費成巍，白廣忱

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京 100191）

0 引言

渦輪機匣的徑向變形對葉尖間隙控制有重要影響，對機匣徑向變形進行合理有效地分析具有重要意義。國內外的許多研究機構用分析軟件對機匣徑向變形進行數(shù)值分析，取得了很多研究成果[1-3]。然而，這些成果都是采用確定性分析方法，忽略了徑向變形各方面影響因素的隨機性，具有很大的盲目性。因此，為了更客觀準確地描述機匣徑向變形的變化規(guī)律，改善運行間隙設計和控制的合理性，應考慮多個隨機因素和載荷的隨機性對機匣徑向變形的影響。這相應要求機匣徑向變形的確定性分析亟待轉變?yōu)楦怕史治觥?/p>

概率分析已在許多領域廣泛應用[4-6]，但目前還未應用于航空發(fā)動機可靠性分析。如果對機匣徑向變形進行概率分析，不但可以根據(jù)隨機參量的分布特征得到機匣徑向變形的概率分布，也可以根據(jù)機匣徑向變形設計要求確定隨機參量特征，有利于改善機匣設計優(yōu)化和葉尖間隙控制，同時也便于提高發(fā)動機的效率和性能。張春宜、白廣忱等[7]提出的柔性機構可靠性優(yōu)化的極值響應面法（ERSM），能在不降低計算精度的前提下大大提高計算效率，為機匣徑向變形的概率分析提供新的思路。

本文將ERSM應用到渦輪機匣徑向變形動態(tài)概率分析中，提出了動態(tài)概率分析的極值響應面法。

1 基本理論

1.1 傳統(tǒng)方法

傳統(tǒng)概率分析方法有Monte Carlo法（MC法或MCM）和響應面法（RSM）[8]，以及其改進方法[7,9-11]。MCM是通過隨機抽樣的手段，解決未知極限狀態(tài)方程情況下，進行可靠性分析的最簡單直接的方法。其計算精度很高，但計算時間很長，效率低。RSM是通過一系列確定試驗擬合1個響應面來模擬真實極限狀態(tài)曲面。若用響應面式（1）來描述系統(tǒng)輸出響應Y和隨機參數(shù)X=[X1,X2,…，Xr]關系，通過隨機抽樣得到隨機變量的N個樣本值，再對N個樣本值計算得到系統(tǒng)響應的1組樣本值（z1,z2,…zs），求解響應面函數(shù)未知系數(shù)，得到該系統(tǒng)函數(shù)，進而用該響應面代替有限元模型進行概率分析。

式中：a0、bi、cij（i=1,…，r；j=1,…,r）分別為常數(shù)項、1次項和2次項的待定系數(shù)。

RSM的計算效率雖比MCM有所提高，但對于非線性復雜結構的動態(tài)概率分析，計算量大大增加，且計算效率仍很低。

1.2 動態(tài)概率分析的極值響應面法

針對以上問題，本文提出動態(tài)概率分析的極值響應面法（ERSM），其基本原理是：首先，用MCM小批量抽取輸入?yún)?shù)隨機樣本，對每個抽樣樣本在分析時域[0,T]內求解有限元模型，得到系統(tǒng)在[0,T]內的動態(tài)輸出響應。再將全部抽樣輸入樣本對應的動態(tài)輸出響應在[0,T]內的極值作為新的輸出響應，構造[0,T]內反映輸入?yún)?shù)與極值輸出之間關系的函數(shù)。選取輸入隨機變量及對應的輸出極值響應數(shù)據(jù)代入響應面函數(shù)（如式（1）），確定其系數(shù)。其次，用該響應函數(shù)代替有限元模型計算系統(tǒng)的動態(tài)極值輸出響應，從而進行系統(tǒng)的概率分析。該方法在動態(tài)概率分析時，不計算系統(tǒng)每一時刻的輸出響應，只計算分析時域[0,T]內不同輸入隨機變量對應的輸出響應的極值，從而進行系統(tǒng)的概率分析。其模型如圖1所示?？梢钥闯?，ERSM是將原來非線性復雜動態(tài)系統(tǒng)概率分析的隨機過程問題轉化為隨機變量問題，由此極大地減少了計算時間，提高了計算效率，使得從前一些不可能實現(xiàn)的概率分析問題成為可能。

圖1 有限元極值響應面法動態(tài)概率分析流程

1.3 ERSM的數(shù)學模型

設某有限元模型第j組輸入樣本為X（j），在[0，T]時域內的輸出響應為，該響應在[0，T]時域內的最大值為如圖2所示。將不同輸入樣本在[0,T]內輸出響應的最大值構成的集合的全部數(shù)值點擬合的曲線作為新的輸出響應曲線Y，并稱為極值響應曲線，則 X（j）與Y的函數(shù)關系可以表示為

寫成響應面函數(shù)形式

式中：a0為常數(shù)；B為1次項系數(shù)向量；C為含有交叉項的2次項系數(shù)上（下）三角矩陣；X為輸入變量向量。

式（3）被稱為極值響應面函數(shù)。由該函數(shù)確定的輸入輸出關系曲線稱之為極值響應曲線。其中

式中：j=1,2….M；M為樣本點數(shù)；下標k為輸入變量數(shù)。

在求解極值響應面函數(shù)系數(shù)時，在極值輸出響應中選取足夠數(shù)量的試驗點，將試驗點的數(shù)據(jù)代入式（3）中，確定極值響應面函數(shù)的系數(shù) a0、B、C，得到極值響應面函數(shù)的表達式。然后用該極值響應面函數(shù)代替有限元模型進行相應的概率分析，這種方法就是ERSM，屬于全局響應面法。

1.4 概率分析方法

概率分析是用來評估模型的輸入?yún)?shù)或假設條件的不確定性對于結果的影響，進而確定結果的分布情況，這樣能避免過設計，可以對構件在工作情況下的安全可靠性給出定量的結果，以保證其安全性。在確定極值響應面函數(shù)后，若某系統(tǒng)要求最大輸出為δmax，則可根據(jù)式（3）得到極限狀態(tài)函數(shù)

由上式可知，H（X）≤0為失效模式；反之為安全模式。若極限函數(shù)H（X）的均值和方差分別為μH和DH，且服從正態(tài)分布，則其可靠性指標β和可靠度R為[7]

對于任意分布函數(shù)Φ（·）都可以用MCM計算可靠度，進而可求出各隨機變量的靈敏度[8]。

2 渦輪機匣確定性分析

2.1 有限元模型

某型發(fā)動機高壓渦輪機匣的簡化結構如圖3（a）所示，圖中的高壓渦輪襯環(huán)是1個敏感元件，膨脹和收縮帶動機匣徑向變形，從而改變葉尖間隙，因此，主要對內層的渦輪襯環(huán)進行分析。將機匣襯環(huán)的結構簡化為圓筒結構，建立軸對稱模型，取軸截面研究對象，有限元模型如圖3（b）所示，在模型左端固定軸向的自由度，防止產生軸向的剛體位移。

在分析之前，選取發(fā)動機從地面啟動—慢車—爬升—巡航這一段[0,215 s]作為計算范圍，取12個關鍵點作為計算點，計算載荷譜如圖4所示?？紤]動態(tài)溫度影響、機匣材料的非線性導熱系數(shù)和非線性膨脹系數(shù)，對其進行動態(tài)熱結構耦合分析。

圖4 計算采用的載荷譜

2.2 隨機變量選取

機匣在加工和實際使用中其材料參數(shù)和工作條件都存在隨機性。若在非線性動態(tài)概率分析時隨機變量選取比穩(wěn)態(tài)概率分析復雜得多。例如以下2個非線性變量之間存在一一對應關系

如果分析變量X對系統(tǒng)輸出響應的影響，傳統(tǒng)的做法是先分析各元素xi（i=1,2,…,k）對系統(tǒng)輸出的影響，再對其進行綜合分析判斷。該方法需要對每個變量的元素進行考慮和計算，過程繁瑣，效率低；另外，在對每個元素進行綜合分析時，沒有統(tǒng)一有效的規(guī)則，不能保證計算效果和精度。因此，為了選取變量方便，需要對變量進行處理變換。

首先，選取變量X中的元素最大值，記作xmax；X中所有變量均除以xmax，即

再用α和xmax表示X中的各元素，即

這樣就把X中各元素之間的關系轉換為X中各元素分別與最大值xmax的關系，在選取非線性或動態(tài)隨機變量時，就可以用最大值xmax代替X中各元素來分析對輸出響應影響，再根據(jù)X中各元素與xmax之間的相關性確定X中各元素對系統(tǒng)輸出的影響。如果Y也表示成式（11）形式，那么X、Y各元素之間仍然存在一一對應關系。該方法在概率分析時減少了隨機變量個數(shù)，能大大節(jié)約計算時間和提高計算效率與精度。在有限元分析中，在相鄰元素間的分析點可以通過式（12）插值方法來處理。假設已知X、Y2個隨機變量相鄰2點xi,xi+1和yi,yi+1，并且存在一一對應關系，則[yi,yi+1]中的任何一點yik相對應的xik為

在選取機匣模型的隨機變量時，材料非線性和溫度載荷動態(tài)性都按以上方法選擇其最大值進行概率分析，選擇的隨機變量及其抽樣統(tǒng)計特征見表1，表中參數(shù)均服從正態(tài)分布，且相互獨立。

表1 機匣隨機變量及其數(shù)字特征

2.3 確定性分析

利用表（1）中各變量的均值，對機匣徑向變形進行確定性分析，可得徑向變形量隨時間變化規(guī)律，如圖5（a）所示，其中在t=180 s時變形量達到最大0.87 mm，此時機匣徑向變形如圖5（b）所示。

圖5 機匣徑向變形量規(guī)律及在t=180 s時變形

3 機匣徑向變形的動態(tài)概率分析

3.1 動態(tài)概率分析

將隨機變量的統(tǒng)計特征和邊界條件導入有限元模型中，利用Box-behnken矩陣抽樣法得到41組樣本點，其中輸出響應Y的樣本歷史如圖6（a）所示。再利用這些樣本點值擬合極值響應面函數(shù)式（3）（忽略小于10-7的系數(shù)），得到

建立極值響應面后，不但可得輸出參數(shù)與各隨機輸入變量之間的關系，也可以得到與某2個隨機變量的函數(shù)關系，比如輸出參量Y與對流系數(shù)ac和燃氣溫度tc之間的關系，如圖6（b）所示。

將極值響應面函數(shù)代替機匣有限元模型，利用MC法進行1萬次抽樣，得到Y（X）模擬樣本歷史和頻率分布，如圖7所示。從圖7和圖8（e）中可見： 滿足正態(tài)分布，其均值約為0.87 mm，標準差為0.033 mm。部分隨機變量的概率分布如圖8所示。從圖8中可見，輸入隨機變量都滿足正態(tài)分布。根據(jù)表1提供的參數(shù)，當置信區(qū)間為0.95，設計機匣徑向變形量為0.95 mm時，根據(jù)式（8）可得可靠度R約為0.993。

圖6 輸出響應Y樣本歷史及輸入輸出關系

逆概率分析，即計算某可靠度下所需要的變量參數(shù)值。在置信水平為0.95下的部分可靠度相對應的隨機變量極限值見表2。

圖7 機匣徑向變化量模擬結果

圖8 各隨機變量概率分布

表2 不同可靠度下隨機變量極限值

3.2 靈敏度分析

靈敏度是用來分析隨機輸入變量的變化對輸出參量穩(wěn)定性的影響程度，從而決定哪些參數(shù)對可靠性失效影響較大。通過對機匣徑向變形分析，得到各參量的靈敏度及其分布，見表3并如圖9所示。

表3 隨機變量的靈敏度

在條狀圖中，最重要的隨機輸入變量（靈敏度最大）在最左邊，其他依次向右排列。從表3和圖9中可見，燃氣溫度tc對機匣徑向變形量的影響最大，起決定性作用，影響概率占97.24%，其他隨機變量的影響很小，其結論幾乎與實際試驗相符。由此為機匣徑向變形與高壓渦輪葉尖徑向間隙設計、優(yōu)化和控制提供了依據(jù)，首先要考慮轉速的影響，再考慮其他因素的影響。

3.3 有效性驗證

為了驗證ERSM的有效性和優(yōu)越性，基于表1中的隨機輸入變量和統(tǒng)計特征及相同計算環(huán)境，分別用MCM和RSM對機匣徑向變形進行動態(tài)概率分析，并比較計算結果。在計算過程中，3種方法都是1萬次模擬計算，其中ERSM和RSM的抽樣次數(shù)均為41。以MCM計算為基準，其對比結果見表4。

表4 3種方法概率分析結果比較

由表4中可見，本文提出的極值響應面法的計算精度幾乎與MC法的相同，但計算時間遠少于其他2種方法，約為MC法計算時間的1/220、傳統(tǒng)響應面法的1/3。可見，ERSM既能保證計算精度，又可大大縮短計算時間和提高計算效率。

4 結論

（1）介紹了極值響應面法（ERSM）的基本原理，建立了其數(shù)學模型，以渦輪機匣徑向變形的動態(tài)概率分析為例，加以驗證。該方法能在保持計算精度的前提下，大大節(jié)約計算時間和提高計算效率，充分驗證了該方法在結構動態(tài)概率分析中的可行性和有效性。

（2）如何利用該方法進行機匣徑向變形設計和優(yōu)化，還需進一步探索和研究。另外，對于復雜結構（比如航空發(fā)動機高壓渦輪葉尖徑向間隙）動態(tài)概率分析，采用該方法是否仍能保證高效率需要進一步驗證。

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