顏鐘 ，李端有

(1.長江科學(xué)院工程安全與災(zāi)害防治研究所，湖北武漢 430010;2.水利部水工程安全與病害防治工程技術(shù)研究中心，湖北武漢 430010)

1 引言

在單樁靜載試驗中，通常需要弄清楚在荷載作用下樁的位移及變形規(guī)律，在樁基設(shè)計中也要明白樁的側(cè)阻力和端阻力有多大，給樁的沉降計算提供依據(jù)。我們能普遍接受的認(rèn)識就是樁在荷載的作用下，樁和樁周土發(fā)生相對位移，從而樁和樁周土之間有摩阻力的存在。通常我們可以通過埋設(shè)點法監(jiān)測儀器(比如沿樁長方向埋設(shè)一系列的鋼筋計等方法)測得樁的應(yīng)力或應(yīng)變來計算出樁側(cè)摩阻力，也可以通過埋設(shè)線法監(jiān)測儀器(如滑動測微計，三向位移計等)測得相應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變來計算。

然而通過監(jiān)測儀器所得到的數(shù)據(jù)只是沿樁的一系列點的應(yīng)力或應(yīng)變值(線法儀器也不例外，如三向位移計也只是測出每米處的應(yīng)變)，在測試數(shù)據(jù)誤差較大的情況下，計算樁側(cè)摩力時不能直接把各點相連的折線用于后續(xù)的計算處理，這樣可能會將誤差惡性放大，甚至出現(xiàn)負(fù)摩阻力等不合理現(xiàn)象，所以在計算之前需要對實測的應(yīng)力或應(yīng)變曲線進(jìn)行趨勢擬合處理使之更加凸顯應(yīng)變的變化規(guī)律。

關(guān)于試驗曲線的趨勢擬合，1994年朱國甫和李光煜先生就提出了約束樣條的擬合方法，從理論上作出了完整的推導(dǎo)。在實際的工作中，此方法會受到很大的約束，因為約束樣條法在計算過程中需要兩端有導(dǎo)數(shù)值，但在實測數(shù)據(jù)中很難得到(因為我們事先可能并不知道曲線的方程是什么，也就沒辦法求導(dǎo))，基于解決實際問題的需要，本文探討使用多項式擬合法來解決應(yīng)變曲線的趨勢擬合問題。

2 約束樣條法

約束樣條法的思想是通過樣條插值來進(jìn)行擬合計算，本處以三次樣條為例。設(shè)給定一組節(jié)點，x0＜x1＜x2＜…xn，設(shè) S(x)∈C2［x0，xn］滿足在每個小區(qū)間［xi，xi+1］上都是三次多項式，則稱 S(x)是節(jié)點 x0，x1，x2，…xn上的三次樣條函數(shù)，若給定節(jié)點xj上的函數(shù)值為yj=f(xj)(j=0，1，…n)，同時有 S(xj)=yj(j=0，1，…n)，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。若邊界的一階及二階導(dǎo)數(shù)值均已知，根據(jù)這些條件可以很方便求得三次樣條插值函數(shù)S(x)。三次樣條插值方法為一種十分成熟的方法，本文也不再做出詳細(xì)的推導(dǎo)。

使用樣條約束法擬合應(yīng)力或應(yīng)變曲線時，為了使數(shù)據(jù)看起來更加直觀，可以規(guī)定樁頂坐標(biāo)為0，向下沿樁長坐標(biāo)依次增大。計算中，節(jié)點便為監(jiān)測儀器測值處的樁長值，節(jié)點上的函數(shù)值便為測得的應(yīng)力或應(yīng)變值，按三次樣條插值方法便可以得到應(yīng)力或應(yīng)變擬合曲線。

3 簡化擬合方法

由于用約束樣條的方法在實際的操作過程中使用不是很簡便，我們需要嘗試使用簡單函數(shù)來代替約束樣條的方法。通過多次嘗試，選用了幾種不需要導(dǎo)數(shù)值來擬合的簡單函數(shù)，分別是三次多項式擬合，四次多項式擬合，五次多項式擬合及指數(shù)函數(shù)擬合。因為在特殊情況下應(yīng)力或應(yīng)變實測值有可能為零或負(fù)值，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)不能在此種情況下使用，故不對這兩種方法進(jìn)行比較。

對于多項式插值，設(shè)給定節(jié)點 x0，x1，x2，…xn上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0，1，…n)，關(guān)于n次多項式要使得S(xi)=yi(i=0，1，…n)，由此可得到關(guān)于系數(shù) a0，a1，a2，…an的 n+1 元線性方程組

解此方程組我們可以得到唯一的插值多項式S(x)。多項式插值并不是次數(shù)越高越好，我們都知道高次的插值多項式容易出現(xiàn)病態(tài)，在后面的工程實例中我們可以通過對比來選用適當(dāng)次數(shù)的多項式。對指數(shù)函數(shù)的插值過程不作過多的推導(dǎo)，讀者可參閱相關(guān)數(shù)值分析教材即可。

4 工程實例對比

某試樁工程位于武漢地區(qū)，為檢測試樁在各級荷載下各地層單位摩阻力及單位端阻力，對其中1根樁進(jìn)行單樁豎向抗壓靜載試驗。儀器采用瑞士Solexperts AG公司生產(chǎn)的三向位移計，加壓方式為堆載法，通過千斤頂進(jìn)行分級施加反力，共分9級加壓，第一次施加荷載1 000 kN，最大值為5 000 kN，每級加壓后荷載持續(xù)2 h。實測應(yīng)變曲線如圖1所示。

圖1 實測應(yīng)變曲線

從圖1可以看出實測數(shù)據(jù)趨勢性不十分明顯，整體看起來顯得比較雜亂，不能滿足對數(shù)據(jù)進(jìn)行后續(xù)分析的需要，故需對試驗曲線進(jìn)行趨勢擬合，下面我們分別用不同的擬合方法來對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理。

按插值函數(shù)的方法對每級荷載下的應(yīng)變曲線分別按三次擬合多項式，四次擬合多項式，五次擬合多項式及指數(shù)函數(shù)方法進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖2～5所示。

圖2 三次多項式擬合法

圖3 四次多項式擬合法

圖4 五次多項式擬合法

圖5 指數(shù)函數(shù)擬合法

從圖2和圖3可以看出，通過三次多項式擬合法和四次多項式擬合法所得到的曲線是比較光滑的，而且從圖上可以看出插值函數(shù)是收斂的。通過經(jīng)驗知道擬合后的應(yīng)變曲線的總體趨勢符合單樁在豎向荷載作用下的應(yīng)變規(guī)律，但擬合后的曲線和原應(yīng)變曲線的差別能否讓我們接受，可以通過求相關(guān)系數(shù)的方法來進(jìn)行查驗。如果相關(guān)系數(shù)越接近1則擬合效果就越好，反之相關(guān)系數(shù)過小，則認(rèn)為擬合效果差，插值函數(shù)方程是不可信的，得到回歸應(yīng)變曲線也就應(yīng)該舍棄。

從圖4可以看到，使用五次多項式擬合回歸應(yīng)變時，回歸應(yīng)變曲線變化趨勢變得復(fù)雜化，不再符合實際情況。我們都知道，當(dāng)多項式次數(shù)過高時，插值函數(shù)可能產(chǎn)生病態(tài)，在本例中五次多項式插值函數(shù)已經(jīng)產(chǎn)生病態(tài)，我們也不再追求更高階的多項式插值函數(shù)，更高階的多項式插值函數(shù)可能產(chǎn)生更嚴(yán)重的病態(tài)。

對于指數(shù)函數(shù)擬合從圖5可以看到，總體上來說曲線保留了一定的規(guī)律，但也可以看出應(yīng)變曲線略有發(fā)散的趨勢，雖然有發(fā)散的趨勢，但對于我們來說我們不需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行前推或后推，只要擬合后的數(shù)據(jù)相對于擬合前數(shù)據(jù)來說是可靠的，我們也是可以將其作為一個對比的方法，擇優(yōu)選擇。

對于已經(jīng)是產(chǎn)生病態(tài)的五次多項式我們不再對其進(jìn)行考慮，對剩下的幾種方法進(jìn)行對比來擇優(yōu)選擇。擬合后的回歸應(yīng)變能否使用，必須要看其相關(guān)系數(shù)是否夠高，對三種方法的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對比分析，看哪一種方法更能滿足我們對精度的要求，使擬合后的應(yīng)變曲線和實際情況的吻合度最好。三種擬合方法相關(guān)系數(shù)對比情況如表1所示。

相關(guān)系數(shù)對比表 表1

從表中我們可以看出，三次多項式擬合和四次多項式擬合的相關(guān)差別不大，四次多項式擬合方法的相關(guān)系數(shù)比三次多項式擬合稍高，指數(shù)函數(shù)擬合方法的相關(guān)系數(shù)相對來說比較低，從統(tǒng)計學(xué)的角度看就認(rèn)為指數(shù)函數(shù)擬合曲線不如前兩種方法好，精度相對較低。本例中，四次多項式擬合時相關(guān)系數(shù)最小也為0.899 611，最高達(dá)0.966 644，可以認(rèn)為擬合后的回歸應(yīng)變和實測應(yīng)變相關(guān)性很強，可以使用回歸應(yīng)變來代替實測應(yīng)變進(jìn)行后續(xù)計算。通過本工程實例的驗證及幾種方法的比選，認(rèn)為選取四次多項式擬合應(yīng)變曲線是可行的，從相關(guān)系數(shù)也可以看到在精度上完全可以達(dá)到工程要求的精度。

5 結(jié)語

通過工程實例證實，采用四次多項式擬合的方法來對實測應(yīng)變曲線進(jìn)行趨勢擬合處理是可行的，這種處理實測應(yīng)變曲線的方法無樣條差值擬合時的限制條件，故在實際的工程應(yīng)用中有較強的適用性。當(dāng)然在應(yīng)用中我們也還是應(yīng)該要考慮到地層分層多、地質(zhì)情況復(fù)雜時，應(yīng)變曲線起伏變化比較大，很難用簡單函數(shù)一次實現(xiàn)對這種變化趨勢的逼近。對于這個問題，我們可以采用分段的思想來解決，即我們可以把應(yīng)變曲線適當(dāng)?shù)姆侄?，采用分段函?shù)的方法進(jìn)行四次多項式插值即可。

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