吳仁彪 王小寒 李 海 王冬梅

①(中國(guó)民航大學(xué)天津市智能信號(hào)與圖像處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300300)

②(中國(guó)民航西南地區(qū)空中交通管理局 成都 610202)

1 引言

機(jī)載預(yù)警雷達(dá)以高空飛行的飛機(jī)為載體，具有探測(cè)距離遠(yuǎn)、覆蓋范圍大、機(jī)動(dòng)靈活等特點(diǎn)。但由于它處于下視工作狀態(tài)，面臨著比地基雷達(dá)更復(fù)雜的地(海)雜波問題，雜波不僅分布范圍廣，強(qiáng)度大，而且呈現(xiàn)空時(shí) 2 維耦合分布特性，從而導(dǎo)致目標(biāo)常淹沒在強(qiáng)雜波背景中，檢測(cè)目標(biāo)能力受到嚴(yán)重影響。STAP是一種有效的機(jī)載預(yù)警雷達(dá)地雜波抑制手段[1,2]，但是傳統(tǒng)的STAP方法都是假設(shè)在相干處理時(shí)間(Coherent Processing Interval,CPI)內(nèi)目標(biāo)回波多普勒頻率恒定。當(dāng)來(lái)襲目標(biāo)具有很強(qiáng)的機(jī)動(dòng)性時(shí)，其在一個(gè)CPI內(nèi)目標(biāo)回波多普勒頻率隨時(shí)間發(fā)生變化，即發(fā)生多普勒走動(dòng)，使得傳統(tǒng)的STAP方法相參積累性能大大下降，從而導(dǎo)致目標(biāo)檢測(cè)能力下降[3]。

當(dāng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)回波信號(hào)為線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號(hào)[4]。近年來(lái)，基于各種時(shí)頻分析工具的LFM信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)方法不斷出現(xiàn)[5-11]，包括短時(shí)Fourier變換(STFT)[5,6]，小波變換(WT)[5-7]，Wigner-Ville分布(WVD)[5,6]和分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRactional Fourier Transform,FRFT)[5,6,8-11]等。其中FRFT是1種廣義的傅里葉變換方法，它將信號(hào)分解在分?jǐn)?shù)階傅里葉域的一組正交的chirp基上，這就給LFM信號(hào)的分析和處理帶來(lái)了可能性。同時(shí)FRFT是一種1維的線性變換，在檢測(cè)多個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)它不會(huì)像WVD那樣產(chǎn)生交叉項(xiàng)，而且它的數(shù)值計(jì)算可借助FFT快速實(shí)現(xiàn)，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，因此受到了廣泛重視。

將FRFT與STAP相結(jié)合為空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)提供了一條可能的途徑。但是，在地基雷達(dá)和合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)上利用FRFT來(lái)估計(jì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)時(shí)都需要較多的脈沖點(diǎn)數(shù)[4,12,13]，否則估計(jì)精度難以滿足要求。由于這個(gè)原因，上述方法難以直接應(yīng)用到機(jī)載預(yù)警雷達(dá)中，因?yàn)楫?dāng)雷達(dá)脈沖重復(fù)頻率一定時(shí)，較多的脈沖點(diǎn)數(shù)意味著CPI加長(zhǎng)，這會(huì)引起雜波和目標(biāo)的距離走動(dòng)，給后續(xù)處理帶來(lái)更大困難[1]。針對(duì)上述問題，本文利用干涉SAR中相位展開的思想[14]，提出了基于重構(gòu)時(shí)間采樣的空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)方法，該方法利用空間采樣來(lái)重構(gòu)時(shí)間采樣，等效于增加了單個(gè)陣元的時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)，可以提高參數(shù)估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果證明了該方法的有效性。

2 數(shù)據(jù)模型和問題描述

本文首先給出雷達(dá)接收到的數(shù)據(jù)形式。設(shè)機(jī)載平臺(tái)上沿航向方向放置N元均勻線陣，陣元間距為d=0 .5λ,λ為雷達(dá)發(fā)射脈沖波長(zhǎng)，一個(gè)CPI內(nèi)發(fā)射K個(gè)脈沖。假定單個(gè)距離門內(nèi)最多存在一個(gè)目標(biāo)，則待檢測(cè)單元的空時(shí)快拍可寫成

其中xs,xc和xn分別表示目標(biāo)、雜波和噪聲成分。雜波和噪聲數(shù)據(jù)的具體模型見參考文獻(xiàn)[3]。

xs表示目標(biāo)，可表示為如下形式

其中為目標(biāo)回波復(fù)幅度，a()為目標(biāo)空時(shí)導(dǎo)向矢量，?表示Kronecker積，時(shí)域?qū)蚴噶縜(ωt)=[1,ej2π?1?fd/fr,…,ej2π?(K- 1)?fd/fr]T 為K×1維列向量，空域?qū)蚴噶縜(ut)=[1,ej2π?1?dcosψt/λ,…,ej2π?(N-1)?dcosψt/λ]T為N×1維列向量，ψt表示目標(biāo)來(lái)向角，fd表示多普勒頻率， (?)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

當(dāng)目標(biāo)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有目標(biāo)回波的多普勒頻率發(fā)生了變化[3]

tm表示慢時(shí)間，fc為載波頻率，v為目標(biāo)的初始速度，a為目標(biāo)的加速度，將fd代入到a(ωt)中得到勻加速目標(biāo)的時(shí)域?qū)蚴噶繛?/p>

可見，勻加速目標(biāo)的時(shí)域?qū)蚴噶坎糠钟蓛刹糠纸M成，分別為目標(biāo)初始多普勒頻率項(xiàng)和調(diào)頻率項(xiàng)，即當(dāng)目標(biāo)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)的回波信號(hào)為L(zhǎng)FM信號(hào)。

由雜波分布特性[2]可知：雜波分布范圍廣，強(qiáng)度大，并且呈現(xiàn)出很強(qiáng)的空時(shí)耦合特性，在很大程度上淹沒了目標(biāo)信號(hào)，嚴(yán)重影響了雷達(dá)對(duì)目標(biāo)信號(hào)參數(shù)的估計(jì)性能。因此，本文的工作可歸結(jié)為對(duì)強(qiáng)雜波背景下的LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)。

3 空間采樣重構(gòu)時(shí)間采樣方法

由文獻(xiàn)[9]可知，F(xiàn)RFT是一種有效的LFM信號(hào)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)工具。但是，直接將FRFT應(yīng)用到機(jī)載預(yù)警雷達(dá)中會(huì)產(chǎn)生估計(jì)精度較差的問題?；诖?，本文利用干涉SAR中相位展開的思想[14]，提出了一種重構(gòu)時(shí)間采樣的參數(shù)估計(jì)方法，即對(duì)空間多陣元數(shù)據(jù)補(bǔ)償相應(yīng)相位后進(jìn)行首尾拼接，該方法等效于增加了單個(gè)陣元的時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)陣元數(shù)據(jù)的相干積累，提高參數(shù)估計(jì)精度。本節(jié)將從重構(gòu)時(shí)間采樣、構(gòu)造代價(jià)函數(shù)、解模糊和算法步驟4個(gè)部分來(lái)重點(diǎn)介紹重構(gòu)時(shí)間采樣方法的具體實(shí)施過(guò)程。

3.1 重構(gòu)時(shí)間采樣

當(dāng)目標(biāo)做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于機(jī)載預(yù)警雷達(dá)的每個(gè)陣元來(lái)說(shuō)其回波信號(hào)均為一個(gè)LFM信號(hào)(雜波抑制后)，且每個(gè)陣元的LFM信號(hào)只差空間相位，如圖1(a)所示。因此可以對(duì)空間中每個(gè)陣元的數(shù)據(jù)進(jìn)行相位補(bǔ)償后首尾拼接，使其等效為增加單個(gè)陣元時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)的效果，如圖1(b)所示。不失一般性，下面以兩個(gè)陣元為例討論將多陣元首尾拼接時(shí)每個(gè)陣元所需補(bǔ)償?shù)南辔弧?/p>

由第2節(jié)的目標(biāo)數(shù)據(jù)模型可知，當(dāng)不考慮空間相位時(shí)，兩個(gè)陣元接收到的目標(biāo)數(shù)據(jù)為

其中xs1表示第1個(gè)陣元接收到的目標(biāo)信號(hào)，xs2表示第2個(gè)陣元接收到的目標(biāo)信號(hào)，K為脈沖點(diǎn)數(shù)，fd=2v/λfr為初始頻率，ad=2a/λfr2為調(diào)頻率，λ為波長(zhǎng)，fr為脈沖重復(fù)頻率。

當(dāng)一個(gè)陣元的時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)由K增加到2K時(shí)，該陣元接收到的目標(biāo)信號(hào)為

其中⊙為Hadamard積。由此可見，對(duì)第2個(gè)陣元的數(shù)據(jù)進(jìn)行相位補(bǔ)償后再跟第1個(gè)陣元的數(shù)據(jù)拼接就可以等效為一個(gè)陣元直接增加時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)的效果。

由式(6)可以得出對(duì)第2個(gè)陣元應(yīng)該補(bǔ)償?shù)南辔粸?/p>

同理，第n個(gè)陣元應(yīng)該補(bǔ)償?shù)南辔粸?/p>

這樣，將每個(gè)陣元接收到的數(shù)據(jù)分別補(bǔ)償其相對(duì)應(yīng)的相位(參考陣元除外)后進(jìn)行首尾拼接，此時(shí)再進(jìn)行FRFT變換，相當(dāng)于對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行相干積累，因此積累后的目標(biāo)能量大大提高，估計(jì)精度更好。

3.2 構(gòu)造代價(jià)函數(shù)

然而，由上述分析可知：每個(gè)陣元所需補(bǔ)償?shù)南辔恢杏职宋粗哪繕?biāo)參數(shù)，導(dǎo)致無(wú)法直接對(duì)多個(gè)陣元進(jìn)行數(shù)據(jù)拼接。由于FRFT是線性變換，能夠?qū)FM信號(hào)進(jìn)行能量積累，因此可以構(gòu)造一個(gè)參數(shù)搜索區(qū)間，對(duì)此區(qū)間內(nèi)的每組參數(shù)進(jìn)行多陣元拼接后做FRFT變換，當(dāng)拼接效果最好時(shí)能量積累最大，所以取每組參數(shù)拼接后數(shù)據(jù)做FRFT變換后的能量最大值作為代價(jià)函數(shù)，只需通過(guò)搜索代價(jià)函數(shù)的最大值就可以得到參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。為減小計(jì)算量，本文對(duì)拼接后的數(shù)據(jù)進(jìn)行Zoom-FRFT變換[15]，即根據(jù)需要選擇變換輸出的局部譜區(qū)域，求得變換后的能量最大值。Zoom-FRFT變換縮短了2維搜索的區(qū)域，因此減小了計(jì)算量。所以，在參數(shù)搜索區(qū)間內(nèi)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)為

其中xprojn為第n個(gè)陣元雜波抑制后數(shù)據(jù)，Δφn為第n個(gè)陣元所需補(bǔ)償?shù)南辔唬娛?8)，[[xproj1⊙個(gè)陣元數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)時(shí)間采樣(NK×1維列向量)，ZFP[?]為Zoom-FRFT的算子符號(hào)。這樣當(dāng)搜索到目標(biāo)真值時(shí)，陣元拼接效果最好，能量積累最大，所以求其峰值對(duì)應(yīng)的參數(shù)即為目標(biāo)參數(shù)(證明略)。

3.3 解模糊方法

但是由式(8)可以看出：每個(gè)陣元所需的補(bǔ)償項(xiàng)存在周期性變化，這樣就導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生模糊，因此需要對(duì)其進(jìn)行解模糊處理，進(jìn)一步精確參數(shù)搜索區(qū)間。不失一般性，以兩個(gè)陣元為例具體分析估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生模糊原因以及解模糊方法。

首先以單頻信號(hào)為例，即加速度項(xiàng)為零，此時(shí)第2個(gè) 陣 元 應(yīng) 該 補(bǔ) 償 的 項(xiàng) 為[ej2πKfd,ej2πKfd,…,，對(duì)初始速度進(jìn)行搜索，其代價(jià)函數(shù)如圖2所示，正是由于補(bǔ)償項(xiàng)ej2πfd K為一個(gè)周期函數(shù)，導(dǎo)致參數(shù)搜索的代價(jià)函數(shù)也會(huì)呈現(xiàn)周期性變化，其周期滿足：=2v?K/λfr=N，即速度非模糊最小周期為vp=λfr/(2K)，帶來(lái)的結(jié)果就是如果不能正確地確定搜索區(qū)間，就有可能搜索到其他區(qū)間的峰值，產(chǎn)生模糊，導(dǎo)致誤差很大，所以就要對(duì)其進(jìn)行解模糊。

當(dāng)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生模糊時(shí)，模糊值和真值的關(guān)系為

其中vz為理論真值，vm為搜索到的模糊值，vp為周期，k為整數(shù)。由于其周期性由K決定，所以可以通過(guò)取不同的K值來(lái)解模糊，如式(11)表示

圖2 初始速度參數(shù)搜索代價(jià)函數(shù)示意圖

通過(guò)取不同的K值，求解此方程組，k1,k2取整數(shù)，即可求得vz，確定理論真值所在的區(qū)間。

當(dāng)含有加速度時(shí)，第2個(gè)陣元的補(bǔ)償項(xiàng)為

3.4 算法步驟

圖3為本文所提基于重構(gòu)時(shí)間采樣方法估計(jì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)的流程圖。具體步驟如下：

圖3 本文方法實(shí)現(xiàn)框圖

第1步 雜波抑制 本文通過(guò)子空間投影技術(shù)進(jìn)行雜波抑制，詳細(xì)過(guò)程在此不再敘述，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[16]中步驟1。

第2步 確定目標(biāo)參數(shù)搜索范圍初值 由第1步可知，雜波抑制后的數(shù)據(jù)可表示為

分別對(duì)雜波抑制后的每個(gè)陣元數(shù)據(jù)進(jìn)行FRFT變換，然后再對(duì)結(jié)果進(jìn)行非相干積累，如式(13)所示。

其中為利用估計(jì)協(xié)方差矩陣抑制雜波后第n個(gè)陣元的數(shù)據(jù)，N為陣元數(shù)。

搜索得到非相干積累能量最大時(shí)的速度和加速度為

該步搜索參數(shù)的初值也可通過(guò)快速解線調(diào)的方法來(lái)確定[3]。

第3步 確定目標(biāo)參數(shù)非模糊搜索范圍 由4.3節(jié)的分析可知，需要對(duì)參數(shù)搜索范圍進(jìn)行解模糊處理。選取不同的脈沖采樣點(diǎn)數(shù)K1和K2，確定一個(gè)參數(shù)搜索范圍，初始速度的搜索范圍取5倍于其非模糊周期的范圍，加速度的搜索范圍可根據(jù)先驗(yàn)信息選取，如空空導(dǎo)彈已經(jīng)可以達(dá)到100g的機(jī)動(dòng)過(guò)載，F(xiàn)-22戰(zhàn)斗機(jī)也有5g以上的超音速機(jī)動(dòng)能力等[4]。通過(guò)式(9)分別估計(jì)結(jié)果和，再根據(jù)式(11)來(lái)進(jìn)行解模糊處理

第4步 估計(jì)目標(biāo)參數(shù) 此時(shí)再根據(jù)式(9)在第3步得到的參數(shù)非模糊搜索范圍內(nèi)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)

求得代價(jià)函數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，即可得到估計(jì)結(jié)果。

4 仿真分析

仿真參數(shù)設(shè)置：天線陣為陣元數(shù)N=16的正側(cè)視理想均勻線陣，陣元間距d=0.5λ。載機(jī)速度為120 m/s，雷達(dá)工作波長(zhǎng)為0.32 m，平臺(tái)高度為10 km，雷達(dá)距離分辨率為20 m，脈沖重復(fù)頻率為1500 Hz，相干處理脈沖數(shù)K=64，輸入信噪比SNR=0 dB，雜噪比CNR=50 dB。機(jī)動(dòng)目標(biāo)處于檢測(cè)單元內(nèi)，處于方位角90°處，初始速度為24.01 m/s，加速度為299.9 m/s，實(shí)驗(yàn)中假設(shè)目標(biāo)方位已知，該實(shí)驗(yàn)中估計(jì)參數(shù)均方根誤差均進(jìn)行了200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

圖4所示為雜波抑制前的功率譜，由于信雜比很低，信號(hào)完全被淹沒在雜波中。圖5為雜波抑制后的功率譜，可以看出雜波被抑制掉了，目標(biāo)突顯出來(lái)，由于目標(biāo)存在加速度，其在多普勒域存在一定的展寬。

圖6為不同方法能量積累效果圖，圖6(a)為對(duì)單個(gè)陣元進(jìn)行FRFT變換的結(jié)果，圖6(b)為對(duì)每個(gè)陣元的數(shù)據(jù)進(jìn)行FRFT變換后進(jìn)行非相干積累的結(jié)果，圖6(c)為利用本文方法處理后進(jìn)行FRFT的結(jié)果。通過(guò)比較可以看出，圖6(a)中由于只利用了單個(gè)陣元的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，所利用脈沖點(diǎn)數(shù)較少，因此積累后目標(biāo)能量很微弱，在圖中很難檢測(cè)到目標(biāo)。圖6(b)中雖然利用了多個(gè)陣元的數(shù)據(jù)，但由于是非相干積累，因此改善能力有限，仍然無(wú)法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行很好的檢測(cè)。圖6(c)中由于利用空間采樣來(lái)重構(gòu)時(shí)間采樣的方法拼接等效成一個(gè)陣元的數(shù)據(jù)后進(jìn)行FRFT變換，相當(dāng)于利用多個(gè)陣元的數(shù)據(jù)進(jìn)行相干積累，因此積累后的目標(biāo)能量大大提高，能夠很好地進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)和估計(jì)。

不同方法估計(jì)結(jié)果的均方根誤差如表1所示，可見本文方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果精度最高。

表1 不同方法估計(jì)結(jié)果比較表

圖7為3種方法估計(jì)得到的參數(shù)均方根誤差與CRB界的比較結(jié)果圖(機(jī)載雷達(dá)機(jī)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估值的CRB推導(dǎo)過(guò)程略)，其中圖7(a)為初始速度均方根誤差與CRB界的比較結(jié)果圖，圖7(b)為加速度均方根誤差與CRB界的比較結(jié)果圖?？梢钥闯霰疚姆椒ü烙?jì)性能最接近CRB界，估計(jì)效果最好，尤其在低信噪比的情況下，其優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖4 總回波的功率譜

圖5 雜波抑制后的功率譜

圖6 不同方法能量積累效果圖

圖7 參數(shù)均方根誤差隨信噪比變化曲線

表2給出了本文算法中各個(gè)步驟所需運(yùn)算量，其中Ns為估計(jì)協(xié)方差矩陣所需樣本數(shù)，prg表示做FRFT變換時(shí)階數(shù)p的搜索范圍[pc,pz],pc和pz為該范圍的初值和終值，Δp為階數(shù)p的搜索步長(zhǎng)，vrg表示初始速度的搜索范圍[vc,vz],vc和vz為該范圍的初值和終值，Δv為初始速度搜索步長(zhǎng)，arg表示加速度的搜索范圍[ac,az],ac和az為該范圍的初值和終值，Δa為加速度搜索步長(zhǎng)，K1和K2為解模糊時(shí)選取的不同脈沖點(diǎn)數(shù)，Nc為該方法中所需拼接的陣元數(shù)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于重構(gòu)時(shí)間采樣的空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)方法，該方法能夠在脈沖點(diǎn)數(shù)有限的情況下得到準(zhǔn)確的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)結(jié)果。文中將該方法的估計(jì)結(jié)果與直接應(yīng)用FRFT變換的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了比較，同時(shí)給出了其與CRB界比較的結(jié)果，可以看出，該方法的估計(jì)性能較之其它方法有了顯著的提高。

表2 本文算法中各個(gè)步驟所需運(yùn)算量分析結(jié)果

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