范國(guó)慶，楊喜平

(武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079)

偽逆矩陣的一種改進(jìn)解法及其在自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差中的應(yīng)用

范國(guó)慶，楊喜平

(武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079)

提出偽逆陣的一種改進(jìn)解法，該方法不但理論嚴(yán)密、計(jì)算簡(jiǎn)單，而且解偽逆陣的公式易于編程實(shí)現(xiàn)，可以同時(shí)用在自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差中，它還可以將這兩種平差結(jié)合起來對(duì)變形監(jiān)測(cè)網(wǎng)基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性檢驗(yàn)和分析，最后通過實(shí)際算例驗(yàn)證該方法的有效性。

偽逆陣;基準(zhǔn)點(diǎn);自由網(wǎng)平差;穩(wěn)定性分析;擬穩(wěn)平差

一、引 言

自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差的數(shù)學(xué)模型是相同的，差別在于采用不同的參考系。在平差過程中，如果沒有足夠的起始數(shù)據(jù)，就會(huì)引起誤差矩陣的系數(shù)陣列虧，這就是秩虧自由網(wǎng)平差。為了解決該問題，參考文獻(xiàn)［1］已闡述了較多的方法。在秩虧自由網(wǎng)平差中，需要對(duì)偽逆矩陣求逆，傳統(tǒng)的解法計(jì)算繁瑣、工作量大。本文根據(jù)偽逆矩陣對(duì)其解法進(jìn)行改進(jìn)，得到了一種解偽逆陣較簡(jiǎn)單的公式，此公式計(jì)算簡(jiǎn)單、易于在編程過程中實(shí)現(xiàn)，并且可以簡(jiǎn)單地將自由網(wǎng)平差、擬穩(wěn)平差和網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)聯(lián)合在一起，直接計(jì)算網(wǎng)點(diǎn)的位移量。

二、偽逆陣解法的改進(jìn)及其在秩虧自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差的應(yīng)用

1.秩虧自由網(wǎng)平差的基本原理

秩虧自由網(wǎng)平差的函數(shù)模型為［2-4］。

式中，A的列虧數(shù)d=t－r，隨機(jī)模型為

式(1)的誤差方程為

平差原理為

法方程為

式中，N=ATPA。

由于R(N)=R(A)=r，所以N奇異，為消除秩虧可以附加如下的約束條件

式中，R(G)=d。式(5)要滿足的條件有：①網(wǎng)的條件數(shù)量等于秩虧數(shù);②GT矩陣的行跟A矩陣的行需要獨(dú)立線性。

結(jié)合式(4)和式(5)得到［5］

式(6)的系數(shù)矩陣的逆矩陣可以用塊矩陣表示

式中，N－為N的一種偽逆陣形式。

因此，未知參數(shù)求解為

單位權(quán)方差估值仍為

2.解偽逆陣的一種改進(jìn)解法

由式(7)得出下面的等式

式中，I為單位陣，由式(11)可得

由式(12)有

(1)計(jì)算T矩陣

由式(14)可得

將式(15)的兩邊乘以Bt，d得

若B矩陣滿足性質(zhì)

則N－NB=0，求得T矩陣為

因自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差的參考系方程系數(shù)矩陣(或稱基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換矩陣)滿足式(17)，所以在平差過程中，選B矩陣為參考系方程系數(shù)矩陣。

(2)計(jì)算N－矩陣

由式(13)可知

式中，P0為d×d階的矩陣，不變。

由GTN－=0，則

所以

另外，由NT=0和GTT=I可知，G陣相當(dāng)于

最后得到

當(dāng)P0=I時(shí)

特殊的情況下，當(dāng)G=B時(shí)，N－矩陣就滿足廣義逆N+矩陣，即

則有

實(shí)際計(jì)算中，式(23)中的P0矩陣常選為對(duì)角矩陣

有

實(shí)踐證明［5］，當(dāng)m≥6時(shí)，式(29)即滿足精度要求。

三、偽逆陣改進(jìn)公式的應(yīng)用

1.在自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差中的應(yīng)用

在自由網(wǎng)平差中，為了簡(jiǎn)單運(yùn)用式(29)，對(duì)高程網(wǎng)來說，常選

對(duì)平面測(cè)角網(wǎng)來說，有

式中，i=1，2，…，n，為網(wǎng)點(diǎn)數(shù);(Xi，Yi)相應(yīng)為點(diǎn)的近似坐標(biāo)。若是平面測(cè)邊網(wǎng)或平面測(cè)邊角網(wǎng)，則式(31)的矩陣沒有4列。

對(duì)于擬穩(wěn)平差，G陣的形式跟自由網(wǎng)平差一致，差別在于，哪個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，G陣相應(yīng)的值就為零，若點(diǎn)i是動(dòng)點(diǎn)，則Gi=Bi=0。

2.聯(lián)合自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差對(duì)網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)

從理論上可知，自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差的差別在于參考系方程系數(shù)矩陣B的選擇問題。在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，如果采用自由網(wǎng)平差，除了第1期外，每周期都要進(jìn)行基準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)，現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論具有很多方法可以發(fā)現(xiàn)基準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)是否穩(wěn)定，如平均間隙法、穩(wěn)健迭代權(quán)法、單點(diǎn)位移分量法等，具體的理論可以參考文獻(xiàn)［1，6］。本文利用上述公式，聯(lián)合自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差對(duì)網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性檢驗(yàn)，網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)采用平均間隙法，此方法的思想是：首先對(duì)兩期觀測(cè)值進(jìn)行自由網(wǎng)平差(同近似坐標(biāo))，G矩陣的選擇如式(30)或式(31)，利用平均間隙法對(duì)網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗(yàn)之后，如果網(wǎng)中存在動(dòng)點(diǎn)，將網(wǎng)的動(dòng)點(diǎn)再選G矩陣，即

由于執(zhí)行基準(zhǔn)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)及式(32)不可能同時(shí)計(jì)算，那么最好的解法應(yīng)該是使用重復(fù)的方法計(jì)算，直到網(wǎng)中沒有動(dòng)點(diǎn)為止。該方法的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1)對(duì)第i－1期基準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行自由網(wǎng)平差，首先通過間接平差得到網(wǎng)中各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把得到的坐標(biāo)作為自由網(wǎng)平差的近似坐標(biāo)。

2)在第i期，假定所有網(wǎng)點(diǎn)都是穩(wěn)定點(diǎn)并選矩陣Gi=Bi進(jìn)行自由網(wǎng)平差;兩期的近似坐標(biāo)一致。

3)利用平均間隙法進(jìn)行基準(zhǔn)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)，首先對(duì)網(wǎng)進(jìn)行整體檢驗(yàn)，看網(wǎng)中是否存在動(dòng)點(diǎn)。若發(fā)現(xiàn)網(wǎng)中具有動(dòng)點(diǎn)，則用“嘗試法”［6］將不穩(wěn)定點(diǎn)找出來，找到動(dòng)點(diǎn)就按照式(32)改變G矩陣，然后用新的G矩陣進(jìn)行自由網(wǎng)平差，繼續(xù)對(duì)網(wǎng)點(diǎn)檢驗(yàn)，直到?jīng)]有動(dòng)點(diǎn)再進(jìn)行下一步。

4)對(duì)網(wǎng)中不穩(wěn)定的點(diǎn)運(yùn)用第3)步中的G矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行平差處理，獲得的最后結(jié)果與擬穩(wěn)平差的結(jié)果一致。

上述步驟的流程如圖1所示。

圖1 自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差聯(lián)合的流程圖

四、算例分析

以某大壩的變形監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)為例，網(wǎng)中具有8個(gè)點(diǎn)，如圖2所示，該網(wǎng)是加密網(wǎng)，其中1、3、5、7點(diǎn)是已知點(diǎn)。選擇第1期和第2期的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)分析，該網(wǎng)每期測(cè)25個(gè)角和12條邊長(zhǎng)，觀測(cè)數(shù)據(jù)記在表1和表2。利用VB6.0語言根據(jù)上述的步驟編制了一個(gè)結(jié)合自由網(wǎng)平差、擬穩(wěn)平差對(duì)網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)的軟件。

圖2 某大壩變形監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)

表1 兩期角度觀測(cè)值 (°'″)

表2 兩期邊長(zhǎng)觀測(cè)值 m

續(xù)表2 m

處理過程如下：

1)第1期的處理要憑4個(gè)已知點(diǎn)(1、3、5、7點(diǎn))進(jìn)行間接平差，其次把平差后的坐標(biāo)作為第1期自由網(wǎng)的近似坐標(biāo)(見表3)，然后對(duì)第1期觀測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行自由網(wǎng)平差。處理過程中，運(yùn)用本文的式(29)得到第1期的平差坐標(biāo)見表3。

表3 網(wǎng)點(diǎn)近似坐標(biāo)和第1期平差坐標(biāo) m

2)第2期自由網(wǎng)計(jì)算的近似坐標(biāo)和第1期一致，對(duì)于G矩陣，首先認(rèn)為所有網(wǎng)點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，則G矩陣對(duì)應(yīng)為

式中，i=1，2，…，8，為網(wǎng)點(diǎn)數(shù);(Xi，Yi)為相應(yīng)網(wǎng)點(diǎn)的近似坐標(biāo)。進(jìn)行自由網(wǎng)平差后得到網(wǎng)點(diǎn)平差坐標(biāo)。將第2期和第1期平差后的坐標(biāo)對(duì)比，獲得網(wǎng)點(diǎn)的位移量見表4。

表4 網(wǎng)點(diǎn)的第2期的自由網(wǎng)平差坐標(biāo)與網(wǎng)點(diǎn)的位移量

續(xù)表4

3)采用平均間隙法進(jìn)行網(wǎng)整體檢驗(yàn)是否有動(dòng)點(diǎn)，得到統(tǒng)計(jì)量F=2.28。取顯著水平α=0.05，則F0.05(24，24)=1.98，由于F＞F0.05(24，24)，因此認(rèn)為兩期觀測(cè)期間網(wǎng)中存在動(dòng)點(diǎn)。

用平均間隙法找不穩(wěn)定點(diǎn)要用到“嘗試法”，找到點(diǎn)7是動(dòng)點(diǎn)，所以令

重新計(jì)算，再執(zhí)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)5也是動(dòng)點(diǎn)，又令

繼續(xù)計(jì)算和檢驗(yàn)，獲得統(tǒng)計(jì)量F=0.74＜F0.05(24，20)=2.08，所以接受原假設(shè)，認(rèn)為余下的各點(diǎn)均為穩(wěn)定點(diǎn)，檢驗(yàn)過程到此為止。

4)將新的G矩陣代入進(jìn)行自由網(wǎng)平差，這時(shí)自由網(wǎng)平差就變成擬穩(wěn)平差，因此獲得的結(jié)果等于擬穩(wěn)平差的結(jié)果。兩期之間的新平差坐標(biāo)和新位移量見表5。

表5 網(wǎng)點(diǎn)的第2期的擬穩(wěn)平差坐標(biāo)與兩期位移量

用擬穩(wěn)平差原理進(jìn)行平差獲得的結(jié)果與上面的方法一致。

五、結(jié) 論

1)采用式(29)求解偽逆陣在自由網(wǎng)平差比較簡(jiǎn)單，只通過一個(gè)公式即能得到N+矩陣。

2)根據(jù)本文提出的流程不僅能使編程過程容易實(shí)現(xiàn)，而且還能把變形監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)處理中的自由網(wǎng)平差、基準(zhǔn)網(wǎng)穩(wěn)定性檢驗(yàn)和擬穩(wěn)平差聯(lián)合起來進(jìn)行處理，直接獲得網(wǎng)點(diǎn)位移量。

3)變形監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)在處理過程中必須進(jìn)行網(wǎng)點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)，因此這種方法用于變形監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)是比較有效的。

［1］ 陶本藻.自由網(wǎng)平差與變形分析［M］.北京：測(cè)繪出版社，2001.

［2］ 黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.

［3］ 侯建國(guó)，王騰軍.變形監(jiān)測(cè)理論與應(yīng)用［M］.北京：測(cè)繪出版社，2008.

［4］ 朱建軍，賀躍光，曾桌喬.變形監(jiān)測(cè)的理論與方法［M］.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)出版社，2004.

［5］ TRAN K.自由網(wǎng)平差在工程測(cè)量數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用研究［D］.河內(nèi)：越南河內(nèi)礦業(yè)地質(zhì)大學(xué)，1996.

［6］ 黃聲享.監(jiān)測(cè)網(wǎng)的穩(wěn)定性分析［J］.測(cè)繪信息與工程，2001(3)：16-18.

An Improved Pseudo-inverse Matrix of the Solution and Its Application for Free Network Adjustment and Quasi-stable Adjustment

FAN Guoqing，YANG Xiping

0494-0911(2012)09-0011-05

P207

B

2012-01-04

范國(guó)慶(1978—)男，越南人，博士生，主要研究方向?yàn)樽冃伪O(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理、分析與預(yù)報(bào)。