王開永 林金官

(1東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京 210096)

(2蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，蘇州 215009)

帶常利率相依風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率

王開永1，2林金官1

(1東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京 210096)

(2蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，蘇州 215009)

為了得到帶常利率相依風(fēng)險(xiǎn)模型的風(fēng)險(xiǎn)度量，用概率極限理論及隨機(jī)過(guò)程的方法得到了上述模型有限時(shí)破產(chǎn)概率的漸近估計(jì).采用有限時(shí)破產(chǎn)概率的加權(quán)表達(dá)式、加權(quán)和的一致漸近性質(zhì)及相依結(jié)構(gòu)的處理方法研究了索賠額之間的相依性、索賠來(lái)到時(shí)間間隔的相依性及索賠額的分布對(duì)帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率的影響.結(jié)果表明:對(duì)于索賠額的分布屬于控制變化尾分布族、索賠額之間具有類似漸近獨(dú)立的相依結(jié)構(gòu)及索賠來(lái)到時(shí)間間隔具有寬相依結(jié)構(gòu)時(shí)，帶常利率的風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率呈現(xiàn)出一定的漸近性質(zhì)，此漸近性質(zhì)與索賠額的分布、常利率、初始資本及時(shí)間范圍有關(guān).當(dāng)考慮的時(shí)間范圍及索賠量變大時(shí)，將增加有限時(shí)破產(chǎn)概率的上下界;當(dāng)常利率及初始資本變大時(shí)，將減小有限時(shí)破產(chǎn)概率的上下界.但索賠額及索賠來(lái)到時(shí)間間隔的相依性對(duì)有限時(shí)破產(chǎn)概率的影響不大.

相依風(fēng)險(xiǎn)模型;有限時(shí)破產(chǎn)概率;控制變化尾;漸近性

在風(fēng)險(xiǎn)理論的研究中，人們建立了各種不同的風(fēng)險(xiǎn)模型來(lái)刻畫各種保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，本文將重點(diǎn)考慮帶常利率的風(fēng)險(xiǎn)模型.早期的研究大都考慮獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)模型，但隨著研究的深入及實(shí)際問(wèn)題的出現(xiàn)，人們逐漸開始研究相依的風(fēng)險(xiǎn)模型，本文則考慮一類比較寬泛的相依結(jié)構(gòu).在上述模型下，本文將給出有限時(shí)破產(chǎn)概率的漸近估計(jì).

1 相依重尾風(fēng)險(xiǎn)模型

1.1 帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型

本文將考慮一帶常利率的風(fēng)險(xiǎn)模型.在此模型中，索賠額Xk，k≥1為一列同分布的隨機(jī)變量，它們具有共同的分布F及某一相依結(jié)構(gòu).索賠來(lái)到的時(shí)間間隔θk，k≥1為另一列同分布的隨機(jī)變量，它們具有另一相依結(jié)構(gòu)且θ1非退化于0點(diǎn).索賠陸續(xù)來(lái)到的時(shí)刻構(gòu)成一個(gè)準(zhǔn)更新記數(shù)過(guò)程，其中，1A為事件A的示性函數(shù).記更新函數(shù)為λ(t)=EN(t)，t≥0，且假設(shè)對(duì)任意0＜t＜∞，λ(t)＜∞.設(shè)Λ={t:λ(t)＞0}.

到時(shí)刻t≥0為止總保費(fèi)記為C(t)，其為一個(gè)非負(fù)不降的隨機(jī)過(guò)程，其中約定C(0)=0且對(duì)任意0≤t＜∞，C(t)＜∞幾乎處處成立(a.s.).假設(shè){Xk，k≥1}，{θk，k≥1}及{C(t)，t≥0}是彼此獨(dú)立的.設(shè)0≤δ＜∞為一個(gè)常利率，即時(shí)間t以后資本y會(huì)變?yōu)閥eδt.設(shè)0≤x＜∞為一保險(xiǎn)公司的初始資本.從而，到時(shí)刻0≤t＜∞為止總的儲(chǔ)備記為Uδ(x，t)，滿足

式中為到時(shí)刻0≤t＜∞為止的總索賠量，當(dāng)N(t)=0時(shí)約定S(t)=0.因此，對(duì)任給定的T≥0，在時(shí)間段［0，T］內(nèi)的有限時(shí)破產(chǎn)概率定義為［1］

本文將在索賠額Xk，k≥1和索賠來(lái)到的時(shí)間間隔θk，k≥1分別具有某一相依結(jié)構(gòu)且索賠額分布F屬于控制變化尾時(shí)，討論有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ(x，T)的漸近性.為此，下面將介紹一些隨機(jī)變量的相依結(jié)構(gòu)及一些常見(jiàn)重尾分布族，然后給出本文主要結(jié)果.

1.2 隨機(jī)變量的相依結(jié)構(gòu)

Wang 等［2］在討論 ψ(x，T)的漸近性時(shí)，介紹了一類比較寬泛的隨機(jī)變量的相依結(jié)構(gòu).

定義1 對(duì)于隨機(jī)變量{ξn，n≥1}，若存在一有限實(shí)數(shù)列{gU(n)，n≥1}使得對(duì)每一個(gè)n≥1及所有xi∈(－ ∞ ，∞)，1≤i≤n，有

則稱隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為寬上象限相依(WUOD);若存在一有限實(shí)數(shù)列{gL(n)，n≥1}使得對(duì)每個(gè)n≥1 及所有xi∈(－ ∞，∞)，1≤i≤n，有

則稱隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為寬下象限相依(WLOD);進(jìn)而，若{ξn，n≥1}既為 WUOD 又為WLOD，則稱隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為寬象限相依(WOD).

在式(2)、(3)中，若gU(n)=gL(n)≡1，n≥2，則分別稱隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為負(fù)上象限相依(NUOD)及負(fù)下象限相依(NLOD);若隨機(jī)變量{ξn，n≥1}既為 NUOD 又為 NLOD，則稱隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為負(fù)象限相依(NOD)［3-4］.若對(duì)所有正整數(shù)i≠j，隨機(jī)變量 ξi與 ξj為 NOD，則稱隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為兩兩負(fù)象限相依(NQD)或兩兩NOD［5］.

由WUOD及WLOD的定義，文獻(xiàn)［2］給出了關(guān)于WUOD及WLOD隨機(jī)變量的一些性質(zhì).

命題11)設(shè)隨機(jī)變量{ξn，n≥1}為 WLOD(或 WUOD)，若{fn(·)，n≥1}為非降函數(shù)，則{fn(ξn)，n≥1}仍為 WLOD(或 WUOD);若{fn(·)，n≥1}為非增函數(shù)，則{fn(ξn)，n≥1}為WUOD(或 WLOD).

2)若{ξn，n≥1}為非負(fù) WUOD 隨機(jī)變量，則對(duì)每一個(gè)n≥1，

本文將考慮索賠額滿足如下相依結(jié)構(gòu)，它是由Geluk 和 Tang［6］引入的.

假設(shè)1 對(duì)于隨機(jī)變量{ξn，n≥1}，對(duì)所有1≤i≠j＜∞，

此概念與 Maulik和 Resnick［7］所提出的漸近獨(dú)立有關(guān).由定義可發(fā)現(xiàn)，非負(fù)WUOD隨機(jī)變量及兩兩NOD隨機(jī)變量都滿足假設(shè)1.

1.3 常見(jiàn)重尾分布族

本文將考慮索賠額分布為重尾分布的情形.為此，本節(jié)將介紹一些常見(jiàn)的重尾分布族.

1.4 主要結(jié)果

在上述帶利率的風(fēng)險(xiǎn)模型中，當(dāng)索賠額Xk，k≥1及索賠來(lái)到時(shí)間間隔θk，k≥1分別為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量時(shí)，此帶利率風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)得到了廣泛研究［1，12-13］.

當(dāng)索賠額Xk，k≥1及索賠來(lái)到時(shí)間間隔θk，k≥1分別具有某種相依結(jié)構(gòu)時(shí)，對(duì)有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ(x，T)也有一些相關(guān)研究.Li等［14］考慮了索賠額Xk，k≥1為兩兩NOD隨機(jī)變量，其共同的分布，索賠來(lái)到時(shí)間間隔 θk，k≥1為NLOD且過(guò)程{C(t)，t≥0}為一線性過(guò)程的情形.

對(duì)于一般的隨機(jī)過(guò)程{C(t)，t≥0}及{N(t)，t≥0}是一延遲更新計(jì)數(shù)過(guò)程時(shí)，Yang和 Wang［15］的Theorem 2.1也得到了上述結(jié)果.

Kong 和 Zong［16］則考慮了索賠額Xk，k≥1 為NOD隨機(jī)變量，其共同的分布，索賠來(lái)到時(shí)間間隔θk，k≥1為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量且具有共同指數(shù)分布的情形.

文獻(xiàn)［2］則考慮了索賠額Xk，k≥1為 WUOD隨機(jī)變量，其共同的分布，且索賠來(lái)到時(shí)間間隔θk，k≥1為WLOD隨機(jī)變量的情形，得到了有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ(x，T)的一致漸近性.

本文將考慮如下2個(gè)方面的問(wèn)題:

1)由于假設(shè)1包含了非負(fù)WUOD隨機(jī)變量及兩兩NOD隨機(jī)變量，本文將對(duì)索賠額Xk，k≥1滿足假設(shè)1的情形討論有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ(x，T)的漸近性.

2)文獻(xiàn)［2］討論了索賠額分布有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ(x，T)的漸近性.但

的 真 子 集 (見(jiàn) Embrechts 等［17］的 Example 1.4.2).本文則考慮的情形.

對(duì)上述2個(gè)問(wèn)題，本文所得主要結(jié)果如下.

定理1 在上述風(fēng)險(xiǎn)模型中，設(shè)索賠額Xk，k≥1為滿足假設(shè)1的隨機(jī)變量，其共同的分布F∈且，索賠來(lái)到時(shí)間間隔θk，k≥1為WLOD隨機(jī)變量且滿足對(duì)任意ε＞0，

注1 1)定理1將文獻(xiàn)［2］中的Theorem 1.1的索賠額Xk，k≥1的相依結(jié)構(gòu)推廣到了滿足假設(shè)1的情形.同時(shí)將索賠額分布F的范圍由

又設(shè)對(duì)某個(gè)0＜T0＜∞有p0=P(Y1≤T0)＞0，則對(duì)任T≥T0，族推廣到了族，但僅得到了有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ(x，T)的弱漸近等價(jià)表達(dá)式.

2)定理1推廣了文獻(xiàn)［14］的Theorem 1中F∈的情形的結(jié)果.

2 定理1的證明

首先給出一些引理.對(duì)任n(n≥1)個(gè)實(shí)數(shù).對(duì)于下面的引理，文獻(xiàn)［2］的Lemma 2.3討論了WUOD隨機(jī)變量且分布屬于∩的情形.

引理1 設(shè)n為一正整數(shù)，ξk，1≤k≤n為非負(fù)隨機(jī)變量，滿足對(duì)任 1≤i≠j≤n，式(4)成立.a，b為任給定的正常數(shù)且a≤b，則

又若ξk，1≤k≤n為同分布的隨機(jī)變量，其共同的分布，則

證明 由式(4)知，對(duì)任 ε＞0，存在y0＞0使得對(duì)任 1≤i≠j≤n，當(dāng)xi＞y0且xj＞y0時(shí)，

從而由式(10)知，對(duì)任1≤i≠j≤n，當(dāng)x/b＞y0時(shí)，對(duì)一致有

從而由Bonferroni不等式知

另一方面，取一正數(shù)L使得L/((n－1)b)＞y0.從而對(duì)任x＞0，

從而，由式(11)～(13)知式(9)成立.

由引理1可得下面的引理.對(duì)于此引理，文獻(xiàn)［1］的Lemma 3.6討論了索賠額為獨(dú)立的情形;文獻(xiàn)［15］的 Lemma 3.5則討論了索賠額為兩兩NOD的情形.下面的引理討論了索賠額滿足假設(shè)1的情形.

引理2 在上述風(fēng)險(xiǎn)模型中，若索賠額Xk，k≥1為滿足假設(shè)1的隨機(jī)變量，其共同的分布F∈.Z為任一非負(fù)隨機(jī)變量且與所有隨機(jī)變量獨(dú)立，則對(duì)任0＜T＜∞及任給定k≥1，

而由文獻(xiàn)［15］的式(3.15)～(3.17)知對(duì)任1≤j≤k及充分大x，有

從而由式(15)可知式(14)成立.

下面證明定理1.

證明 將采用文獻(xiàn)［1］的方法證明ψ(x，T)的下界.由條件知對(duì)任從而，由式(1)、引理2 及Fubini定理知，對(duì)任待定的正整數(shù)m0，當(dāng)x充分大時(shí)，

而由Markov不等式及命題1知，對(duì)任x＞0，

由于 θ1非退化于 0 點(diǎn)，則 0 ＜Ee－θ1＜1.從而由式(7)知，對(duì)任 ε ＞0，存在m0＞0，使得

所以，對(duì)任x＞0及上述m0，

從而，由式(16)、(17)及ε的任意性知

下面證明ψ(x，T)的上界.對(duì)任待定的正整數(shù)n0，任0＜θ＜1/2及x＞0，

先估計(jì)J3(x).將采用Chen 和Ng［18］的方法證明.對(duì)任正整數(shù)n，使得，有

類似地，當(dāng)x＞D1時(shí)，

從而，由式(7)知

從而，由式(19)～(21)知

由于p0=P(Y1≤T0)＞0，從而對(duì)任T≥T0，

從而對(duì)任 ε ＞0，由式(22)、(23)及F∈知，存在n0＞0，對(duì)充分大x有

所以，在式(18)中取式(24)中的n0，當(dāng)x充分大時(shí)，

對(duì)于J2(x)，由引理1知，當(dāng)x充分大時(shí)

所以，由式(18)、(25)、(26)及 ε 的任意性知

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Finite-time ruin probability of dependent risk model with constant interest rate

Wang Kaiyong1，2Lin Jinguan1

(1Department of Mathematics，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou 215009，China)

In order to obtain the risk measure of a dependent risk model with a constant interest rate，the asymptotic estimates of the finite-time ruin probability are obtained for the above model by using the probability limiting theory and stochastic process.Applying the weighted formula of the finite-time ruin probability，the uniform asymptotics of the weight sums and the way dealing with the dependence structures，the effects of the dependence of the claim sizes，the dependence of the inter-arrival times and the distribution of the claim sizes on the finite-time ruin probability of the risk model with a constant interest rate are investigated.The obtained results show that when the claim sizes have a dominated varying-tailed distribution and a dependence structure similar to the asymptotic independence and the inter-arrival times have a wide dependence structure，the finite-time ruin probability of the risk model with a constant interest rate has some asymptotic properties.These asymptotics have relations with the distribution of the claim sizes，the constant interest rate，the initial capital，and the time range.With the increase in the time range and the claim sizes，the upper and lower bounds of the finite-time ruin probability will increase;with the increase in the constant interest rate and the initial capital，the upper and lower bounds of the finite-time ruin probability will decrease.However，the dependence structures of the claim sizes and the inter-arrival times have little effect on the finite-time ruin probability.

dependent risk model;finite-time ruin probability;dominated varying tail;asymptotics

O211.4

A

1001－0505(2012)06-1243-06

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.040

2012-06-20.

王開永(1979—)，男，博士，講師;林金官(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，jglin@seu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071182，11171065)、國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11226211)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK2012165，BK2011058)、中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012M520963)、蘇州科技學(xué)院院科研基金資助項(xiàng)目.

王開永，林金官.帶常利率相依風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，42(6):1243-1248.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.06.040］