蔣 平 匡 玲 邵新宇 肖 蜜

華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢，430074

0 引言

復(fù)雜工程系統(tǒng)（如飛機(jī)、船舶、汽車、機(jī)械裝備等）的設(shè)計(jì)通常涵蓋多個(gè)相互耦合的學(xué)科，為了對(duì)多學(xué)科耦合進(jìn)行有效處理，以獲得最優(yōu)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，Sobiesczanski－Sobieski［1］提出了多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化（multidisciplinary design optimization，MDO）方法。

MDO方法也稱MDO策略，是當(dāng)前MDO領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。MDO方法按照是否對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分級(jí)處理，可分為單級(jí)MDO方法和多級(jí)MDO方法兩大類。相比單級(jí) MDO方法，多級(jí)MDO方法更符合復(fù)雜工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)的組織模式，利于進(jìn)行學(xué)科間的并行設(shè)計(jì)和分布式計(jì)算。常用的多級(jí)MDO方法主要有：協(xié)同優(yōu)化（collaborative optimization，CO）方法、并行子空間優(yōu)化（concurrent subspace optimization，CSSO）方法、分層目標(biāo)傳遞（analytical target cascading，ATC）方法和兩級(jí)集成系統(tǒng)綜合（bi－level integrated system synthesis，BLISS）方法。其中，BLISS中的BLISS2000被認(rèn)為是目前全局優(yōu)化性能最強(qiáng)的多級(jí)MDO方法［2］。但BLISS2000方法仍然存在比較大的改進(jìn)空間，其中，作為子系統(tǒng)級(jí)影響系統(tǒng)級(jí)的權(quán)值系數(shù)w的數(shù)學(xué)意義并不明確，而且若優(yōu)化問題存在大量耦合，將它作為系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量，那么系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量的維數(shù)將大大增加，導(dǎo)致搜索難度和計(jì)算量加大。CO方法雖然從結(jié)構(gòu)形式上較好地解決了復(fù)雜工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)的組織復(fù)雜性問題，但容易出現(xiàn)難于收斂和陷入局部收斂的現(xiàn)象。為此，結(jié)合BLISS2000和CO特點(diǎn)的兩級(jí)集成系統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化（bi－level integrated system collaborative optimization，BLISCO）方法被提出［3］，從組織形式和協(xié)調(diào)分解方面更好地解決了大規(guī)模多學(xué)科耦合問題。

在復(fù)雜工程系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中，往往涉及眾多高精度的仿真分析模型，如結(jié)構(gòu)有限元分析模型、氣動(dòng)分析模型，以及計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析模型等，這使得計(jì)算成本大大增加；同時(shí)，在學(xué)科仿真分析中，不可避免地會(huì)產(chǎn)生一些數(shù)值噪聲，這將降低求解算法的收斂速度，甚至導(dǎo)致無法獲得全局最優(yōu)解。因此，有必要在設(shè)計(jì)過程中引入近似模型來代替高精度的仿真分析模型，降低反復(fù)調(diào)用高精確仿真分析模型的計(jì)算成本，縮短設(shè)計(jì)周期，平滑數(shù)值噪聲，獲得整體最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

基于以上分析，本文提出了一種BLISCO與近似模型技術(shù)相結(jié)合的MDO方法，通過在BLISCO方法中引入近似模型來降低計(jì)算復(fù)雜度，加快算法收斂速度，避免數(shù)值噪聲，提高設(shè)計(jì)優(yōu)化效率。并且通過具體的算例，驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性和可行性。

1 基于近似模型的BLISCO方法

1.1 BLISCO方法

BLISCO是一種兩級(jí)優(yōu)化方法，分為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)子系統(tǒng)之間的差異，子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化負(fù)責(zé)最小化耦合輸出狀態(tài)變量對(duì)系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)的綜合影響。BLISCO方法保留了CO方法的協(xié)同機(jī)制，而用子系統(tǒng)耦合輸出狀態(tài)變量的加權(quán)和代替子系統(tǒng)一致性約束作為其優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。BLISCO方法在形式上更類似于BLISS2000方法，不同的是BLISCO方法通過嚴(yán)格的推導(dǎo)，明確了w的數(shù)學(xué)定義，從而在系統(tǒng)級(jí)消除了w變量，降低了系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量的維數(shù)，不需要進(jìn)行包含系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的系統(tǒng)迭代過程。

對(duì)涉及N個(gè)子系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題，采用BLISCO方法所得到的數(shù)學(xué)模型如下［4］。

（1）子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。在系統(tǒng)級(jí)給定 ｛zshare，zy｝的條件下，第i個(gè)子系統(tǒng)優(yōu)化問題可表述為

其中，zi是系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量，包括｛zshare，zy｝，zshare為系統(tǒng)級(jí)共享設(shè)計(jì)變量，zy為對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)耦合狀態(tài)變量的系統(tǒng)級(jí)耦合設(shè)計(jì)變量；yi，j是子系統(tǒng)i的第j個(gè)耦合狀態(tài)變量；xi是子系統(tǒng)的局部設(shè)計(jì)變量；D（f，）是系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)對(duì)初始耦合設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)；gi和hi分別表示第i個(gè)子系統(tǒng)的不等式約束和等式約束。如果第i個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)變量包含系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)f，那么該子系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)就是系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)，這體現(xiàn)了該子系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)的全部影響。D（f，）可通過兩種方式獲得：當(dāng)系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)為耦合設(shè)計(jì)變量的顯函數(shù)時(shí)，可通過解析法直接獲得導(dǎo)數(shù)信息而不需要進(jìn)行子系統(tǒng)分析；當(dāng)系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)為耦合設(shè)計(jì)變量的隱函數(shù)時(shí)，可采用先通過子系統(tǒng)優(yōu)化得到約束對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子，然后進(jìn)行最優(yōu)靈敏度分析的方法獲得導(dǎo)數(shù)信息［5］。

（2）系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。即

其中，y＊為子系統(tǒng)優(yōu)化后獲得的耦合狀態(tài)變量值；C為耦合設(shè)計(jì)變量和耦合狀態(tài)變量之間的一致性約束；gs和hs分別為系統(tǒng)級(jí)的不等式約束和等式約束。

1.2 近似模型

在設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中，不可避免地要對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行有效探索。復(fù)雜系統(tǒng)的MDO問題，存在著計(jì)算復(fù)雜、組織復(fù)雜、模型復(fù)雜以及信息交換復(fù)雜等問題，直接將單學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用的設(shè)計(jì)空間搜索優(yōu)化算法應(yīng)用于多學(xué)科分析中是不切實(shí)際的［6］。

近似模型技術(shù)就是用現(xiàn)有的簡(jiǎn)單模型擬合原始的復(fù)雜設(shè)計(jì)空間，可以減少設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中的計(jì)算次數(shù)、預(yù)計(jì)輸入輸出參數(shù)之間的關(guān)系，避免算法陷入局部最優(yōu)。同時(shí)，近似模型技術(shù)與優(yōu)化算法的不同組合，還可以提供新的優(yōu)化問題求解方法。近似模型技術(shù)作為學(xué)科分析和優(yōu)化算法之間的接口，已得到了廣泛的應(yīng)用［7－8］。目前常用的近似模型包括響應(yīng)面模型、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、泰勒序列逼近模型以及Kriging模型［9］。構(gòu)建近似模型的一般流程如圖1所示。

圖1 構(gòu)建近似模型的一般流程圖

1.3 近似模型與BLISCO方法的結(jié)合

本文將近似模型與BLISCO方法相結(jié)合，提出了基于近似模型技術(shù)的BLISCO方法，算法結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于近似模型的BLISCO方法基本結(jié)構(gòu)

在圖2所示算法結(jié)構(gòu)中，包括子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化、子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化、子系統(tǒng)級(jí)分析及近似模型的建立。zshare是系統(tǒng)級(jí)共享設(shè)計(jì)變量；zy是系統(tǒng)級(jí)耦合設(shè)計(jì)變量；zi是系統(tǒng)級(jí)傳遞到第i個(gè)子系統(tǒng)的系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量目標(biāo)值，zi∈ ｛zshare，zy｝；xi是該子系統(tǒng)的局部設(shè)計(jì)變量；yi，j是對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)耦合設(shè)計(jì)變量zyi，j的子系統(tǒng)i的第j個(gè)子系統(tǒng)耦合狀態(tài)變量；D（f，）是系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)對(duì)耦合設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，上標(biāo)0代表初始耦合設(shè)計(jì)變量、x＊i是經(jīng)過子系統(tǒng)優(yōu)化后獲得的狀態(tài)變量和局部設(shè)計(jì)變量值是通過近似技術(shù)建立的子系統(tǒng)等式和不等式約束以及狀態(tài)變量的函數(shù)模型；Ji為系統(tǒng)級(jí)耦合設(shè)計(jì)變量目標(biāo)值與優(yōu)化后的耦合狀態(tài)變量值之間的一致性約束，為了加快收斂速度，以絕對(duì)值小于ε的不等式約束代替等式約束。其中子系統(tǒng)近似模型的構(gòu)建在子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化之前，這與BLISS2000對(duì)子系統(tǒng)優(yōu)化的結(jié)果建立近似模型不同，不需要進(jìn)行復(fù)雜的系統(tǒng)分析，不必針對(duì)優(yōu)化結(jié)果擴(kuò)展和收縮響應(yīng)面邊界；另外，在對(duì)子系統(tǒng)分析建立的近似模型中也包括約束條件，去除了約束的數(shù)值噪聲，避免了系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的結(jié)果在子系統(tǒng)級(jí)不可行的問題，同時(shí)減少了系統(tǒng)級(jí)循環(huán)的次數(shù)。流程中子系統(tǒng)分析的目的只是為了建立近似模型，故分析只針對(duì)設(shè)計(jì)空間中采集的少量樣本點(diǎn)進(jìn)行，與BLISCO方法相比，避免了每一次系統(tǒng)優(yōu)化都要進(jìn)行繁多的子系統(tǒng)分析，從而大大減少了計(jì)算量，提高了優(yōu)化效率，同時(shí)對(duì)子系統(tǒng)建立近似模型消除了設(shè)計(jì)空間的數(shù)值噪聲，可以更高效地找到系統(tǒng)全局最優(yōu)方案。

2 算例分析

2.1 齒輪減速箱優(yōu)化問題

齒輪減速箱優(yōu)化問題（speed reducer problem，SRP）是 NASA（national aeronautics and space administration）評(píng)估 MDO方法性能的十大標(biāo)準(zhǔn)算例之一［10］。該問題包含齒輪設(shè)計(jì)和軸設(shè)計(jì)，目標(biāo)是在滿足齒輪的彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力以及軸的位移和應(yīng)力等約束條件下使得減速箱的質(zhì)量最小。它的數(shù)學(xué)模型［11］如下：

文獻(xiàn)［12］給出了該問題的最優(yōu)解x＊＝ （3.5，0.7cm，17，7.3cm，7.71cm，3.35cm，5.29cm）T，最優(yōu)目標(biāo)值f（x＊）＝2994kg。

根據(jù)基于近似模型的BLISCO算法，將該問題分為系統(tǒng)級(jí)和兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)，分解如下。

系統(tǒng)級(jí)：

子系統(tǒng)2：

由于子系統(tǒng)的狀態(tài)變量之間不存在耦合關(guān)系，故引入虛擬耦合設(shè)計(jì)變量。其中系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量Z＝｛x1，x2，x3，zy1，zy2｝，子系統(tǒng)1局部設(shè)計(jì)變量X1＝｛x4，x6｝，子系統(tǒng)2局部設(shè)計(jì)變量X2＝｛x5，x7｝?？紤]到該算例函數(shù)并不復(fù)雜，且響應(yīng)面模型具有較好的全局近似能力，計(jì)算量也不大，故選用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面作為近似模型，具體的算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。選取五個(gè)不同的初始點(diǎn)，各點(diǎn)取值如表1所示。

圖3 齒輪減速箱的優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)圖

表1 五個(gè)不同的初始點(diǎn)的取值

在子系統(tǒng)設(shè)計(jì)空間中，采用隨機(jī)選取的方法，選取72個(gè)樣本點(diǎn)，建立二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型分別如圖4和圖5所示。

圖4 子系統(tǒng)1的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面近似

圖5 子系統(tǒng)2的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面近似

用多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件iSIGHT建立優(yōu)化模型，系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)均使用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法，一致性約束的ε取為0.005。對(duì)于5個(gè)不同的初始點(diǎn)，用原BLISCO算法求得的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。選取同樣的初始點(diǎn)和優(yōu)化算法，響應(yīng)面近似模型與BLISCO算法結(jié)合后求得的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表2 原BLISCO算法優(yōu)化結(jié)果

表3 近似技術(shù)與BLISCO結(jié)合后的優(yōu)化結(jié)果

比較分析表2和表3可以看出，無論使用原BLISCO算法還是使用基于近似模型的BLISCO方法，對(duì)于不同的初始值，該算例均收斂到穩(wěn)定的優(yōu)化解，充分證明了該優(yōu)化方法的有效性。另外，使用近似模型的BLICO方法雖然系統(tǒng)迭代次數(shù)有稍許增加，但相比原BLISCO算法需要1000多次的子系統(tǒng)分析，而建立近似模型只進(jìn)行了72次的子系統(tǒng)分析而言，優(yōu)化速度得到了很大提高；由于對(duì)子系統(tǒng)的約束和狀態(tài)變量均建立了近似模型，消除了設(shè)計(jì)空間的數(shù)值噪聲，基于近似模型的BLISCO方法獲得了比原算法更好的全局最優(yōu)解，這又體現(xiàn)了該方法的高效性和準(zhǔn)確性。且相比其他優(yōu)化算法如 BLISS2000算法［13］（均值2994.355 955kg）、基于Kriging近似的ECO算法［14］（均值2997.117kg），基于近似模型的BLISCO方法的效果也更好。

以樣本點(diǎn)E為例，基于近似模型的BLISCO方法獲得系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)的優(yōu)化歷程如圖6所示。

為了考慮近似模型精度對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，對(duì)前面構(gòu)造的近似模型增加了18個(gè)樣本點(diǎn)，重新構(gòu)造響應(yīng)面模型，優(yōu)化后得到的結(jié)果如表4所示。

圖6 系統(tǒng)級(jí)和子系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)的收斂歷程

表4 增加樣本點(diǎn)后的優(yōu)化結(jié)果

從表4可以看出：增加近似模型精度后，該優(yōu)化策略獲得全局最優(yōu)解的能力更強(qiáng)，獲得的優(yōu)化解2994.065 23kg與文獻(xiàn)［12］給出的最優(yōu)解2994kg十分接近，這說明近似模型建立的精確度越高，該優(yōu)化策略獲得的結(jié)果越準(zhǔn)確。

2.2 經(jīng)典耦合函數(shù)優(yōu)化問題

經(jīng)典耦合函數(shù)是Sellar測(cè)試CSSO／RS優(yōu)化過程的MDO算例［15］，它是一個(gè)典型的非線性強(qiáng)耦合優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型的描述如下：

根據(jù)基于近似模型的BLISCO算法，首先確定系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量和子系統(tǒng)級(jí)局部設(shè)計(jì)變量。y1和y2中均含有x1、x3，且y1和y2之間存在耦合關(guān)系，故確定系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量Z＝｛x1，x3，zy1，zy2｝，子系統(tǒng)級(jí)局部設(shè)計(jì)變量為x2。因?yàn)閥2中不含局部設(shè)計(jì)變量，不需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，可將其并入系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化，子系統(tǒng)1的設(shè)計(jì)變量X1＝｛x2｝。

最終算法分解如下。

系統(tǒng)級(jí)：

運(yùn)用多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化軟件iSIGHT對(duì)其建立優(yōu)化模型，y1函數(shù)比較簡(jiǎn)單，故它的函數(shù)近似也采用響應(yīng)面模型。選取4個(gè)初始點(diǎn)如表5所示。

表5 四個(gè)不同的初始點(diǎn)

用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選30個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)子系統(tǒng)1建立二次響應(yīng)面模型如圖7所示。

圖7 子系統(tǒng)1的近似模型

選取15個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)子系統(tǒng)輸出響應(yīng)和約束進(jìn)行近似誤差分析，結(jié)果如圖8所示。

圖8 子系統(tǒng)輸出和約束真實(shí)值和近似值的誤差分析

該響應(yīng)面模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值趨于一致，輸出響應(yīng)和約束的總誤差數(shù)量級(jí)為10－17，故對(duì)子系統(tǒng)1建立的響應(yīng)面近似模型完全滿足精度要求。

系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化采用廣義簡(jiǎn)約梯度法，子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化采用NLPQL優(yōu)化算法，一致性約束的ε取為0.005。對(duì)各初始點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化，用原BLISCO算法求得的結(jié)果如表6所示，將近似模型與BLISCO算法結(jié)合后獲得的優(yōu)化結(jié)果如表7所示。

表6 原BLISCO算法優(yōu)化結(jié)果

表7 近似技術(shù)與BLISCO結(jié)合后的優(yōu)化結(jié)果

由表7可知，建立近似模型后的系統(tǒng)迭代次數(shù)和優(yōu)化結(jié)果同采用精確分析模型的BLISCO算法相同，但避免了反復(fù)的子系統(tǒng)分析過程，計(jì)算量大大降低，優(yōu)化效率明顯提高。

為了提高非線性約束問題的收斂速度，一致性約束中用含ε的不等式約束代替了嚴(yán)格的等式約束。本文選取了不同數(shù)值的ε來研究ε的取值大小對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，當(dāng)ε取0.05、0.0005、0.000 005時(shí)，使用基于近似模型的BLISCO方法求得的優(yōu)化結(jié)果分別如表8～表10所示。

表8 當(dāng)ε＝0.05時(shí)，近似技術(shù)與BLISCO結(jié)合后的優(yōu)化結(jié)果

表9 當(dāng)ε＝0.0005時(shí)，近似技術(shù)與BLISCO結(jié)合后的優(yōu)化結(jié)果

表10 當(dāng)ε＝0.000 005時(shí)，近似技術(shù)與BLISCO結(jié)合后的優(yōu)化結(jié)果

可以看出，對(duì)于不同的ε取值，系統(tǒng)都得到了收斂的優(yōu)化結(jié)果，驗(yàn)證了一致性約束中用不等式約束代替嚴(yán)格等式約束的可行性。且當(dāng)一致性約束的允許容差減小時(shí)，優(yōu)化結(jié)構(gòu)隨初始值變化的波動(dòng)降低，結(jié)果穩(wěn)定性較好。另外從表中結(jié)果來看，進(jìn)行優(yōu)化得到最優(yōu)解的計(jì)算量與容差值大小的選取沒有太大關(guān)系，與初始值的選取相關(guān)。

3 結(jié)語

本文提出了一種基于近似模型的BLISCO方法，該方法不但保留了BLISCO方法的優(yōu)點(diǎn)，而且通過用近似模型代替昂貴的子系統(tǒng)高精度仿真模型，達(dá)到了提高大規(guī)模復(fù)雜MDO問題優(yōu)化效率的目的。通過齒輪減速器算例和經(jīng)典耦合算例，驗(yàn)證了當(dāng)子系統(tǒng)之間存在／不存在耦合，以及選取不同初始點(diǎn)條件下，基于近似模型的BLIS－CO方法的可行性和高效性，并獲得了比原BLISCO方法以及相關(guān)文獻(xiàn)所提出方法更好的優(yōu)化結(jié)果。同時(shí)，本文對(duì)系統(tǒng)級(jí)一致性約束的不同允許容差進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了一致性約束中用不等式約束代替嚴(yán)格等式約束的可行性，且允許容差越小，收斂得到的最優(yōu)解隨不同初始點(diǎn)的波動(dòng)越小，即優(yōu)化結(jié)果更穩(wěn)定。

目前，本文所采用的算例較為簡(jiǎn)單，從模型構(gòu)建效率出發(fā)，采用了響應(yīng)面模型作為近似模型。在以后的研究中，將根據(jù)問題特征采用精確度或效率更高的近似模型，并擬將所提出的基于近似模型的BLISCO方法應(yīng)用到更復(fù)雜的工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)中。

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