丁曉紅 李國杰

1.上海理工大學，上海，200093 2.三一集團港機公司上海研究院，上海，201200

0 引言

箱型支撐結(jié)構(gòu)一般由外壁及布置于內(nèi)部的縱橫加筋板組成，縱橫布置的內(nèi)部加筋板可增加箱型支撐結(jié)構(gòu)的強度和剛度，使箱型結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、高強度、高剛度的優(yōu)點，因此在工程實際中得到了日益廣泛的應用，如機床的床身、立柱等支撐件，起重機的大梁與支腿，以及船舶船體、車輛車體結(jié)構(gòu)等。箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板的布局是影響結(jié)構(gòu)力學性能的主要因素，因此如何在箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部合理地布置加筋板，使結(jié)構(gòu)的機械性能達到最優(yōu)是一個值得研究的問題。目前，大多數(shù)箱型支撐結(jié)構(gòu)加筋板優(yōu)化設計問題都局限于加筋板間隔與截面的尺寸優(yōu)化設計［1－4］，而加筋板的形式及布局優(yōu)化設計自由度大，實現(xiàn)困難，研究成果較少。由材料力學理論可知，對箱型結(jié)構(gòu)來說，縱向加筋板抗彎效果好，設置于彎曲平面內(nèi)；橫向加筋板抗扭作用大，在垂直于扭矩的矢量方向上設置；斜向加筋板具有同時提高抗彎、抗扭的綜合效果。目前大部分箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板布局均從上述理論出發(fā)，根據(jù)經(jīng)驗提出各種加筋板的形式，如垂直對角筋、垂直縱向筋、垂直橫向筋、空間對角筋，在對這些加筋結(jié)構(gòu)進行力學分析比較的基礎上，對原有設計進行改進［5－7］，或者在確定了若干個加筋板布局形式的基礎上進行布局選型及尺寸優(yōu)化設計［8］。近年來，隨著結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計理論的發(fā)展，加強筋的布局優(yōu)化問題得到了深入的研究，尤其是薄壁板殼結(jié)構(gòu)加強筋的分布優(yōu)化設計［9－11］。對于箱型結(jié)構(gòu)來說，將箱型結(jié)構(gòu)內(nèi)部填充材料，然后對其內(nèi)部的實體采用結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計方法進行設計，可得到內(nèi)部加筋板的優(yōu)化布局［12］。但對于工程中常見的大體積箱型支撐結(jié)構(gòu)，采用拓撲優(yōu)化設計方法計算量相當大，且其設計結(jié)果形態(tài)復雜，實際應用中還需要進行進一步的后處理，因此雖然從理論上說該方法行之有效，但實際應用還相當少。

本文針對箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板的設計問題，采用簡化的纖維模型，提出了一種基于密度法的高效設計方法。首先將箱型結(jié)構(gòu)表示為內(nèi)部布置有平行分布桿的結(jié)構(gòu)，即建立相應的纖維模型，通過對承載外壁的材料分布進行優(yōu)化設計，確定內(nèi)部桿存在與否，將存在的桿連接起來形成箱型結(jié)構(gòu)的內(nèi)部加筋板。通過對懸臂箱型結(jié)構(gòu)、具有曲面的底部支撐箱型結(jié)構(gòu)和機床床身箱體的典型設計實例的分析，說明本方法的有效性。

1 設計方法

1.1 設計模型的簡化

由外壁和加筋板組成的箱型結(jié)構(gòu)可簡化為纖維模型：加筋板可看成由平行的纖維組成，這些纖維一端連接著承載的外壁，另一端連接著結(jié)構(gòu)的支撐面，如圖1所示。其中，圖1a表示具有對角筋板的箱型結(jié)構(gòu)，將筋板看成由圖1b所示的平行纖維組成。將平行纖維表示為有限元模型中的梁單元，則可得到圖2所示的具有內(nèi)部平行梁單元的箱型結(jié)構(gòu)的初始有限元設計模型，即纖維模型，其中與梁單元相連的承載面和支撐面均劃分為相同的殼單元。

圖1 對角筋板的纖維模型表示

圖2 具有內(nèi)部平行梁單元的箱型結(jié)構(gòu)初始有限元設計模型

1.2 基于密度法的外壁材料分布優(yōu)化

將箱型支撐結(jié)構(gòu)簡化為纖維模型后，以承載外壁作為設計區(qū)域，通過設計外壁的材料優(yōu)化分布，確定內(nèi)部平行梁單元的布局，即保留與外壁存在材料區(qū)域相對應的梁，去掉與外壁刪除材料區(qū)域相對應的梁，并將保留的梁連接起來，即構(gòu)成內(nèi)部的加筋板。這樣就將原來復雜的三維實體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計問題轉(zhuǎn)化為二維板殼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計問題。

板殼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計方法比較成熟，本文采用密度法［13］進行設計。所謂密度法就是將材料的密度作為設計變量，密度從0到1連續(xù)變化，1表示有材料，0表示沒有材料，密度在0～1之間的材料為虛擬材料，稱為中間密度材料。則優(yōu)化設計問題可描述為

式中，ρi為單元i材料的密度；n為單元數(shù)；m為約束條件數(shù)。

為了消除中間密度材料，使設計結(jié)果僅存在密度為0和1的材料，單元剛度矩陣計算時采用下式對中間密度進行“懲罰”：

式中，K′為懲罰后的單元剛度矩陣；ρ為單元的材料密度；K為實際的單元剛度矩陣；p為懲罰因子，通常p的取值在2～3之間［13］。

以結(jié)構(gòu)體積最小為設計目標，并滿足結(jié)構(gòu)的變形及應力約束，基于密度法的外壁材料分布優(yōu)化設計問題可描述為

式中，V為結(jié)構(gòu)的總體積；δmax、σmax分別為結(jié)構(gòu)的最大位移和最大應力；［δ］、［σ］分別為結(jié)構(gòu)的許用位移和許用應力。

綜上所述，具體的設計流程為：首先將設計對象簡化為中空的箱體，對其進行有限元網(wǎng)格劃分，注意箱體的約束面和設計面的網(wǎng)格需一一對應；在上下對應的節(jié)點上建立與設計面垂直的梁單元，即構(gòu)建纖維模型。施加載荷和約束，進行靜力分析。然后應用密度法，根據(jù)式（3）對設計面進行材料的最優(yōu)分布設計。最后根據(jù)設計面的材料分布優(yōu)化設計結(jié)果，確定應保留的梁單元，連接各梁單元形成加筋板。

2 典型算例

2.1 懸臂箱型梁加筋板布局優(yōu)化設計

為了驗證本文方法的有效性，首先以簡單的懸臂梁承受扭轉(zhuǎn)載荷情況為例進行討論。懸臂箱型梁模型如圖3a所示，梁的長高比為2，截面為正方形，梁的自由端作用載荷，使梁受扭。圖3b所示為相應的有限元模型，中空的箱型梁內(nèi)部布置水平的梁單元，以連接固定端和自由端。將自由端面作為設計面，以結(jié)構(gòu)體積最小為設計目標，滿足結(jié)構(gòu)的剛度和強度要求，應用密度法對其進行拓撲優(yōu)化設計，得到的設計結(jié)果如圖3c所示。

由圖3c可知，受扭懸臂箱型梁的加筋板應布置為對角筋板的形式，這樣的形式可由材料力學中關(guān)于梁的理論得到合理的解釋：由于受到純扭轉(zhuǎn)，各點的應力狀況為純剪切，在45°的對角方向上存在主應力，因此對角布置的加筋板近似受拉或受壓，受力狀況良好。由此可認為，應用本文方法進行箱型梁加筋板布局優(yōu)化設計是合理的。

為了說明結(jié)構(gòu)的合理性，以結(jié)構(gòu)的總應變能與體積的乘積作為結(jié)構(gòu)綜合性能指標μ，即

式中，E為結(jié)構(gòu)的彈性應變能，其值越大，說明結(jié)構(gòu)的柔度越大，剛度越小。

考慮剛度最優(yōu)的理想結(jié)構(gòu)是結(jié)構(gòu)的體積最小而應變能也最小，即性能指標μ的值越小越好。

圖3 受扭懸臂梁的設計

將圖3c所示具有對角加筋板的懸臂箱型梁結(jié)構(gòu)和內(nèi)部沒有加筋板而具有與圖3c相同外形幾何尺寸的梁進行比較。設計模型和加載情況如圖4所示，表1列出了兩種懸臂梁模型的總應變能、最大應力、最大變形、體積及性能指標μ，表1中將中空懸臂梁的各項指標表示為1。可見，具有對角加筋板的結(jié)構(gòu)體積是中空梁的1.63倍，而性能指標僅為前者的0.26倍，相應地，加筋結(jié)構(gòu)的總應變能、最大應力和最大變形分別為中空結(jié)構(gòu)的0.16倍、0.27倍、0.15倍，說明布置有對角加筋板梁結(jié)構(gòu)的力學性能大幅度提高，抗扭剛度可提高6倍以上，而其綜合性能指標也提高了近4倍，進一步說明了由本文方法設計得到的對角加筋板的箱型懸臂梁的合理性。

圖4 懸臂梁的力學模型

表1 懸臂梁性能對比

2.2 曲面箱型支撐結(jié)構(gòu)

為了進一步說明本文方法的有效性，以形狀較復雜的曲面箱型支撐結(jié)構(gòu)為例，考察不同的形狀幾何參數(shù)對加筋板布局結(jié)果的影響。圖5a所示為設計模型，結(jié)構(gòu)的橫截面為矩形，側(cè)面為曲面壁板圍成，結(jié)構(gòu)底部支撐，上面承受扭轉(zhuǎn)載荷。曲面壁板長度與矩形橫截面高度之比為3.3，矩形橫截面的高度h與寬度w之比為ζ，即ζ＝w／h。

圖5b為相應的纖維模型，中空的箱型梁內(nèi)部布置豎直的梁單元，以連接承載面和支撐面。圖5c～圖5e所示為當形狀幾何參數(shù)ζ分別為1.0、1.5和2.0時的加筋板布局設計結(jié)果。由圖5可知，隨著形狀幾何參數(shù)ζ的變化，箱型結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板的布局也發(fā)生變化：當ζ＝1.0時，僅在4個角上出現(xiàn)對角的加筋板，結(jié)構(gòu)中部由于橫向較窄，抗扭剛度較大，不需要布置加筋板；當ζ＝1.5時，結(jié)構(gòu)中部出現(xiàn)斜向加筋板，將兩端的加筋板連在一起，以增大結(jié)構(gòu)的抗扭剛度；而當ζ＝2.0時，中部加筋板變厚，兩端的加筋板尺寸變小。顯然，形狀幾何參數(shù)ζ的增大導致箱型結(jié)構(gòu)內(nèi)部空間增大，抗扭剛度減小，需在結(jié)構(gòu)內(nèi)部合理地布置加筋板，以提高結(jié)構(gòu)整體剛度。

圖5 曲面箱型支撐結(jié)構(gòu)加筋板布局設計

2.3 機床床身結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板布局優(yōu)化設計

機床床身起著支撐和連接工作臺、頭尾架等關(guān)鍵零部件的作用，其剛度與整機加工精度密切相關(guān)。同時，在整個機床的各個組成部分中，床身的重量大約占機床總重量的20%以上，其材料用量和制造工藝費用對整機的經(jīng)濟性能有很大的影響。因此，對床身結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設計，得到剛度大、重量輕的結(jié)構(gòu)對提高機床整機的性價比十分必要。機床床身承受的載荷比較復雜，包括其上支撐的工作臺、工件等部件重量，切削力及其本身自重等，這些載荷不僅使床身受壓，同時使床身受扭及斜彎曲。試驗表明，在各種變形中，扭轉(zhuǎn)變形可占總變形的60%以上［6］，因此本文主要研究如何在床身結(jié)構(gòu)內(nèi)部布置合理的加筋板，以提高床身的抗扭剛度。

受扭床身的力學模型如圖6所示，圖6a為床身頭尾架上承受繞x軸的扭矩靜力當量載荷時的情況，圖6b為相應的力學模型。本文設計的床身外形尺寸為2700mm×1170mm×700mm，截面為長方形，壁厚為15mm。根據(jù)本文提出的設計方法，床身的纖維模型如圖6c所示。將床身底面固定，以上表面為設計面，根據(jù)式（3）的優(yōu)化模型，以體積最小為設計目標，考慮結(jié)構(gòu)的變形和應力約束，得到設計面的材料分布如圖6d所示。由圖6可知，為了提高床身箱體的抗扭剛度，兩組對稱的對角加筋板由一位于床身中心軸線上的縱向加筋板連接在一起，形成床身箱體的內(nèi)部加筋板結(jié)構(gòu)。

圖7a所示為床身承受的另一種典型的載荷情況，此時床身頭尾架上承受沿y軸的靜力當量載荷。將該靜力當量載荷簡化到床身上，如圖7b所示，此時床身承受扭轉(zhuǎn)和剪切的組合載荷作用。圖7c為相應的纖維模型，采用和圖6相同的設計過程，設計面的材料分布如圖7d所示。和圖6d相比，同樣需要在床身兩端布置兩組對稱的對角加筋板以提高結(jié)構(gòu)的抗扭剛度，但在結(jié)構(gòu)中部會出現(xiàn)米字形的橫向加筋板結(jié)構(gòu)。

圖6 受扭床身加筋板設計

圖7 受扭剪組合載荷床身加筋板設計

根據(jù)圖6d和圖7d所得的設計結(jié)果，分別建立圖8a和圖8b所示的帶有加筋板的箱體結(jié)構(gòu)。為了說明設計結(jié)果的合理性，將圖8a和圖8b所示的優(yōu)化設計模型與圖8c所示的目前常見的帶橫隔板的床身結(jié)構(gòu)進行比較。三種床身箱體在純扭轉(zhuǎn)載荷和扭轉(zhuǎn)剪切組合載荷作用下的力學性能和性能指標列于表2，表2中將帶有橫隔板的床身結(jié)構(gòu)的各項指標表示為1。由表2可見，純扭轉(zhuǎn)優(yōu)化設計模型的體積最小，是橫隔板模型的0.983倍；而組合載荷優(yōu)化設計模型的體積最大，是橫隔板模型的1.02倍。在純扭轉(zhuǎn)載荷作用下，純扭轉(zhuǎn)優(yōu)化設計模型的性能指標μ最小，比橫隔板模型減小26.7%，應變能比橫隔板模型減小25.5%，體積減小1.7%，因此最優(yōu)；而在扭轉(zhuǎn)和剪切組合載荷作用下，組合載荷優(yōu)化設計模型的性能指標μ比橫隔板模型減小9.5%，應變能比橫隔板模型減小11.3%，體積增大2.0%，因此最優(yōu)。可見采用本文提出的設計方法可有效布置床身內(nèi)部的加筋板，提高床身結(jié)構(gòu)的技術(shù)經(jīng)濟性能。

圖8 各種加筋板的床身模型

表2 各種加筋板的床身性能對比

3 結(jié)語

本文采用合理的纖維模型，將三維實體拓撲優(yōu)化設計問題轉(zhuǎn)化為二維板殼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設計問題，提出了一種高效的箱型支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)部加筋板優(yōu)化布局設計方法，以若干典型實例驗證了所提出方法的有效性。本方法可廣泛應用于各種支撐箱型結(jié)構(gòu)的加筋板布局優(yōu)化設計中。

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