詹森

（廣東技術(shù)師范學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣 州 510665）

構(gòu)造高階f次幻方的加法

詹森

（廣東技術(shù)師范學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)系，廣東 廣 州 510665）

給出構(gòu)造高階f（=1，2，…為自然數(shù)）次幻方的加法，并證明兩個f次幻方的和仍是一個f次幻方；兩個f次完美幻方的和仍是一個f次完美幻方.

幻方；加法；f次幻方；f次完美幻方

將一個幻方中的每個數(shù)都取2，3，…次冪，一般來說，所得相應(yīng)的方陣不是幻方.如果一個幻方中的每個數(shù)都取遍f（f=1，2，…為自然數(shù)）次冪，所得相應(yīng)的方陣仍然是幻方，則稱這個幻方為f次幻方[1].若相應(yīng)的方陣仍然是完美幻方，則稱這個幻方為f次完美幻方.一次幻方就是常見的幻方.構(gòu)造f次幻方是一件很困難的事，構(gòu)造低階f次幻方就更困難，這是世界上幻方研究者正在努力攻克的難題，2003年2月，高治源和潘鳳雛合作編出2個12階3次幻方，為下文方便，將其中一個幻方[2]記為CH.目前12階3次幻方仍是最低階高次幻方的世界記錄.

1 構(gòu)造高階幻方加法的定義

根據(jù)文[3]構(gòu)造高階幻方的加法，我們可以利用兩個已知的低階f次幻方構(gòu)造高階f次幻方.

設(shè)給定m階幻方為A，n階幻方為B.以a（i，j）（i，j=1，2，…，m）表示幻方A的元素；以b（h，k）（h，k=1，2，…，n）表示幻方B的元素.我們利用幻方A、B構(gòu)造一個mn階幻方C，其待定的元素為c（i，j）（i，j=1，2，…，mn），這里C是用m個n2階子幻方C（i，j）（簡記 Cij=C（i，j）（i，j=1，2，…，m））安裝而成，即令

其中這些子幻方Cij按如下步驟計算：

第一步：設(shè)一個n階方陣為

則（-1）I是方陣I的每一個元素乘以（-1）所得的n階方陣.將B與（-1）I的對應(yīng)元素相加，它們的和記為，其元素為 b（h，k）-1（h，k=1，2，…，n），顯然，仍是一個n階幻方.

第二步：的每一個元素乘以m（2可歸結(jié)為m2個相加）得的方陣記為，即

它的第h行，第k列元素為

顯然，仍是一個n階幻方.

第三步：由A的元素a（i，j）（i，j=1，2，…，m）構(gòu)造n階方陣如下：

為了方便起見，把一個方陣中所有元素都等于同一個數(shù)的方陣稱為同元方陣，A（iji，j=1，2，…，m）都是同元方陣.令Cij=+Aij，則

幻方所有元素加同一個a（i，j）得到C（iji，j=1，2，…，m），它的元素為

每一個Cij（i，j=1，2，…，m）都是n階幻方.把這些幻方安裝入（1）中，就得到一個方陣C，這就是所要構(gòu)造的mn階幻方.

我們把以上運算稱為兩個幻方的加法，以⊕表示，A⊕B表示A與B的和（幻方），記C=A⊕B.

這里注意：子幻方C（i，j）位于其第h行、第k列的元素是（b（h，k）-1）m2+a（i，j）（h，k=1，2，…，n）；方陣C的位于第sn+h行，第tn+k列的元素為子幻方C（s+1，t+1）的第h行、第k列的元素：

2 高階f幻方的證明

根據(jù)以上的加法得：

定理1 設(shè)給定的m階幻方A，n階幻方B都是f（f=1，2，…為自然數(shù)）次幻方，則 m n階幻方A⊕B=C亦是f次幻方.

證明 為方便起見，把幻方A中各元素（ff=1，2，…為自然數(shù)）次冪所得幻方的幻方常數(shù)記為Af，把幻方B中各元素（ff=1，2，…為自然數(shù)）次冪所得幻方的幻方常數(shù)記為Bf.

1）先證幻方是（ff=1，2，…為自然數(shù)）次幻方，以b1，b2，…，bn表示B的所關(guān)注的任一行，任一列，或任一對角線的元素，則（b1）f+（b2）f+…+（bn）f=Bf.因的元素為 b（ h，k）-1（h，k=1，2，…，n），顯然，中各元素（ff=1，2，…為自然數(shù)）次冪所得幻方的對應(yīng)的行，列，對角線的元素的和為

為一常數(shù)，所以幻方是（ff=1，2，…為自然數(shù)）次幻方.以m2乘的所有元素得幻方，顯然幻方亦是（ff=1，2，…為自然數(shù)）次幻方.把幻方中各元素（ff=1，2，…為自然數(shù)）次冪所得幻方的幻方常數(shù)記為.為表述方便起見，以(h,k)表示的第h行，第k列元素-b（h，k）=（b（h，k）-1）m（2h，k=1，2，…，n）.

幻方所有元素加同一個a（i，j）得到C（iji，j=1，2，…，m），C（i，j）位于其第h行、第k列的元素為（h，k）+a（i，j）=（b（h，k）-1）m2+a（i，j）（h，k=1，2，…，n）；C的位于第sn+h行，第tn+k列的元素為子幻方C（s+1，t+1）的第h行、第k列的元素：a（s+1，t+1）+（h，k）=a（s+1，t+1）+（b（h，k）-1）m（2s，t=0，1，…，m-1；h，k=1，2，…，n）.

2）證明幻方C是（ff=1，2，…為自然數(shù)）次幻方.

是一常數(shù)，以Df表之.即幻方C各行的元素f方之和都等于常數(shù)Df.同理可證C的各列元素的f方之和亦等于常數(shù)Df.

C的位于由左下角至右上角方向?qū)蔷€上的元素，由幻方C（1，m），C（2，m-1），…，C（m，1），的相同方向?qū)蔷€上的元素所組成.C（i，m-i+1）（i=1，2，…，m）的該方向?qū)蔷€上的元素f方之和為

由此C的位于由左下角至右上角方向?qū)蔷€上的元素f方之和為

即幻方C的由左下角至右上角方向?qū)蔷€上元素f方之和等于常數(shù)Df.同理可證C的位于由左上角至右下角方向?qū)蔷€上元素f方之和等于常數(shù)Df.

也就是說幻方C中元素取f次冪仍為幻方，這個新的幻方的幻方常數(shù)是Df.由此定理得證.

推論 m階k1次幻方與n階k2次幻方的和是mn階t次幻方，這里t是k1與k2中之較小者.

例 用上述幻方CH構(gòu)造144階3次幻方.

文[1]的幻方CH見圖1.

圖1 幻方CHFig.1Magic squre CH

根據(jù)定理1，令A(yù)=B=CH，則A⊕B=A⊕A=CH⊕CH是一個144階3次幻方（略）.

定理2 設(shè)給定的m階幻方A，n階幻方B都是f（f=1，2，…為自然數(shù)）次完美幻方，則mn階幻方A⊕B=C亦是f次完美幻方.

證明 為方便起見，使用定理1的記號，以b1，b2，…，bn表示B的所關(guān)注的任一行，任一列，任一對角線或任一泛對角線的元素，由于已有定理1，我們只須就完美性進(jìn)行證明即可.

下面考慮幻方C中與由左上角至右下角對角線相同方向的泛對角線，由文[1]知，過C的元素c（sn+h，1）（s=0，1，…，m-1；h=1，2，…，n）的泛對角線.

當(dāng)h=1時，該泛對角線的元素由子幻方

同向?qū)蔷€上的元素所組成，這些元素f次方之和為

當(dāng)h=2，3，…，n時，該泛對角線穿越子幻方

以及子幻方

該泛對角線的元素f次冪之和為

由此證得，幻方C中任一條與由左上角至右下角對角線方向相同的泛對角線，其上的元素f次方后之和都等于常數(shù)Df.

同理可證，幻方C中任一條與由左下角至右上角對角線方向相同的泛對角線，其上的元素f次方后之和都等于常數(shù)Df.

綜上所述mn階幻方A⊕B=C亦是f（f=1，2，…為自然數(shù)）次完美幻方.

推論 m階k1次完美幻方與n階k2次完美幻方的和是mn階t次完美幻方，這里t是k1與k2中之較小者.

目前，已知的較低階f次完美幻方是32階2次完美幻方，可以根據(jù)定理2構(gòu)造出1024階2次完美幻方.

[1]詹森.你亦可以造幻方[M].北京:科學(xué)出版社,2012:198-208.

[2]吳鶴齡.幻方及其他[M].北京:科學(xué)出版社,2004:150-153.

[3]詹森,王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,22(3):250-254.

責(zé)任編輯：黃 瀾

Addition Method of Building High Orders f-multi Magic Square

ZHAN Sen
（Department of Computer Science,Guangdong Technical Normal University，Guangzhuo 510665，China）

The addition method that can be used to build high orders f-multi magic square was given.Two theorems were proved:Add up two f-multi magic squares and you would get another f-multi magic square;This new f-multi mag?ic square would be f-multi perfect magic square if they are f-multi perfect magic squares.

magic square；addition；f-multi magic square；f-multi perfect magic square

O 157.6

A

1674-4942（2012）03-0263-05

2012-05-09