游 進(jìn)，孟 光，李鴻光

(1.中國(guó)空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094;2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

出于經(jīng)濟(jì)性要求和減重的考慮，很多產(chǎn)品結(jié)構(gòu)(如汽車(chē)、船舶、航空航天器等)采用很多輕薄構(gòu)件，使得這類(lèi)結(jié)構(gòu)的中高頻減振降噪問(wèn)題顯得較為突出。目前廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)聲振響應(yīng)的成熟手段主要包括以力和位移為基本變量的有限元/邊界元法［1－2］，以及以能量為研究變量的統(tǒng)計(jì)能量分析法［3－6］(Statistical Energy Analysis，SEA)。對(duì)于傳統(tǒng)的有限元/邊界元法，由于結(jié)構(gòu)在中高頻上的模態(tài)波長(zhǎng)很小，聲振響應(yīng)建模分析需要?jiǎng)澐址浅＜?xì)密的網(wǎng)格，造成計(jì)算成本過(guò)高。此外，中高頻上，結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件及載荷的細(xì)微變化均會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)造成顯著影響，傳統(tǒng)的有限元/邊界元法作為一種確定性方法，其計(jì)算結(jié)果只能視為聲振系統(tǒng)所有可能動(dòng)力響應(yīng)集合的一個(gè)樣本，這進(jìn)一步反映出有限元/邊界元在中高頻應(yīng)用上的局限性。SEA法基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的模態(tài)方法提出，以耦合結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)的空間及頻率平均總能量為基本研究變量，并從能量存儲(chǔ)、傳遞和耗散的角度來(lái)描述結(jié)構(gòu)的動(dòng)力行為。SEA采用集總參數(shù)模型，所建立的模型規(guī)模較小，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，只需用一組線性代數(shù)方程便可反映耦合子系統(tǒng)間的能量平衡關(guān)系，求解方程便可得到所有子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量，因而方法的計(jì)算效率很高。經(jīng)典SEA法的不足之處在于其引入的假設(shè)過(guò)于苛刻，因此一直以來(lái)都有學(xué)者質(zhì)疑其合理性［7－9］，同時(shí)這些假設(shè)也將SEA法的適用范圍限制在高頻區(qū)域。

為克服現(xiàn)有動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)方法的局限性，學(xué)者們基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的波動(dòng)方法提出了能量流分析法(Energy Flow Analysis，EFA)。能量流分析法基于對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播波功率流傳遞特性的認(rèn)識(shí)，以在時(shí)間和波長(zhǎng)距離上平均的能量密度及功率流作為其基本研究變量。通過(guò)利用三個(gè)基本關(guān)系，即:① 簡(jiǎn)化的功率流－能量密度關(guān)系;② 損耗功率－能量密度關(guān)系;③ 微元體的能量守恒，可以導(dǎo)出能量流分析法的控制微分方程。能量流分析法以能量密度為變量，因此可以反映動(dòng)力響應(yīng)在耦合子系統(tǒng)空間上的分布情況，這與SEA作為集總參數(shù)方法只能提供子系統(tǒng)的平均總能量相比，具有很大的優(yōu)越性。從應(yīng)用的角度，能量流分析法可以方便地利用有限元法基于聲振系統(tǒng)的幾何模型對(duì)能量密度場(chǎng)進(jìn)行建模求解，相比于SEA不關(guān)注子系統(tǒng)的幾何模型細(xì)節(jié)及載荷位置等信息，能量流分析法可充分地反映幾何特征及載荷位置等對(duì)聲振系統(tǒng)動(dòng)響應(yīng)的影響。由于能量流分析法實(shí)用上有很大的優(yōu)點(diǎn)且方法引入的假設(shè)條件較少，因此受到很大的關(guān)注，提出至今獲得了很大的發(fā)展，本文基于能量流分析法理論及應(yīng)用研究的相關(guān)文獻(xiàn)，系統(tǒng)回顧能量流分析法的發(fā)展過(guò)程，提煉該方法的理論框架并說(shuō)明其研究進(jìn)展。

1 基本能量流分析方程的發(fā)展

俄羅斯的一些學(xué)者最早從考慮能量密度和功率流在結(jié)構(gòu)內(nèi)分布的角度來(lái)研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題［10－14］。在這些有關(guān)結(jié)構(gòu)內(nèi)能量流傳遞特性的早期研究中，結(jié)構(gòu)中不同類(lèi)型的傳播波被假定為互不相干且它們的能量可以疊加，從而導(dǎo)出了類(lèi)似于熱傳導(dǎo)的描述結(jié)構(gòu)內(nèi)能量流分布的微分方程:

Wohlever等［16］針對(duì)縱向振動(dòng)桿和橫向振動(dòng)梁進(jìn)一步研究了穩(wěn)態(tài)振動(dòng)結(jié)構(gòu)內(nèi)的能量傳遞特性與熱傳導(dǎo)問(wèn)題的類(lèi)比性，并揭示了導(dǎo)出能量流分析微分方程所做近似假設(shè)的物理含義。假定桿內(nèi)存在相向傳播的縱波，在小阻尼條件下，由振動(dòng)位移解導(dǎo)出的相向傳播波的功率流和能量密度的解析式表明，功率流與能量密度的梯度成正比，能量由高能量密度區(qū)域流向低能量密度區(qū)域，即:

式中，q表示同時(shí)存在正負(fù)向傳播波的桿內(nèi)功率流。式(2)在桿上任意一點(diǎn)均成立，不需做任何假設(shè)。對(duì)于梁的彎曲振動(dòng)，由位移解導(dǎo)出的功率流與能量密度解析式表明，類(lèi)似于式(2)的規(guī)律在任意點(diǎn)上并不準(zhǔn)確成立，只有忽略了彎曲振動(dòng)的近場(chǎng)項(xiàng)并將功率流與能量密度在一個(gè)波長(zhǎng)的局部空間范圍上進(jìn)行平均，才可得到如式(2)的功率傳遞特性表達(dá)式。在波長(zhǎng)距離上對(duì)解析能量密度和功率流進(jìn)行平均是一種重要的概念，因?yàn)榻?jīng)過(guò)空間周期平均后，相同頻率的相向傳播波的能量密度和功率流等能量變量可以進(jìn)行疊加，從而使得從能量角度來(lái)理解振動(dòng)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。由于這種空間上的周期平均不涉及其它前提假設(shè)，因而實(shí)質(zhì)上反映了結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)場(chǎng)傳播波穩(wěn)態(tài)功率傳遞特性的一般規(guī)律。

基于對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)功率流傳遞基本規(guī)律的認(rèn)識(shí)，Bouthier等［17－20］求得了板彎曲振動(dòng)和張緊膜在時(shí)間及波長(zhǎng)距離上平均的功率流及能量密度表達(dá)式，同時(shí)也導(dǎo)出了相應(yīng)的能量微分方程:

式中:cg為二維結(jié)構(gòu)相應(yīng)傳播波的群速，x為二維結(jié)構(gòu)任意點(diǎn)的位置矢量。上式的導(dǎo)出利用了二維結(jié)構(gòu)內(nèi)相向平面彎曲波及壓縮波的如下簡(jiǎn)化功率流傳遞特性:

式中，q為二維結(jié)構(gòu)內(nèi)的功率流矢量。板的彎曲振動(dòng)及張緊膜的能量方程均通過(guò)與從結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)用模態(tài)分析法解得的能量響應(yīng)精確解進(jìn)行了對(duì)比，從而驗(yàn)證了能量流分析法的有效性。在Bouthier等相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，Ichchou［21］對(duì)考慮柱面波、球面波和平面波時(shí)的能量傳遞模型進(jìn)行了一般性總結(jié)。

Zhang等［22－23］提出了一種新的推導(dǎo)結(jié)構(gòu)能量流分析微分方程的方法，這種方法視結(jié)構(gòu)中任意方向上的傳播波為在兩個(gè)垂直方向上傳播的波的疊加，合成波的能量密度及功率流均由傳播方向互相垂直的兩個(gè)波的能量密度及功率流疊加而成，因而可單獨(dú)對(duì)傳播方向垂直的兩個(gè)波的能量傳遞特性進(jìn)行分析，這樣做簡(jiǎn)化了能量流分析微分方程的推導(dǎo)。

Lase等［24］期望提供從能量角度出發(fā)描述結(jié)構(gòu)振動(dòng)的一般性認(rèn)識(shí)，提出了通用能量動(dòng)力學(xué)方法(General Energetic Method，GEM)。這種方法指出結(jié)構(gòu)內(nèi)分別存在兩種能量密度和功率流，其中一種對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的總能量密度和主動(dòng)能量流(active energy flow)，反映結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播波的能量特性，另一種對(duì)應(yīng)于Lagrangian能量密度和被動(dòng)能量流(reactive energy flow)，反映結(jié)構(gòu)的模態(tài)能量特性。兩種不同類(lèi)型的能量密度和能量流均存在控制微分方程，而當(dāng)忽略近場(chǎng)效應(yīng)和在波長(zhǎng)距離上平均，即可由GEM中描述總能量和主動(dòng)能量流的方程導(dǎo)出經(jīng)典的能量流微分方程式(1)。

薄板結(jié)構(gòu)面內(nèi)縱波和剪切波的能量微分方程由Park等導(dǎo)出［25］，其形式與式(3)一致。由于縱波和剪切波的位移在運(yùn)動(dòng)方程中相互耦合，因此，與確立彎曲波的能量傳遞模型相比，面內(nèi)波能量傳遞模型的確立較為復(fù)雜。通過(guò)引入兩個(gè)勢(shì)函數(shù)使運(yùn)動(dòng)方程所描述的縱向運(yùn)動(dòng)和剪切運(yùn)動(dòng)解耦，分別導(dǎo)出縱波和剪切波的能量密度和功率流表達(dá)式并在一個(gè)波長(zhǎng)的空間距離進(jìn)行局部平均，仍可以得到與式(4)一致的簡(jiǎn)化功率流傳遞特性。

解妙霞等［26］導(dǎo)出了圓柱殼在軸對(duì)稱(chēng)激勵(lì)下的彎曲振動(dòng)能量微分方程，由于激勵(lì)的對(duì)稱(chēng)性，所考慮的圓柱殼彎曲運(yùn)動(dòng)屬一維問(wèn)題，因而相應(yīng)的能量微分方程的形式和梁的彎曲振動(dòng)能量微分方程一致。

對(duì)于在垂直方向上具有不同剛度的正交各向異性板，Park等［27］導(dǎo)出了其彎曲波場(chǎng)的能量流分析方程:

式中:cgx和cgy為相互垂直方向上的彎曲波群速。當(dāng)考慮板為各向同性時(shí)，能量方程式(5)簡(jiǎn)化為式(3)。正交各向異性板的功率流與能量密度關(guān)系為:

可見(jiàn)功率流與能量密度的梯度并不直接相關(guān)。

薄板彎曲波場(chǎng)能量方程式(3)是基于經(jīng)典的Kirchhoff板理論導(dǎo)出的，Kirchhoff板理論只用板中面的撓度描述板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而在高頻上彎曲板的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的效應(yīng)非常顯著，需用Mindlin板理論對(duì)其動(dòng)力狀態(tài)進(jìn)行描述，基于此，Park等［28］導(dǎo)出了均勻Mindlin板的彎曲振動(dòng)能量流分析方程。在Mindlin板的臨界頻率以下，板的彎曲振動(dòng)以撓曲效應(yīng)為主，其能量方程式與式(3)一致。在Mindlin板的臨界頻率以上，彎曲振動(dòng)板包含三種傳播波，即面外剪切波(Outof-plane shear wave)，撓曲主導(dǎo)彎曲波(Bending dominant flexural wave)和剪切主導(dǎo)彎曲波(Shear dominant flexural wave)，利用能量流分析理論的空間局部平均的思想，對(duì)這三種波場(chǎng)均可導(dǎo)出與式(3)形式一致的能量方程。

Yan［29］研究了能量流分析法在復(fù)合層板上的應(yīng)用，復(fù)合層板由多層正交各向異性板以不定向角度層疊而成。由于復(fù)合層板為各向異性，傳播波的群速呈現(xiàn)各向不同的特點(diǎn)，在假定結(jié)構(gòu)波場(chǎng)為平面波散射波場(chǎng)后，Yan導(dǎo)出了復(fù)合層板的彎曲、縱向及剪切波場(chǎng)的能量微分方程:

式中:α1，α2，β1和 β2與結(jié)構(gòu)剛度、頻率及波數(shù)有關(guān)。式(7)中，復(fù)合層板結(jié)構(gòu)的波場(chǎng)能量為兩部分能量之和，對(duì)其中的單一能量組分，均存在與之對(duì)應(yīng)的功率流組分，兩者間符合與式(4)一致的能量傳遞關(guān)系。

一般地，各種波場(chǎng)的能量流微分方程均利用有限元法求解，很多文獻(xiàn)把能量流分析方程的有限元求解方法稱(chēng)為能量有限元分析(Energy finite element analysis，EFEA)。為簡(jiǎn)化計(jì)算，Wang 等［30－32］提出用有限體元法求解能量流分析的基本方程，并稱(chēng)之為零階能量有限元分析(EFEA0)。該方法的思路是用有限體元對(duì)連續(xù)能量場(chǎng)進(jìn)行離散，在單個(gè)體元空間上對(duì)能量方程進(jìn)行積分，同時(shí)用相鄰體元能量的差分代替能量對(duì)位置的導(dǎo)數(shù)，得到單個(gè)體元的能量平衡方程，這一過(guò)程消除了原方程中能量變量對(duì)位置的二階微分。Santos［77，78］等采用譜元法求解基本能量流分析方程，提出了能量譜有限元法(Energy spectral element method，ESEM)，該方法可給出能量分析方程的解析解，但適用性有限，很難用于幾何非均勻結(jié)構(gòu)和任意邊界條件等一般性問(wèn)題。

2 耦合形式下能量流分析的應(yīng)用

工程實(shí)際中需進(jìn)行中高頻動(dòng)響應(yīng)分析的聲振系統(tǒng)一般都是較為復(fù)雜的耦合系統(tǒng)，可能包含不同子結(jié)構(gòu)間，或結(jié)構(gòu)與流體間的復(fù)雜耦合形式。在基本構(gòu)件的能量微分方程提出后，能量流分析法首先被用于一般的耦合結(jié)構(gòu)上，后又被用于處理結(jié)構(gòu)與流體(包括聲場(chǎng)與液體)間的耦合和其它更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)耦合形式上。

能量流分析法的基本變量是經(jīng)空間局部平均的能量密度，因而在耦合結(jié)構(gòu)交界面兩邊的能量密度不連續(xù)。能量流分析法提出后遇到的首要問(wèn)題是不能將其有效地應(yīng)用于一般耦合結(jié)構(gòu)，在其發(fā)展初期的大多數(shù)應(yīng)用都只針對(duì)共線耦合梁等簡(jiǎn)單耦合情況［16，24，33－34］。要將能量流分析法用于求解一般耦合結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵性問(wèn)題將連接處的功率流傳遞特性與能量流分析的基本理論進(jìn)行結(jié)合。考慮結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系并將能量流分析法應(yīng)用于一般耦合結(jié)構(gòu)的方法由Cho等人提出［35－38］，具體過(guò)程就是將連接處各波場(chǎng)的能量密度和功率流均視為正負(fù)向傳播波的能量密度之和和功率流之差，再結(jié)合半無(wú)限耦合連接的功率傳遞系數(shù)，將連接處各耦合波場(chǎng)的能量密度與功率流聯(lián)系起來(lái)，從而使結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題得以解決。

Bernhard等［39］總結(jié)了將能量流分析應(yīng)用于一般耦合結(jié)構(gòu)的具體方法，對(duì)一個(gè)復(fù)雜耦合板結(jié)構(gòu)的能量響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算以展示這種方法在處理實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題上的可行性。Vlahopoulos等［40］基于能量流分析法對(duì)復(fù)雜船體結(jié)構(gòu)的中高頻響應(yīng)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Klos對(duì)一個(gè)由不同材料組成的共面耦合板的能量響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算［41］。Borlase等［42］基于能量流分析法對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的阻尼分布進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到控制結(jié)構(gòu)某一部分振動(dòng)能量的目的。Park等［25］對(duì)兩塊耦合矩形板的能量響應(yīng)進(jìn)行求解，計(jì)算中考慮了面內(nèi)縱波、剪切波與彎曲波的相互耦合，結(jié)果表明，當(dāng)阻尼很大且分析頻率很高時(shí)，面內(nèi)波的能量響應(yīng)水平與彎曲波的能量響應(yīng)水平相當(dāng)。Zhang等［22－23］利用能量流分析法對(duì)一個(gè)潛艇結(jié)構(gòu)以及小型漁船的能量響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，并將結(jié)果與用致密有限元網(wǎng)格模型計(jì)算的響應(yīng)以及SEA的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，對(duì)于分析結(jié)構(gòu)的一些構(gòu)件，能量流分析法的結(jié)果與其它方法的預(yù)測(cè)結(jié)果比較吻合。曾勤謙等［43］利用能量流分析法對(duì)一個(gè)平面框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)預(yù)測(cè)。孫麗萍等［44－45］將能量流分析法用于船體基座的動(dòng)響應(yīng)計(jì)算。吳軼鋼基于零階能量有限元分析對(duì)加筋板的能量響應(yīng)進(jìn)行了求解［46］。

Cho等［35－38］提出的處理耦合結(jié)構(gòu)的方法雖然主要針對(duì)由相同結(jié)構(gòu)件組成的耦合系統(tǒng)(如僅由梁或板組成的耦合系統(tǒng))，但其反映了能量流分析法處理不同波場(chǎng)間耦合問(wèn)題的一般原理，在其基礎(chǔ)上，很多學(xué)者作了不同方面的研究，以將能量流分析法的應(yīng)用拓展至更為一般的耦合形式。Seo等［47］研究了能量流分析法在通過(guò)梁連接的耦合板結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，并對(duì)一個(gè)含等距排列加強(qiáng)筋的矩形板的能量響應(yīng)進(jìn)行求解，與位移解的對(duì)比驗(yàn)證了方法的正確性。Vlahopoulos［48－50］將能量流分析法與周期結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合，對(duì)用周期布置的加強(qiáng)筋強(qiáng)化的潛艇結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了求解并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

為基于能量流分析法處理聲振耦合問(wèn)題，Bitsie［51］首先導(dǎo)出了聲場(chǎng)的能量流分析方程，并在其基礎(chǔ)上導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)與聲場(chǎng)間的耦合關(guān)系。聲場(chǎng)的能量流分析方程與式(1)式(3)的形式相同，只是其位置矢量為空間三維矢量，聲場(chǎng)的功率流也相應(yīng)地為空間三維矢量。對(duì)于彎曲振動(dòng)平板與聲場(chǎng)間的耦合問(wèn)題，當(dāng)頻率低于板的臨界聲輻射頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)－聲場(chǎng)的耦合關(guān)系對(duì)平板的作用表現(xiàn)為板上的有效面質(zhì)量和聲輻射阻尼因子，其中聲輻射阻尼因子是考慮到有限板的邊界聲輻射而引入的修正項(xiàng);當(dāng)頻率高于板的臨界聲輻射頻率時(shí)，該耦合關(guān)系對(duì)平板的作用表現(xiàn)為板上的輻射阻尼因子?？紤]了結(jié)構(gòu)－聲場(chǎng)耦合關(guān)系的結(jié)構(gòu)能量微分方程為:

式中，cg為板中彎曲波的群速，當(dāng)頻率低于臨界聲輻射頻率時(shí)，其值受到等效面質(zhì)量的影響，ηrad為結(jié)構(gòu)－聲場(chǎng)間的耦合作用導(dǎo)致的輻射阻尼因子，其表達(dá)式為:

結(jié)構(gòu)－聲場(chǎng)間的耦合問(wèn)題還可利用基于能量流分析與能量邊界元分析的混合方法進(jìn)行處理［54－55］，對(duì)于由噪聲源引起的結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)，可以通過(guò)能量邊界元法的計(jì)算結(jié)果得到噪聲源作用于結(jié)構(gòu)的激勵(lì)，并由此根據(jù)能量流分析法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)。Dong等［56］基于該方法對(duì)聲振系統(tǒng)的振動(dòng)及噪聲對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度進(jìn)行研究，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，相關(guān)方法被用于汽車(chē)及船舶的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以使結(jié)構(gòu)的高頻噪聲達(dá)到最小。

Zhang等［22，57］研究了能量流分析法在與液體接觸的彎曲振動(dòng)板結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，與該方法在結(jié)構(gòu)－聲場(chǎng)耦合情況下的應(yīng)用相似，液體與結(jié)構(gòu)間的耦合作用也是根據(jù)頻率的不同以等效面質(zhì)量或等效輻射阻尼因子的方式對(duì)板的動(dòng)力特性產(chǎn)生影響，此種情況下，板的能量方程與式(8)相似。由于液體與板間的耦合作用會(huì)表現(xiàn)為板結(jié)構(gòu)上的等效面質(zhì)量，因此與板接觸的液體也會(huì)改變耦合板結(jié)構(gòu)連接的功率傳遞特性。此外，他們進(jìn)一步地將考慮了接觸流體作用的能量流分析法應(yīng)用在一些更復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)上，即還同時(shí)考慮了周期排布加強(qiáng)筋或多塊板通過(guò)公共梁耦合的情況［58－59］，并將其用于預(yù)測(cè)與流體接觸的潛艇外殼的動(dòng)力響應(yīng)。

在一定的頻率范圍內(nèi)，實(shí)際耦合結(jié)構(gòu)的一部分子結(jié)構(gòu)可能只包含少數(shù)幾個(gè)波長(zhǎng)(這些結(jié)構(gòu)件稱(chēng)為短件或剛件)，而另一部分子結(jié)構(gòu)可能包含大量波長(zhǎng)(這些結(jié)構(gòu)件稱(chēng)為長(zhǎng)件或柔件)?？紤]到這類(lèi)結(jié)構(gòu)中的短件適合用基于位移的傳統(tǒng)有限元法求解，為預(yù)測(cè)整個(gè)耦合結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，Vlahopoulos等［60－62］提出了結(jié)合能量流分析與傳統(tǒng)有限元法的混合方法。該方法的主要思路是用動(dòng)力縮聚得到短件在邊界自由度上位移與力間的關(guān)系，再考慮力和位移的連續(xù)性條件將短件與長(zhǎng)件進(jìn)行耦合。這種方法主要被用來(lái)對(duì)由短梁連接的兩根長(zhǎng)梁這一共線耦合梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性進(jìn)行研究［60－61］。當(dāng)外載荷作用在長(zhǎng)件上時(shí)，可以根據(jù)短件的動(dòng)力縮聚模型及邊界適應(yīng)性條件計(jì)算出連接短件的功率傳遞特性，依此功率傳遞特性用能量流分析法計(jì)算長(zhǎng)件的能量響應(yīng)分布并由此確定短件邊界上的響應(yīng)，最后再計(jì)算短件的位移響應(yīng)。當(dāng)有激勵(lì)作用在短件上時(shí)［62］，短件自身的響應(yīng)會(huì)影響其所代表的連接的功率傳遞特性，因此需要根據(jù)邊界適應(yīng)性條件通過(guò)迭代來(lái)確定連接特性。這種方法后來(lái)被進(jìn)一步推廣應(yīng)用到平面復(fù)雜耦合梁結(jié)構(gòu)上［63］，并考慮了梁連接處彎曲波與縱波間的耦合。由于在計(jì)算短件連接的功率流傳遞特性需利用長(zhǎng)件中傳播波的解析式，而實(shí)際中無(wú)法假定具有一般幾何特征的長(zhǎng)件中傳播波的解析式，因此Vlahopoulos等人提出的這種方法局限于應(yīng)用在平面梁、桿耦合結(jié)構(gòu)上。

為解決一般的剛、柔件耦合結(jié)構(gòu)的響應(yīng)預(yù)測(cè)問(wèn)題，利用模糊結(jié)構(gòu)理論的基本思想［64－66］，Hong 等［67］提出了另一種能量流分析/有限元混合方法。該方法以附加阻尼的方式反映柔件對(duì)剛件動(dòng)響應(yīng)的影響，其數(shù)值基于柔件在連接處的阻抗獲得。該方法具體過(guò)程是首先通過(guò)基于位移的傳統(tǒng)有限元法計(jì)算剛件的動(dòng)響應(yīng)并計(jì)算消耗在附加等效阻尼上的功率，以此作為柔件的輸入功率，再利用能量流分析法計(jì)算柔件上的能量密度分布。利用該方法，Hong等人對(duì)多個(gè)梁板組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。與Vlahopoulos等先前提出的混合方法相比［60－62］，這種方法具有更廣泛的適用性。

3 結(jié)構(gòu)的隨機(jī)能量流分析

能量流分析法提出后在很多實(shí)際問(wèn)題中得到了應(yīng)用，但是大部分的研究及應(yīng)用都是針對(duì)結(jié)構(gòu)受單頻激勵(lì)的情形，這與能量流分析法的基本原理有關(guān)。在推導(dǎo)各種基本結(jié)構(gòu)件及聲場(chǎng)的能量流分析基本方程的過(guò)程中，均是在假定單頻激勵(lì)激發(fā)起單頻傳播波的情況下，得到了各波場(chǎng)的時(shí)間—空間平均功率流與能量密度間的簡(jiǎn)明關(guān)系。實(shí)際結(jié)構(gòu)在中高頻上所受的激勵(lì)在很多情況下都是寬帶隨機(jī)激勵(lì)的形式，對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)預(yù)測(cè)過(guò)去，能量流分析法的應(yīng)用方式主要有兩種:① 按單頻激勵(lì)形式計(jì)算結(jié)構(gòu)在分析帶寬內(nèi)多個(gè)頻率點(diǎn)處的能量響應(yīng)再對(duì)響應(yīng)進(jìn)行頻率平均;②只在激勵(lì)帶寬的中心頻率上預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。然而，以上兩種有關(guān)能量流分析法處理隨機(jī)激勵(lì)情形的應(yīng)用在實(shí)質(zhì)上并沒(méi)有求解結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)，其計(jì)算結(jié)果并不反映結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的絕對(duì)響應(yīng)能量水平。

對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)下能量流分析法的應(yīng)用，Han等［68－69］曾進(jìn)行過(guò)相關(guān)研究。他們導(dǎo)出了單根梁及單塊板在隨機(jī)激勵(lì)下能量密度的模態(tài)分析解析解，同時(shí)基于傳統(tǒng)的能量流分析法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，通過(guò)譜積分的方式得到平均能量密度，并主要對(duì)結(jié)構(gòu)在較低頻的一個(gè)頻段內(nèi)的結(jié)構(gòu)能量響應(yīng)進(jìn)行分析。Han等所給出的方法應(yīng)用屬于半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，未經(jīng)嚴(yán)格的推導(dǎo)及證明，很少有后續(xù)相關(guān)研究及應(yīng)用。

通過(guò)考慮隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)能量方程中輸入功率的表達(dá)形式，游進(jìn)等［70－74］針對(duì)梁及板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)提出了能量流分析在隨機(jī)激勵(lì)下的應(yīng)用方法，并稱(chēng)之為隨機(jī)能量流分析(Random energy flow analysis，REFA)。以彎曲振動(dòng)板為例，穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下，板的隨機(jī)能量流分析方程為:

式中，Πin(x，ω)為穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)的輸入功率譜，E的物理意義為結(jié)構(gòu)能量密度響應(yīng)譜的空間局部平均值［74］。相應(yīng)的平均能量密度及功率流分別按以下兩式計(jì)算:

隨機(jī)能量流分析方程(10)建立了結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的能量密度響應(yīng)譜與激勵(lì)輸入功率譜間的關(guān)系，其相應(yīng)的平均能量密度及功率流均需通過(guò)對(duì)譜進(jìn)行積分得到(即式(11)、式(12))，這是其應(yīng)用上與傳統(tǒng)能量流分析法處理單頻激勵(lì)情形的不同之處。此外，由于隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是非確定性響應(yīng)，因此隨機(jī)能量流分析法的計(jì)算結(jié)果反映的是結(jié)構(gòu)隨機(jī)能量響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均值。

隨機(jī)能量流分析法提出后被用于計(jì)算受隨機(jī)激勵(lì)的平面框架結(jié)構(gòu)［70］、空間框架結(jié)構(gòu)［71］及耦合板結(jié)構(gòu)［72－73］的能量響應(yīng)及功率流。游進(jìn)等［75］將隨機(jī)能量流分析法用于計(jì)算受隨機(jī)激勵(lì)的單根梁的能量密度和功率流，并通過(guò)與模態(tài)分析精確解進(jìn)行對(duì)比，表明分析頻帶所包含的模態(tài)數(shù)而非常寬是影響該方法預(yù)測(cè)精度的重要因素，在分析頻帶模態(tài)數(shù)足夠大的情況下，該方法可以在廣闊的頻率范圍上有效預(yù)測(cè)單系統(tǒng)的能量密度及功率流。

能量流分析和SEA都是基于能量的動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)方法，兩種方法間必然存在一定的聯(lián)系。SEA由于采用的是受獨(dú)立噪聲激勵(lì)的線性保守耦合振子的功率傳遞模型［3］，且由于其所采用的基本假設(shè)的關(guān)系，適于求解受非相關(guān)隨機(jī)激勵(lì)的耦合結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)［4］，其求解結(jié)果反映的是耦合結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。傳統(tǒng)的能量流分析法主要用于計(jì)算單頻激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)，因此在過(guò)去的研究中，兩種方法間并未建立起直接聯(lián)系，兩種方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比從未直接針對(duì)子系統(tǒng)的能量響應(yīng)，而是間接地針對(duì)不同子系統(tǒng)響應(yīng)能量的比值［23，40，57，76］?？紤]到隨機(jī)能量流分析可計(jì)算耦合結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的能量響應(yīng)，游進(jìn)等［74］以耦合梁結(jié)構(gòu)為模型建立了隨機(jī)能量流分析與SEA間關(guān)于能量和功率流變量間的直接關(guān)系。

隨機(jī)能量流分析與SEA雖分別從波及模態(tài)的角度定義各自的子系統(tǒng)，但它們所定義的子系統(tǒng)從本質(zhì)上是一致的，若用兩種方法對(duì)同一耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，則對(duì)相同的子系統(tǒng)，兩種方法預(yù)測(cè)的子系統(tǒng)總能量應(yīng)近似相等，即:

隨機(jī)能量流分析與SEA所描述的子系統(tǒng)間功率流的不同點(diǎn)體現(xiàn)在兩點(diǎn)上:① SEA是集總參數(shù)方法，其計(jì)算的功率流為集總參數(shù)，隨機(jī)能量流分析建立分布式模型，可以預(yù)測(cè)功率流在子系統(tǒng)內(nèi)的分布，而只有子系統(tǒng)邊界上的功率流直接反映了耦合子系統(tǒng)間的功率傳遞作用;② SEA與隨機(jī)能量流描述的子系統(tǒng)間功率流的方式有所不同:SEA處理的是任意一對(duì)耦合子系統(tǒng)間的功率流，隨機(jī)能量流分析只給出流入或流出某個(gè)子系統(tǒng)的功率流而不區(qū)分流入功率的來(lái)源和流出功率流的接受源。

圖1 平面耦合梁結(jié)構(gòu)Fig.1 Planar beam junction

圖2 功率流模型Fig.2 Energy flow models

隨機(jī)能量流分析與SEA間關(guān)于功率流變量間的關(guān)系可以平面耦合梁(如圖1)為模型進(jìn)行說(shuō)明。該耦合結(jié)構(gòu)包含彎曲波與縱波間的耦合，以子系統(tǒng)1和2代表梁I的彎曲波和縱波子系統(tǒng)，以子系統(tǒng)3和4代表梁II的彎曲波和縱波子系統(tǒng)，則隨機(jī)能量流分析和SEA所采用的功率流模型如圖2所示。圖中Pi?j是SEA計(jì)算的子系統(tǒng)i與j間功率流的大小。qi是隨機(jī)能量流分析法預(yù)測(cè)的子系統(tǒng)i在其與其它子系統(tǒng)耦合邊界上的功率流。根據(jù)圖2，可得到兩種方法預(yù)測(cè)的子系統(tǒng)間功率流的關(guān)系為:

式(13)、式(14)反映了隨機(jī)能量流分析和SEA所定義的響應(yīng)能量及功率流變量的不同點(diǎn)，同時(shí)也建立了兩種方法關(guān)于能量和功率流變量間的直接關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是將兩種方法從研究變量的角度進(jìn)行統(tǒng)一。基于此，對(duì)于任意受隨機(jī)激勵(lì)的耦合結(jié)構(gòu)，可對(duì)兩種方法計(jì)算的能量響應(yīng)和功率流進(jìn)行直接對(duì)比分析。

此外，文獻(xiàn)［71］針對(duì)一維結(jié)構(gòu)的功率流特性指出，隨機(jī)能量流分析反映的彎曲波場(chǎng)功率流特性與SEA中的耦合振子間的功率流特性是相似的，而前者所反映的縱波場(chǎng)及扭轉(zhuǎn)波場(chǎng)的功率流特性則無(wú)法由后者所采用的耦合振子功率流特性表達(dá)。

4 結(jié)論

經(jīng)過(guò)二十多年的發(fā)展，能量流分析的相關(guān)研究獲得了較大進(jìn)展?；窘Y(jié)構(gòu)件及一些復(fù)合結(jié)構(gòu)的各種波場(chǎng)及聲場(chǎng)的能量流分析基本方程已被建立起來(lái)。對(duì)于聲振耦合系統(tǒng)，能量流分析法不僅可用于存在不同波場(chǎng)間耦合的復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)上，而且可以預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)－流體耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，還可與其它方法相結(jié)合以處理一些具體的復(fù)雜耦合問(wèn)題，體現(xiàn)出能量流分析法良好的適用性。此外，隨機(jī)能量流分析法解決了隨機(jī)激勵(lì)下聲振系統(tǒng)能量密度響應(yīng)及功率流的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)，隨機(jī)能量流分析與經(jīng)典SEA間的區(qū)別和理論關(guān)聯(lián)也在一定程度上得到確認(rèn)。目前，能量流分析理論的一個(gè)不足是方法特性研究還不夠深入完善，需要進(jìn)一步系統(tǒng)研究影響方法使用范圍和預(yù)測(cè)精度的各種因素，以便于方法的廣泛應(yīng)用。

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