楊 鵬 楊 峰 聶在平 李 彪 唐先發(fā)

（1.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 611731；2.中國工程物理研究院電子工程研究所，四川 綿陽 621900）

引 言

在未來的通信和軍事應(yīng)用中，共形于載體表面的自適應(yīng)天線陣已越來越引起人們的廣泛興趣。相對于一般天線陣，自適應(yīng)共形陣有許多獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，如低剖面、易偽裝、靈活的波束控制和較強(qiáng)的抗干擾能力等［1-3］。然而，由于其結(jié)構(gòu)的特殊性，共形陣也存在許多尚待解決的問題。如在進(jìn)行寬角掃描時(shí)，由于載體的存在，對某些方向的來波信號，不是所有陣元都能接收到，即存在所謂的“暗區(qū)”，此時(shí)通常需要進(jìn)行陣元切換，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度。當(dāng)利用圓柱共形陣來進(jìn)行360°來波方向估計(jì)（DOA估計(jì)）時(shí)，由于預(yù)先不知道信號的位置，一般要求所有陣元都處于工作狀態(tài)，但由于僅有部分陣元能夠接收到信號，從而導(dǎo)致信號在該陣列上的導(dǎo)向矢量不完整。由于天線陣元共形于載體表面，陣元的方向圖無法設(shè)計(jì)為全向，即具有方向性。

目前大多數(shù)常用的高分辨率DOA估計(jì)方法，如干涉儀法［4］、多重信號分類法（MUSIC）類算法［5］、ESPRIT 類算法［6］等，都假設(shè)陣列導(dǎo)向矢量完整，即所有陣元都同時(shí)工作，且陣元方向圖為全向。對共形陣而言，由于存在上述問題，如果直接使用此類算法進(jìn)行DOA估計(jì)，往往會(huì)帶來較大誤差。利用基于子陣分割的 MUSIC算法［7］，可以有效克服上述問題。但由于經(jīng)典的MUSIC算法是基于空間譜搜索的，較慢的速度限制了其應(yīng)用。相比經(jīng)典MUSIC算法，ESPRIT和Root-MUSIC算法在保證相同精度的同時(shí)可以通過求解代數(shù)方程直接得出來波方向，無需空間譜搜索，效率較高，但ESPRIT和Root-MUSIC算法對陣列的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有特殊要求，一般只能應(yīng)用于均勻直線陣上。雖然，近年來有學(xué)者提出可以應(yīng)用在均勻圓陣上的基于模式空間變換的 UCA-RBMUSIC和 UCA-ESPRIT 算法［8］，但由于需要滿足周期性激勵(lì)條件，仍然無法應(yīng)用到一般的曲線共形陣中。通過子陣分割和虛擬內(nèi)插技術(shù)［9］，將ESPRIT算法和Root-MUSIC算法應(yīng)用在圓柱共形陣上，實(shí)現(xiàn)了基于共形陣的快速DOA估計(jì)，仿真結(jié)果證實(shí)了該方法的有效性。

1.子陣分割和虛擬內(nèi)插變換技術(shù)

圖1所示為一圓柱共形陣，假設(shè)陣元數(shù)為M，均勻分布在圓周上，如以圓心為參考點(diǎn)，則第m個(gè)陣元的坐標(biāo)為（r，βm），其中r為圓柱半徑，βm為該陣元所在位置的方位角，βm=2（m-1）π／M，m=1，2，…，M-1，M.設(shè)有p（p＜M）個(gè)不相關(guān)的同頻窄帶信號從遠(yuǎn)區(qū)φi（i=1，2，…，p）方向入射到該陣列上，信號與陣列同處于x-y平面，在某一時(shí)刻t，陣列接收到的數(shù)據(jù)可以表示為

圖1 16元圓柱共形陣，信號從φ＝π／2方向入射

式中:X（t）=［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T是整個(gè)陣列接收的數(shù)據(jù)向量；F=［f（φ1），f（φ2），…，f（φp）］為陣列方向圖矩陣，其中f（φi）=［f（φi-β1），f（φi-β2），…，f（φi-βM）］T，f（φ）為單個(gè)陣元的方向圖；S（t）為表征各個(gè)來波信號的復(fù)振幅矢量；N（t）=［n1（t），n2（t），…，nM（t）］T為加性白噪聲矢量；A=［a（φ1），a（φ2），…，a（φp）］為陣列流型矩陣，a（φi）（i=1，2，…，p）為第i個(gè)信號的導(dǎo)向矢量，a（φi）=［ejkrcos（φi-β1），ejkrcos（φi-β2），…，ejkrcos（φi-βM）］T，其中波數(shù)k=2π／λ，λ為信號波長。

假設(shè)有一窄帶信號由φ=π／2入射到如上所述陣元均勻分布的M（M=16）元圓柱共形陣上，由于圓柱載體的遮擋，只有1～9號陣元能接收到該信號，此信號在陣列上的導(dǎo)向矢量可以表示為

可見，金屬柱體的遮擋導(dǎo)致其余陣元接收不到信號，導(dǎo)致該信號的導(dǎo)向矢量不完整（其中的0元素）。此外，由于陣元存在方向性，各個(gè)天線對信號的響應(yīng)不同，其中5號陣元由于最大輻射方向正好在φ=π／2，響應(yīng)最強(qiáng)，而1號和9號則最弱。采取子陣分割的方法可以有效克服上述問題。

為了保持陣列導(dǎo)向矢量的完整性，可將陣列按每π／2一組劃分為若干子陣，1～5號陣元組成子陣一，3～7號陣元組成子陣二，依次類推。16個(gè)陣元共劃分為八個(gè)相同的圓弧陣，每個(gè)圓弧陣由5個(gè)陣元組成，這樣可以保證對任意角度的入射信號，總有一個(gè)子陣，其所有陣元都能接收到該信號。

由于基于代數(shù)求解的快速算法（ESPRIT和Root-MUSIC算法等）不能直接應(yīng)用于圓弧陣上，故可以考慮將這八個(gè)四分之一圓的弧形子陣應(yīng)用內(nèi)插技術(shù)變換成八個(gè)虛擬均勻直線陣。內(nèi)插變換的基本思想是將空間觀察區(qū)域進(jìn)行劃分，假設(shè)信號位于區(qū)域Φ內(nèi)，將區(qū)域Φ均分為

式中:φ1，φ2為該區(qū)域的左右邊界；Δφ為步長，則真實(shí)陣列的導(dǎo)向矢量經(jīng)過內(nèi)插后變?yōu)?/p>

由于是共形陣，因此這里考慮了有向陣元。在同一區(qū)域中，若存在另一個(gè)陣元為全向的虛擬陣列，其內(nèi)插后的陣列導(dǎo)向矢量為

期望找到一個(gè)變換矩陣B，滿足

當(dāng)然，不可能找到一個(gè)理想的B滿足上述關(guān)系。但可以通過優(yōu)化下式

來確定最佳變換矩陣B，式中‖·‖表示求Frobenius范數(shù)，（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置。如果該比值τ小于某一門限（如10-3），則接受該變換，否則可將觀察區(qū)域進(jìn)一步細(xì)分，或者調(diào)整虛擬陣列幾何結(jié)構(gòu)，直到滿足該條件為止。虛擬變換雖然運(yùn)算量大，但這是一個(gè)離線過程，可預(yù)先計(jì)算好并儲(chǔ)存在系統(tǒng)中。

為了精確地求得變換矩陣，需要注意三點(diǎn):首先內(nèi)插角度步長不可取的太稀疏，一般應(yīng)小于0.1度，較小的步長會(huì)導(dǎo)致內(nèi)插過程運(yùn)算量加大，但由于內(nèi)插變換是一個(gè)預(yù)處理過程，不必實(shí)時(shí)計(jì)算，故步長應(yīng)當(dāng)盡量取小一些。二是虛擬陣列不能和真實(shí)陣列相差太大，在選取虛擬陣列時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量使虛擬陣列在位置和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上接近真實(shí)陣列，可使變換誤差最小。圖2所示為待變換的真實(shí)圓弧陣和期望通過變換得到的虛擬均勻直線陣。

圖2 真實(shí)陣列和虛擬陣列

將三個(gè)真實(shí)的子陣通過內(nèi)插，變換為三個(gè)虛擬的均勻直線陣。通過優(yōu)化虛擬陣列的陣元間距d和陣列到原點(diǎn)的距離h來使得變換誤差τ最小。當(dāng)取內(nèi)插間隔Δφ=0.1，d=0.52λ，h=0.8λ時(shí)，τ約為8×10-4，可以接受該變換。第三是變換區(qū)域不能選擇太大，圖3所示為當(dāng)d和h取上述最優(yōu)值時(shí)變換區(qū)域的大小與變換誤差的關(guān)系，可見，當(dāng)觀測區(qū)域大于60°時(shí)，誤差迅速上升，一般最大變換區(qū)域不應(yīng)超過60°.對如圖1所示的圓柱共形陣，可以選取每個(gè)子陣的內(nèi)插區(qū)域?yàn)殛嚵蟹ň€方向±π／8，即子陣一（1～5號陣元）的內(nèi)插區(qū)域?yàn)椋郐校?，3π／8］，子陣二（3～7號陣元）的內(nèi)插區(qū)域?yàn)?，依次類推?60°方位角共可分為八個(gè)均勻的內(nèi)插區(qū)間，八個(gè)內(nèi)插區(qū)間也是八個(gè)虛擬陣列的DOA估計(jì)區(qū)間。對于均勻直線陣來說，陣列法線方向±π／8是最佳測量區(qū)間。

圖3 變換區(qū)域和變換誤差的關(guān)系

經(jīng)過上述子陣分割和虛擬變換后，真實(shí)陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為［10］

式中:=XXH／K，K 為快拍數(shù)；=F·A；為信號的自協(xié)方差矩陣；σ2I為白噪聲功率，則虛擬陣列的協(xié)方差矩陣為

由于BHB≠I，故應(yīng)對式（9）進(jìn)行預(yù)白化，即變換矩陣變?yōu)?/p>

此時(shí)有TTH=I.圓柱共形陣的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣就變換為了虛擬均勻直線陣的協(xié)方差矩陣。經(jīng)過這樣處理后，所有可以應(yīng)用在均勻直線陣上的DOA估計(jì)算法都可以應(yīng)用在共形陣上。為了證明該方法的通用性，采用了ESPRIT算法和Root-MUSIC算法進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.仿真算例

對圖1所示16元均勻圓柱共形陣，圓柱半徑r=λ／（4πM），陣元的極化方向?yàn)閳A柱軸向（即z軸方向）。假設(shè)有兩個(gè)與陣列共面（x-y），極化方向相同，且不相關(guān)的同頻窄帶信號分別從φ=40°和φ=90°方向入射到陣列上，快拍數(shù)為128，噪聲為0均值、方差為1的高斯白噪聲，其它參數(shù)采用前述的優(yōu)化結(jié)果。為了簡化計(jì)算，僅對1～9號陣元進(jìn)行變換，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)100次。在仿真過程中，不失一般性，假設(shè)陣元方向圖具有cosφ的形狀，即第m個(gè)陣元對φi方向入射信號的響應(yīng)為cos（φi-βm）.

圖4和圖5為兩信號分別在子陣一和子陣二上使用兩種算法估計(jì)出的角度和真實(shí)入射角的均方差隨SNR的變化關(guān)系。從圖中可以看出，對入射信號1（φ=40°），因?yàn)樘幵谧雨囈坏挠^測區(qū)域［π／8，3π／8］內(nèi)，故子陣一對該信號的估計(jì)性能要好一些。子陣二的估計(jì)信能較差，是因?yàn)樽雨嚩械?號陣元接收不到該信號，導(dǎo)致信號1在子陣二上導(dǎo)向矢量不完整。兩種算法的性能基本相當(dāng)，當(dāng)SNR＞5dB時(shí)，能保證估計(jì)誤差在1°以內(nèi)。同理，對信號2（φ=90°），子陣二的估計(jì)性能較好，是因?yàn)樵撔盘柼幱谧雨嚩姆ň€方向，且位于陣元5的最大輻射方向上。當(dāng)SNR＞0dB時(shí)，兩種算法的估計(jì)誤差均不超過1°.雖然信號2在子陣一的觀測區(qū)域外，但由于在子陣一上導(dǎo)向矢量是完整的（因?yàn)?～5號陣元均能接收到），因此，子陣一對信號2的估計(jì)性能要優(yōu)于子陣二對信號1的估計(jì)性能。由仿真結(jié)果和以上討論得知，對信號1，接受子陣一的估計(jì)結(jié)果，對信號2，接受子陣二的估計(jì)結(jié)果。同時(shí)，ESPRIT算法和Root-MUSIC算法均獲得了大致相同的估計(jì)精度，證明了該方法的通用性。

3.結(jié) 論

給出了一種在共形陣上進(jìn)行DOA估計(jì)的快速而準(zhǔn)確的方法。該方法利用子陣分割和虛擬內(nèi)插變換，將圓柱共形陣變換為若干虛擬直線陣，利用ESPRIT算法和Root-MUSIC算法獲得較高的估計(jì)精度和速度。此方法克服了共形陣在DOA估計(jì)中由于載體遮擋造成的信號導(dǎo)向矢量不完整以及陣元方向圖指向不一致帶來的問題，并容易推廣到一般結(jié)構(gòu)的曲線或曲面共形陣上，具有普適性和較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

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