π'.顯然，π與π'的夾角很小，可以把π'看作是將平面π繞直線Q'Q作微小轉(zhuǎn)動(dòng)以后獲得的，從平面方程來看就是π的法向量T(a，b，1)發(fā)生微小改變.

設(shè)由 Pi，Pj，Ai'，Aj'各點(diǎn)構(gòu)成的平面為 π1，平面 π 經(jīng)平面π1剖切，其剖面圖如圖2所示.易見，Pi到平面π'的距離δi'小于 δi，即小于 max(δk)，Pj到平面 π'的距離 δj'同樣下降了，亦即小于max(-δk)，這正是筆者所期盼的:由于將π微小轉(zhuǎn)動(dòng)生成π'，可能把當(dāng)前的δ=max(δk)+max(-δk)降下來.

能否令δ值下降，須計(jì)算Pk(k=1，…，n)對(duì)π'的新平面度誤差值δ'并與δ作比較，分如下3種情況分別判斷:

1)若δ'＜δ成立，π'取代π，重復(fù)上述對(duì)π微小擾動(dòng)、計(jì)算、判斷過程;

2)若δ'＜δ不成立，縮小ε值并重新求平面π'，重新計(jì)算δ'并判斷其是否下降;

3)若ε已縮小為非常小的值，達(dá)到計(jì)算精度要求，則計(jì)算終止，此時(shí)之δ即最終的平面度誤差值.

圖2 點(diǎn)集Pk與平面π，π′關(guān)系圖

3 算法的收斂性

對(duì)于平面π，π'，設(shè)Pi在π的投影為Ai，在π'的投影為Bi，如圖2所示.觀察△PiAiBi，易見∠PiBiAi為鈍角，因鈍角的對(duì)角邊PiAi長(zhǎng)度必小于任一鄰邊，故PiBi＜PiAi成立;同理，對(duì)于Pj亦存在1個(gè)鈍角三角形，Pj至π'的距離比Pj到π的距離小，亦即PjBj＜PjAj成立.

綜上，顯然有PiBi+PjBj＜PiAi+PjAj成立，即δ'＜δ，這正是所期待的.平面π經(jīng)微小擾轉(zhuǎn)后，Pk(k=1，…，n)對(duì)于新平面π'的δ'值，較之δ一般情況下是單調(diào)下降的，這表明平面度誤差的計(jì)算過程是收斂的，趨于min-max.

算法過程的終止條件為:當(dāng)ε隨著計(jì)算過程不斷縮小，小到計(jì)算要求的精度，經(jīng)過擾動(dòng)得到的π'，其δ'=|δi'-δj'|不能再有所下降，即停止計(jì)算過程，輸出δ.

按上述算法演算至此，平面π即使只作微小擾動(dòng)，對(duì)應(yīng)的δ不但不減小，反而增大，由此說明，經(jīng)過一步步單調(diào)下降的計(jì)算之后，得到的δ極其接近平面度誤差真值了，離散min-max問題也得到了解決，所獲得的計(jì)算結(jié)果符合平面度評(píng)定中最小條件準(zhǔn)則.

4 算法實(shí)施

從原則上講，本算法中初始平面π可以是任意給出的，其收斂過程對(duì)其并無任何依賴.但若是初始平面選擇適宜，計(jì)算過程會(huì)收斂得更快.本算法以最小二乘平面作為初始平面.

最小二乘平面的目標(biāo)方程為

要使D達(dá)到最小，只需令

聯(lián)解3個(gè)等式，即可求得初始π的法向量T(a，b，1)及d，平面π的方程也就確定了;再求出Pk(k=1，…，n)相對(duì)于平面π的δ=|δi-δj|，δ即最小二乘意義下的初始平面度誤差值.

4.2 以初始平面π為基礎(chǔ)實(shí)施本算法 求得Pk(k=1，…，n)相對(duì)于π的正最遠(yuǎn)點(diǎn)Pi、負(fù)最遠(yuǎn)點(diǎn)Pj，它們?cè)?π 的投影點(diǎn)分別為Ai，Aj，相應(yīng)的距離為 δi，δj.沿AiPi方向距Ai點(diǎn) ε 處取點(diǎn)Ai'，沿AjPj方向距Aj點(diǎn) ε 處取點(diǎn)Aj'，記Ai'Aj'的中點(diǎn)Q，Q在π的投影為Q'，則Q'Q⊥Ai'Aj'.由Ai'，Aj'，Q'3點(diǎn)做平面π'.獲取π'之此過程，稱為擾動(dòng).

對(duì)于 π'，參照上述求 δ的過程，求出Pk(k=1，…，n)相對(duì)于 π'的2 個(gè)正負(fù)極值，設(shè)為 δl'，δm'，令 δ'=| δl'- δm'|.對(duì)于 δ'，δ作如下比較與判斷:

1)若δ'＜δ成立，π'取代π，在π基礎(chǔ)上求取平面π'，并進(jìn)行同樣的計(jì)算和比較;

2)若δ'＜δ不成立，分2種情況分析處理:

①將ε減小，取ε=ε/2重新求出平面π'，求出相應(yīng)的δ'，返回1);

②如果ε隨計(jì)算過程已縮小為極小值，滿足精度要求，即停止計(jì)算，δ即為最終的平面度誤值.

4.3 特殊情況處理 算法過程中，若Pk(k=1，…，n)至平面π之正最遠(yuǎn)點(diǎn)與負(fù)最遠(yuǎn)點(diǎn)不是惟一的，即同屬于Pi之類的點(diǎn)有R個(gè)，Pj之類的點(diǎn)有S個(gè)(R，S≥1)，不妨將R個(gè)Pi與S個(gè)Pj進(jìn)行兩兩配對(duì)，那么就產(chǎn)生R*S個(gè)組合;對(duì)于任何一對(duì)Pi，Pj組合，均可進(jìn)行計(jì)算過程，求得相應(yīng)的平面π'和δ'值.如此求得R*S個(gè)δ'值，選出最小者δ'min，令δ'=δ'min，進(jìn)行1)，2)之比較判斷過程，直至滿足條件而終止計(jì)算，輸出δ.

4.4 程序流程圖 如圖3所示.

被測(cè)物體表面的樣本點(diǎn)是三維空間的點(diǎn)，且點(diǎn)數(shù)較多，因此其算法過程不僅復(fù)雜，且計(jì)算量大，同時(shí)考慮到程序運(yùn)行完成后要提供具有圖示化后處理的功能.因此選擇面向?qū)ο蠹乳L(zhǎng)于計(jì)算又具有繪圖功能的C++作為編程語(yǔ)言.

5 算例及分析

上文從理論上證明本算法收斂于最小區(qū)域，得到min-max，滿足最小條件，以下通過具體算例加以驗(yàn)證.

圖3 程序流程圖

文獻(xiàn)［7］表3所給的一個(gè)算例，平面上5*5=25個(gè)測(cè)量點(diǎn)，原文以POWELL法計(jì)算得到的平面度誤差值為8.5 μm;以本文算法程序計(jì)算得到的平面度值為8.499 995 3 μm(基準(zhǔn)平面法矢:a=-0.000 233，b=0.000 017，c=1.00).

從以上2個(gè)算例的計(jì)算結(jié)果可見，本文算法與原文的算法精度基本一致.

文獻(xiàn)［8］給出的算例，平面上測(cè)量點(diǎn)有10*10=100個(gè)，原文得出的平面度為7.896 321 μm;本文算法計(jì)算得出的平面度為5.513 157 8 μm(基準(zhǔn)法矢:a=0.000 014，b=0.000 010，c=1.00).

文獻(xiàn)［9-10］給出的同一算例，平面上有5*5=25個(gè)樣本點(diǎn)，其計(jì)算出的平面度誤差為0.155 2 mm［2］和0.156 6 mm［10］;用本文算法程序進(jìn)行計(jì)算，得出的平面度誤差為0.154 869 6 mm(基準(zhǔn)法矢:a=-0.026 200，b=-0.054 200，c=1.00).

同樣對(duì)文獻(xiàn)［4-6］所提供的算例進(jìn)行驗(yàn)算，原文給出的平面度誤差值分別為30.25 μm，6.55 μm和8.755 6μm;本文算法程序計(jì)算的結(jié)果分別為 30.246 612 μm，6.549 999 71 μm 和 6.55 μm.

比較計(jì)算結(jié)果，本文算法程序計(jì)算得出的平面度誤差值均小于原文作者所給出的，可見，本文算法在計(jì)算精度上有一定的優(yōu)勢(shì).

6 小結(jié)

平面度誤差值的高精度求取，是典型的離散min-max問題.從計(jì)算模型的整定和所尋求的算法原理看，本文算法是圍繞平面度誤差評(píng)定中最小區(qū)域展開的.在算法過程中，測(cè)量點(diǎn)集Pk(k=1，…，n)對(duì)于平面π距離最遠(yuǎn)發(fā)生在哪個(gè)點(diǎn)，π就往該點(diǎn)的方位作微小的擾動(dòng)，保證了計(jì)算過程不斷地向真值收斂，直至該平面π不能有絲毫擾動(dòng)為止.本文算法是以最小二乘平面為初始基準(zhǔn)平面的，所以算法的整個(gè)過程收斂速度很快，實(shí)例運(yùn)算中也說明了這一點(diǎn).為了計(jì)算的方便，盡量將被測(cè)平面置于三維坐標(biāo)系的XOY平面上，盡可能與Z軸垂直.本文算法初始基準(zhǔn)平面的選取方法，不局限于最小二乘平面法，與其他算法計(jì)算結(jié)果相比較，其精度都有一定程度的提高.

［1］中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局.GB/T 1958—2004產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測(cè)規(guī)定［S］.北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2004.

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