周 明，楊綠峰，2，陳 正，蔣瓊明，洪 斌，胡春燕

(1．廣西大學(xué) 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004;2．廣西壯族自治區(qū)住房與城鄉(xiāng)建設(shè)廳，廣西 南寧 530028)

水運(yùn)工程和海工建筑物如跨海大橋、海港碼頭等，通常采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，而海水中氯離子的侵蝕會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中的鋼筋銹蝕膨脹，從而造成混凝土結(jié)構(gòu)腐蝕破壞．因此，探求氯離子擴(kuò)散和分布規(guī)律是海工建筑物服役壽命預(yù)測和耐久性設(shè)計(jì)的關(guān)鍵．

混凝土中氯離子擴(kuò)散的解析解法能給出海工建筑物中局部位置的氯離子濃度分布規(guī)律，并為研究混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命、水運(yùn)工程和海工建筑物耐久性設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)．Callepardi［1］利用Fick第二定律研究建立了混凝土中氯離子一維擴(kuò)散的控制方程．Takewake［2］、姚詩偉［3］分別得到了氯離子一維擴(kuò)散的解析解．Suryavanshi［4］建立了半無限域氯離子二維擴(kuò)散的誤差函數(shù)形式解析解．楊綠峰等［5］考慮擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)變特性推導(dǎo)出了氯離子一維、二維擴(kuò)散的時(shí)變解析解．孫偉等［6－7］研究了無限域和有限域氯離子擴(kuò)散問題的理論模型，建立了多維多因素氯離子擴(kuò)散控制方程，并推導(dǎo)了傅里葉解析解．

然而，實(shí)際混凝土結(jié)構(gòu)中部分構(gòu)件的截面為圓形，金祖權(quán)等［8］調(diào)查研究了具有圓環(huán)截面的海底隧道襯砌混凝土在多種因素下的凍融損傷，其中氯離子的腐蝕是其損傷的主要耦合因素之一，其它如跨海大橋的橋墩、海港碼頭承力柱等，它們同樣面臨嚴(yán)重的氯離子腐蝕問題．王顯利等［9］基于有限差分法研究了圓形截面的氯離子擴(kuò)散規(guī)律，分析了其耐久性，并開展了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究工作［10］．解析解法使用簡單，通常作為實(shí)驗(yàn)研究、數(shù)值方法的主要驗(yàn)證工具，而目前混凝土中氯離子的一維、二維擴(kuò)散解析解都不適合用來描述氯離子沿圓形截面周邊向混凝土內(nèi)部擴(kuò)散的問題，因此有必要開展圓形截面混凝土構(gòu)件的氯離子擴(kuò)散和濃度分布規(guī)律的解析研究．

圓形截面的氯離子擴(kuò)散為平面擴(kuò)散，其控制方程為二維擴(kuò)散控制方程，本文根據(jù)二維擴(kuò)散控制方程建立了氯離子沿圓柱構(gòu)件周邊向混凝土內(nèi)部擴(kuò)散的極坐標(biāo)方程，并利用貝塞爾函數(shù)簡化計(jì)算公式建立了圓形截面混凝土構(gòu)件中氯離子濃度分布的解析解．

1 圓形截面解析解推導(dǎo)

當(dāng)圓柱體混凝土構(gòu)件的周邊(頂面、底面除外)暴露于氯鹽環(huán)境時(shí)，氯離子將沿柱面侵入混凝土中，并呈現(xiàn)二維擴(kuò)散現(xiàn)象，可通過Fick第二定律來進(jìn)行描述［1］:

其邊界條件和初始條件為:

式中:Г為暴露于氯鹽環(huán)境中的圓柱面;Ω為擴(kuò)散域;P為擴(kuò)散體中的任一點(diǎn);t為試件暴露于氯鹽環(huán)境的時(shí)間;Cs為試件表面氯離子濃度;C0為初始氯離子濃度．對于圓形截面試件，使用極坐標(biāo)變換有:

式(1)等號右邊第1項(xiàng)可變換為:

同理，式(1)等號右邊第2項(xiàng)可變換為:

結(jié)合式(3)，將式(4)和(5)代入式(1)得:

式中:R為截面半徑，其邊界條件和初始條件為:

使用變量代換:

式(6)變?yōu)?

其邊界條件和初始條件為:

根據(jù)變量分離法:

式(9)可以轉(zhuǎn)化為2個(gè)一元微分方程:

式(13)的解為:

根據(jù)U的物理意義可知，當(dāng)t→+∞時(shí)，U=0，相應(yīng)地有T=0．據(jù)此可知，λ＞0．式(12)是二階變系數(shù)微分方程，存在級數(shù)解［11］:

容易求得式(15)中的系數(shù)ai:

根據(jù)式(10)中的邊界條件，結(jié)合式(15)和(16)，可得:

滿足方程的λ有一系列的值，設(shè)為λ1，λ2，…，λn將之代回式(14)和(15)，則有:

令λn=β2n，同時(shí)采用第一類0階和1階貝塞爾函數(shù):

由疊加原理可得原問題的解為:

式中:βn由方程J0(βR)=0的根得到;An為待定系數(shù)，可以根據(jù)式(10)中的初始條件及貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)求得［12］:

根據(jù)式(8)，(22)和(23)，得到圓柱體內(nèi)的氯離子濃度分布及其擴(kuò)散過程的封閉解:

從上式可以看出，求解圓柱體混凝土構(gòu)件中氯離子擴(kuò)散過程和濃度分布的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解0階、1階貝塞爾函數(shù)J0(x)和J1(x)．但在實(shí)際工程中，圓形截面的半徑通常較大，利用貝塞爾函數(shù)計(jì)算時(shí)需要的級數(shù)項(xiàng)多，相應(yīng)的計(jì)算速度會隨之而快速下降．為解決該問題，當(dāng)x=βnr≥15．9時(shí)，可采用(25)中漸進(jìn)計(jì)算公式［13］．計(jì)算貝塞爾函數(shù)，從而有效簡化式(24)的求解過程．

2 算例分析

算例1:根據(jù)文獻(xiàn)［14］提供的參數(shù)取值，利用普通硅酸鹽水泥制作一批圓柱體試件，其橫截面半徑分別為200，500和900 mm，水灰比為0．65．當(dāng)混凝土齡期為28 d時(shí)將圓柱體試件的上下表面用環(huán)氧樹脂封閉，保留混凝土試件的柱面暴露于氯鹽侵蝕環(huán)境中．根據(jù)文獻(xiàn)［14］檢測的結(jié)果，可知表面氯離子濃度為Cs=0．565%(氯離子質(zhì)量占混凝土質(zhì)量的百分比，下同)，混凝土擴(kuò)散系數(shù)D=9．381×10－12m2/s=295．84 mm2/a．

首先直接使用貝塞爾函數(shù)公式(20)，(21)和(24)求解圓柱體試件暴露于氯鹽環(huán)境10 a時(shí)氯離子在試件中的分布情況．同時(shí)，為了檢驗(yàn)該計(jì)算結(jié)果，還采用商業(yè)有限元軟件Ansys建立該算例的有限元計(jì)算模型，計(jì)算圓柱體混凝土中氯離子濃度．2種方法的計(jì)算結(jié)果如圖1所示．從圖1可以看出，2種方法的結(jié)果偏差較大，并且這種差異將隨著圓柱體半徑的增加而逐漸增大．

從宏觀方面分析，氯離子沿混凝土圓柱形試件周邊向混凝土內(nèi)部擴(kuò)散時(shí)屬于二維擴(kuò)散狀態(tài)，當(dāng)圓柱體構(gòu)件的截面半徑R逐漸增大直至R→∞時(shí)，試件中氯離子的擴(kuò)散逐漸接近于一維擴(kuò)散狀態(tài);由于在相同的條件下，處于二維擴(kuò)散條件下混凝土中的氯離子濃度高于一維擴(kuò)散，所以圓柱體混凝土試件中氯離子濃度應(yīng)隨著試件截面半徑的增大而降低．從圖1可以看出，直接使用貝塞爾函數(shù)公式求解得到的氯離子濃度隨著圓柱體半徑的增大而逐漸增大，并且逐漸偏離一維解析解，而有限元軟件Ansys的求解結(jié)果與此恰好相反，且后者與上述宏觀分析結(jié)論完全吻合．由此可知，直接利用貝塞爾公式計(jì)算氯離子擴(kuò)散會導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果．其原因在于，因?yàn)樨惾麪柡瘮?shù)是一個(gè)多項(xiàng)式，且高次項(xiàng)與低次項(xiàng)之間有多個(gè)數(shù)量級的差異，而貝塞爾函數(shù)自身的值非常小，且收斂較慢，所以，如果不在程序設(shè)計(jì)時(shí)采取特別措施，就會發(fā)生大數(shù)吞小數(shù)現(xiàn)象，并造成較大的計(jì)算誤差．因此，使用精確、有效的貝塞爾函數(shù)計(jì)算方法是準(zhǔn)確求解圓形截面氯離子擴(kuò)散和分布規(guī)律的關(guān)鍵．

將式(25)代入式(24)，建立圓柱體混凝土構(gòu)件中氯離子沿柱面向內(nèi)部擴(kuò)散的解析計(jì)算公式，據(jù)此求解不同半徑的圓柱體試件暴露于氯鹽環(huán)境10 a時(shí)氯離子在試件中的分布情況，并與商業(yè)有限元軟件Ansys的計(jì)算結(jié)果、氯離子一維擴(kuò)散的計(jì)算結(jié)果相比較(見圖2)．由圖2可見，對于不同半徑的圓柱體混凝土構(gòu)件，本文建立的解析解與有限元商業(yè)軟件Ansys的計(jì)算結(jié)果始終吻合良好，證明了本文方法的正確性．計(jì)算結(jié)果表明隨著圓柱體混凝土構(gòu)件半徑增大，氯離子濃度逐漸減小，且逐漸逼近氯離子一維擴(kuò)散的結(jié)果，這與前文中的宏觀分析結(jié)論相吻合，進(jìn)一步說明本文建立的解析解是合理的．

圖1 貝塞爾級數(shù)計(jì)算試件中氯離子濃度 Fig．1 Chloride distribution resulting from Bessel series

圖2 貝塞爾漸進(jìn)公式計(jì)算試件中氯離子濃度Fig．2 Chloride content from simplified Bessel function

算例2:設(shè)有1個(gè)半徑為200 mm的圓柱體混凝土構(gòu)件(用C表示)和1個(gè)截面尺寸為400 mm×400 mm的矩形截面棱柱體混凝土構(gòu)件(用R表示)，圓柱體和棱柱體混凝土構(gòu)件的柱面都處于相同的含氯離子環(huán)境中．已知測得混凝土構(gòu)件表面氯離子濃度Cs為1%，混凝土中初始氯離子濃度C0為0，混凝土擴(kuò)散系數(shù)D為1×10－12m2/s=31．536 mm2/a．首先采用本文方法，通過式(24)和式(25)計(jì)算圓柱體混凝土構(gòu)件內(nèi)氯離子濃度分布．然后根據(jù)文獻(xiàn)［5］的計(jì)算公式，求得棱柱體混凝土構(gòu)件矩形截面的對角線上氯離子濃度的分布，計(jì)算結(jié)果如圖3所示．

圖3 不同擴(kuò)散時(shí)間和擴(kuò)散系數(shù)的氯離子分布Fig．3 The chloride distribution of different diffusion time and different diffusion coefficients

圖3 (a)為混凝土構(gòu)件暴露于氯鹽環(huán)境10，30，50和70 a時(shí)的氯離子濃度分布．圖3(b)為混凝土擴(kuò)散系數(shù)分別取31．536，100和150 mm2/a，且暴露于氯鹽環(huán)境30 a時(shí)混凝土構(gòu)件內(nèi)部的氯離子濃度分布．由圖3(a)可以看出，矩形截面混凝土構(gòu)件內(nèi)氯離子濃度明顯高于圓柱體試件，并且隨時(shí)間的增長這種趨勢更加明顯．圖3(b)表明，棱柱體混凝土構(gòu)件的氯離子濃度高于圓柱體混凝土構(gòu)件，并且隨混凝土擴(kuò)散系數(shù)的增加，該趨勢更加明顯．由于海洋混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性取決于構(gòu)件內(nèi)鋼筋周圍集聚的氯離子濃度及由此誘發(fā)的鋼筋銹蝕時(shí)間［15］，因此在海洋侵蝕環(huán)境條件和鋼筋保護(hù)層厚度等條件相同時(shí)，使用圓形截面代替矩形截面構(gòu)件可以避免矩形截面構(gòu)件拐角處出現(xiàn)過早破壞的現(xiàn)象，從而有效地提高海洋混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命．

3 結(jié)語

本文通過分離變量法，利用貝塞爾函數(shù)簡化計(jì)算公式建立了圓形截面混凝土試件中氯離子二維擴(kuò)散規(guī)律和濃度分析的解析解，并通過與商業(yè)有限元軟件Ansys計(jì)算結(jié)果對比，驗(yàn)證了本文建立的解析解的正確性．

在相同情況下，矩形截面混凝土構(gòu)件中氯離子二維擴(kuò)散導(dǎo)致氯離子濃度高于圓形截面構(gòu)件，因此，暴露于氯鹽環(huán)境的混凝土構(gòu)件，使用圓形截面代替矩形截面可以避免矩形截面拐角處出現(xiàn)過早破壞的現(xiàn)象，有利于提高混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性．

［1］COLLEPARDI M，MARCIALISA，TURRIZZANI R．The kinetics of penetration of chloride ions into the concrete［J］．Cemento(Italy)，1970，4:157-164．

［2］TAKEWAKE K，MASTUMOTO S．Quality and cover thickness of concrete based on the estimation of chloride penetration in marine environments［C］∥MALHOTRA V M．Proc 2ndInt Conf Concr Marine Envir，ACI SP-109，1988:381-400．

［3］姚詩偉，吳萍．氯離子擴(kuò)散方程的解析解［J］．港工技術(shù)與管理，2006(5):1-9．(YAO Shi-wei，WU Ping．Analytical solution for chloride diffusion［J］．Port Engineering Technology and Management，2006(5):1-9．(in Chinese))

［4］SURYAVANSHI A K，SWAMY R N，CARDEW G E．Estimation of diffusion coefficient for chloride ion penetration into structural concrete［J］．ACI Materials Journal，2002，99(5):441-449．

［5］楊綠峰，李冉．混凝土中氯離子二維擴(kuò)散規(guī)律的解析研究［J］．水利水電科技進(jìn)展，2009，29(3):20-23．(YANG Lufeng，LI Ran．Analytical study of two-dimensional diffusion of chloride ion in concrete［J］．Advances in Science and Technology of Water Resources，2009，29(3):20-23．(in Chinese))

［6］余紅發(fā)，孫偉，麻海燕．混凝土氯離子擴(kuò)散理論模型的研究Ⅰ－基于無限大體的非穩(wěn)態(tài)齊次與非齊次擴(kuò)散問題［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(2):276-280．(YUHong-fa，SUNWei，MA Hai-yan．Diffusion model of chloride in concrete I-homogeneous and inhomogeneous diffusion in infinite body［J］．Journal of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，2009，41(2):276-280．(in Chinese))

［7］余紅發(fā)，孫偉，麻海燕．混凝土氯離子擴(kuò)散理論模型的研究Ⅱ－基于有限大體的非穩(wěn)態(tài)齊次與非齊次擴(kuò)散問題［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(3):408-413．(YUHong-fa，SUNWei，MA Hai-yan．Diffusion model of chloride in concreteⅡ－h(huán)omogeneous and inhomogeneous diffusion in finite body［J］．Journal of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，2009，41(3):408-413．(in Chinese))

［8］金祖權(quán)，趙鐵軍，侯保榮，等．海底隧道襯砌混凝土在多種因素下的凍融損傷［J］．廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，35(1):90-95．(JIN Zu-quan，ZHAOTie-jun，HOU Bao-rong，et al．Freeze-thaw damage of lining concrete under multi-factors in subsea tunnel［J］．Journal of Guangxi University(Natural Science Edition)，2010，35(1):90-95．(in Chinese))

［9］王顯利，吳智敏，鄭建軍．氯離子侵蝕圓形截面鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性分析［J］．東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，34(2):76-77，108．(WANG Xian-li，WU Zhi-min，ZHENG Jian-jun．Durability analysis of reinforced concrete structure with circular section under chlorine anion corrosion［J］．Journal of Northeast Forestry University，2006，34(2):76-77，108．(in Chinese))

［10］王顯利，鄭建軍，吳智敏，等．圓形截面混凝土中的自由氯離子含量分布規(guī)律［J］．沈陽建筑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，22(6):890-894．(WANG Xian-li，ZHENG Jian-jun，WU Zhi-min，at al．The durability rules of free chloride concentration in circular section concrete element［J］．Journal of Shenyang Jianzhu University(Natural science)，2006，22(6):890-894．(in Chinese))

［11］BИ斯米諾夫．高等數(shù)學(xué)教程［M］．北京:人民教育出版社，1953:105－109．(BИCMИPHOB．The higher mathematics course［M］．Beijing:People's Education Press，1953:105－109．(in Chinese))

［12］王元明．?dāng)?shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)［M］．北京:高等教育出版社，2004:101-127．(WANG Yuan-ming．Equations of mathematical physics and special functions［M］．Beijing:Higher Education Press，2004:101-127．(in Chinese))

［13］奚定平．貝塞爾函數(shù)［M］．北京:高等教育出版社，1998:93-121，184-187．(XI Ding-ping．Bessel function［M］．Beijing:Higher Education Press，1998:93-121，184-187．(in Chinese))

［14］張寶蘭，衛(wèi)淑珊．華南海港鋼筋混凝土暴露十年試驗(yàn)［J］．水運(yùn)工程，1999，3:6-13．(ZHANG Bao-lan，WEI Shu-shan．Reinforced concrete structure at sea port of South China after ten years expose［J］．Port＆Waterway Engineering，1999，3:6-13．(in Chinese))

［15］BEHROUZ SHAFEI，AZADEH ALIPOUR，MASANOBU SHINOZUKA．Prediction of corrosion initiation in reinforced concrete members subjected to environmental stressors:A finite-element framework［J］．Cement and Concrete Research，2012，42:365-376．