趙艷玲，鄧 冰，張 銘，劉天軍

（1.中國人民解放軍61741部隊，北京100094；2.北京應(yīng)用氣象研究所，北京100029；3.中國人民解放軍理工大學(xué)氣象學(xué)院 大氣環(huán)流與短期氣候預(yù)測實驗室，江蘇 南京，211101）

海洋運(yùn)動對大尺度風(fēng)場響應(yīng)的解析研究＊

趙艷玲1，3，鄧 冰2，3，張 銘3，劉天軍2

（1.中國人民解放軍61741部隊，北京100094；2.北京應(yīng)用氣象研究所，北京100029；3.中國人民解放軍理工大學(xué)氣象學(xué)院 大氣環(huán)流與短期氣候預(yù)測實驗室，江蘇 南京，211101）

為探討海洋向大尺度風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的具體過程，建立了考慮海面風(fēng)應(yīng)力強(qiáng)迫的正壓原始方程海洋模型，并利用Green函數(shù)做了解析求解和討論。發(fā)現(xiàn)風(fēng)應(yīng)力引起的Ekman抽吸正比于風(fēng)應(yīng)力旋度。得到了海洋向風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的具體形式：即海洋流場和壓力場進(jìn)行著準(zhǔn)平衡的演變，并有海洋中壓力梯度與科氏力之間的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡以及海洋Ekman體積輸送的散度場與風(fēng)應(yīng)力旋度場之間的準(zhǔn)平衡；此時有短周期的重力慣性波被激發(fā)，該波會較快彌散掉；而準(zhǔn)平衡的演變則始終持續(xù)著。海洋在大尺度風(fēng)場的強(qiáng)迫下的運(yùn)動由重力慣性波、強(qiáng)迫慣性振蕩和緩慢演變的準(zhǔn)平衡過程三部分組成；前兩部分是快過程，第一部分更快，第三部分是慢過程。最終海洋運(yùn)動表現(xiàn)為強(qiáng)迫慣性振蕩和準(zhǔn)平衡演變過程的疊加。

大尺度風(fēng)場；海洋模型；響應(yīng)；Ekman抽吸

風(fēng)應(yīng)力驅(qū)動上層海洋的理論早在20世紀(jì)50年代就已出現(xiàn)［1］，至90年代以來，海洋運(yùn)動向風(fēng)場的響應(yīng)問題受到越來越多的關(guān)注。這種響應(yīng)是海氣相互作用的重要組成部分，在全球氣候變化中起到了重要作用。直到目前，這方面的研究仍受到廣泛重視。錢永甫等［2］利用POM模式（分辨率0.5°）研究了南海海流對冬季風(fēng)應(yīng)力的響應(yīng)特征，認(rèn)為南海淺表層海流和全流對定常風(fēng)應(yīng)力的響應(yīng)時間均為120d，深層海流的響應(yīng)時間較長。蔡樹群等［3］利用一個分區(qū)性的正壓、斜壓銜接模式，考察了南海上層環(huán)流對季風(fēng)轉(zhuǎn)變的響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在不同方式變化的季風(fēng)轉(zhuǎn)變、季風(fēng)過渡時期，南海流場的調(diào)整有較大的差別，但在過渡之后最終的流場結(jié)構(gòu)基本一致。對于渤、黃東海區(qū)域海流對冬季風(fēng)應(yīng)力的響應(yīng)研究，趙保仁［4］利用黃海和東海近岸3個測站的觀測資料作了初步探討，認(rèn)為上表層有離岸的Ekman輸送時，趨岸的補(bǔ)償流大約從1／3水深處直到海底的較厚水層中向岸流去，表層流大約6～12h可建立與風(fēng)相適應(yīng)的風(fēng)生流動，底層流的適應(yīng)時間大約是15～20 h。Qiu［5］則研究了東太平洋風(fēng)應(yīng)力強(qiáng)迫的Rossby波。Cabanes等［6］研究了風(fēng)應(yīng)力驅(qū)動的正壓Sverdrup平衡和一階斜壓Rossby波。Qiu和Chen［7］還研究了南太平洋海表面高度時空變化的動力機(jī)制等。以上這些研究以診斷分析和數(shù)值模擬居多。在解析研究方面，Gill在文獻(xiàn)［1］中指出，在一定條件下，此時海洋運(yùn)動可分解為兩部分：一部分是風(fēng)應(yīng)力作為直接強(qiáng)迫項驅(qū)動的強(qiáng)迫慣性振蕩，在該部分壓力梯度不起作用；另一部分是風(fēng)應(yīng)力引起的Ekman抽吸，此時則存在該抽吸引起的垂直運(yùn)動，并通過其進(jìn)一步影響海洋運(yùn)動，該部分有壓力梯度。然而總的看來，這方面的研究尚不很多。本研究曾建立了一個水平二維正壓準(zhǔn)平衡海洋模型，并在考慮西海岸的情況下，對氣候尺度的準(zhǔn)定常和時變風(fēng)場（異常）強(qiáng)迫下的海洋流場響應(yīng)做了解析求解［8］，并試圖解釋中緯度北太平洋實際流場異常的原因。因該模型做了準(zhǔn)平衡（準(zhǔn)無輻散）近似，重力慣性波被濾去了，故其僅能反映海洋對大尺度風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的最終狀態(tài)，而不能給出其響應(yīng)的具體過程，這點為其局限所在。為此，本研究建立了一個考慮海面風(fēng)應(yīng)力強(qiáng)迫的線性化正壓原始方程海洋模型，在對該模型做了理論分析后，進(jìn)一步對該模型做了解析求解和討論，以便探討正壓海洋對大尺度風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的具體過程。

1 數(shù)學(xué)模型

海洋對風(fēng)應(yīng)力的線性化正壓響應(yīng)方程組［1］為：

式中，u為x方向流速，v為y方向流速；Xs，Xb分別表示海面風(fēng)應(yīng)力和海底摩擦應(yīng)力的x方向分量，Ys，Yb則為y方向分量；η為受擾后流體厚度與未受擾流體厚度的偏差，H為未受擾流體厚度，ρ為流體密度，兩者均取為常數(shù)。令

式中，UE，VE是海面與海底邊界層的Ekman體積輸送，其滿足方程

而up，vp則滿足以下方程

在此φ＝gη，其為位勢偏差。在式（4）中，強(qiáng)迫項已被消去。將式（2）代入式（1）的連續(xù)方程中，再乘以g，則可得

這里co2＝gH，wE＝?UE／?x＋?VE／?y，其為由風(fēng)應(yīng)力造成的Ekman抽吸的垂直運(yùn)動。當(dāng)海洋表面出現(xiàn)體積輻散時，其下部的水要向上涌升，故有wE＞0，反之亦然。

由此可見，風(fēng)應(yīng)力造成的海洋運(yùn)動能夠分解成兩部分。一部分是風(fēng)應(yīng)力作為直接強(qiáng)迫項驅(qū)動的強(qiáng)迫慣性振蕩，其控制方程組由式（3）式?jīng)Q定，注意在該部分壓力梯度不起作用。另一部分是風(fēng)應(yīng)力引起的Ekman抽吸，此時存在Ekman抽吸引起的垂直運(yùn)動，并通過該垂直運(yùn)動進(jìn)一步影響海洋運(yùn)動；其控制方程為式（4）和式（5），該部分有壓力梯度。

對于第一部分即海洋的強(qiáng)迫慣性振蕩部分，文獻(xiàn)［1］已給出了直角坐標(biāo)系下的解，還討論了在極坐標(biāo)下熱帶氣旋造成的海洋強(qiáng)迫振蕩問題［9］，故本研究就不再討論該問題了。下面重點對第二部分進(jìn)行討論。在討論之前，先來估計wE與風(fēng)應(yīng)力（Xs，Ys）之間的關(guān)系。

若不考慮海底摩擦應(yīng)力，由式（3）可得，

將以上UE、VE代入wE＝?UE／?x＋?VE／?y式中，則有，

若假定海洋運(yùn)動呈準(zhǔn)定?；蛳鄬T性時間尺度f－1變化很緩慢，即其屬海洋大尺度運(yùn)動，此時在熱帶外海洋其運(yùn)動的時間尺度大于1d，空間尺度大于100km（氣候問題中海洋運(yùn)動顯然屬該大尺度范疇）；本文章中的“海洋”均為以上所指的大尺度海洋，在此不討論海洋中小尺度的問題，以下不再贅述。這樣式（7）最后1個等號右邊的第二項相對于第一項是小項，其可略，故此時有：

即Ekman抽吸正比于風(fēng)應(yīng)力的旋度，且此時有海洋Ekman體積輸送的散度場和風(fēng)應(yīng)力旋度場之間的準(zhǔn)平衡，并能得到Ekman抽吸的估計式（8），用該式則可從風(fēng)應(yīng)力的分布診斷得到Ekman抽吸的垂直運(yùn)動。

2 方程的求解

現(xiàn)設(shè)海洋運(yùn)動屬海洋大尺度，此時方程（5）可寫為：

式中，aφ＝?YS／?x－?XS／?y為風(fēng)應(yīng)力的旋度。方程組（4）和（9）構(gòu)成了上述海洋運(yùn)動第二部分的控制方程組。下面對該方程組進(jìn)行求解。

首先用式（4）可分別求得渦度方程和散度方程：

然后消去渦度，可得，

這里算子Δ＝?2／?x2＋?2／?y2，為二維Laplace算子。最后將式（9）與式（11）聯(lián)立以消去散度，則可得一個與單一變量φ的傾向即?φ／?t有關(guān)的方程：

在此算子

其為正壓流體的波動算子，而BΩ，Bφ，Bu，Bv則定義如下：

由上式可見，BΩ，Bφ，Bu，Bv則均與風(fēng)應(yīng)力的旋度有關(guān)。

對于全平面的情況，非齊次方程的解可由相應(yīng)齊次方程的解加上非齊次項導(dǎo)致的“推遲位勢”來表示。對式（13）～（15）來說，齊次方程組Λ（F）＝0是典型的波動方程（F 為?up／?t，?vp／?t，?φ／?t），存在有滿足初值F（x，y，0）＝F（0）（x，y）和?F（x，y，0）／?t＝F（1）（x，y）的唯一解；這樣對非齊次方程組Λ（F）＝－A（x，y，t）而言（這里－A為非齊次項，即式（13）～（15）中等號右端的部分，其均與風(fēng)應(yīng)力的旋度有關(guān)），則借鑒文獻(xiàn)［10］中的數(shù)學(xué)處理，可得到其解為：

其中

在此有

而在式（18）～（20）中r的表達(dá)式則為

注意，式（18）中的F 實為傾向，即?φ／?t、?up／?t和?vp／?t。將式（18）對時間t積分，此時要用到分部積分和積分號下求微商等運(yùn)算，最終可得［10］：

其中，

這樣就求出了非齊次方程組式（13）～（15）的解，該解也是控制方程組式（4）和（9）的解。以下將對該解做出分析討論。

3 討 論

以下仍然借鑒文獻(xiàn)［10］中的思路來進(jìn)行分析討論。當(dāng)存在風(fēng)應(yīng)力的外強(qiáng)迫，即Aφ≡0時，則由解式（22）～（24）可見，其可分為兩部分（該兩部分在式（22）～（24）中分別用大括號括起）。第一部分（下標(biāo)為I的部分）為初始場的影響，其中包括初始風(fēng)應(yīng)力場的影響，但初始風(fēng)應(yīng)力場只直接影響φ（x，y，t），而不直接影響up（x，y，t），vp（x，y，t）（因這兩者無A（0）φ項）。第二部分則為外強(qiáng)迫，即風(fēng)應(yīng)力強(qiáng)迫對解的影響，并給出了大尺度海洋向風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的具體形式。

以上已指出，第一部分為受初始擾動影響的φi，upI，vpI，注意到，若初始擾動只局限在局部地區(qū)，或有（?φ／?t）（0），（?up／?t）（0），（?vp／?t）（0）以及等均 ∈L2，即在全平面能量有限，則在較長時間后，因重力慣性波的彌散，φI，upI，vpI將趨于平衡。這種平衡是海洋中壓力梯度與科氏力之間的地轉(zhuǎn)平衡。若（?φ／?t）（0）等不局限在有限地區(qū)，但設(shè)初始時刻擾動是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)的（這表明初始風(fēng)應(yīng)力引起的海洋非地轉(zhuǎn)運(yùn)動不明顯），則在任何時刻φI，upI，vpI始終是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)的。

以下分析第二部分。這部分決定外強(qiáng)迫即風(fēng)應(yīng)力對海洋適應(yīng)過程的影響（如果有適應(yīng)過程的話，由下文可見，對大尺度風(fēng)應(yīng)力的確有適應(yīng)過程）。從式（22）～（24）可見，BΩ，Bφ，Bu，Bv描述了風(fēng)應(yīng)力激發(fā)出的海洋擾動，其與 Green函數(shù)0（r，t－t′）和?0（r，t－t′）／?t′密切有關(guān)。這兩種 Green函數(shù)的圖形如圖1、圖2所示。圖1給出了Green函數(shù)隨時間的變化，其橫坐標(biāo)是無量綱時間τ＝f·t，其中f為地轉(zhuǎn)參數(shù)，t為時間，縱坐標(biāo)則是與Green函數(shù)0和?0／?t′有關(guān)的各種函數(shù)值κ（其中也包含這兩種Green函數(shù)的值），值κ也均為無量綱量，而各種函數(shù)的具體形式則見圖1右方數(shù)字1～5后的表達(dá)式。圖2給出了Green函數(shù)0（r，t－t′）／?t′和?0（r，t－t′）的空間分布，其橫坐標(biāo)為無量綱距離ξ＝fr／c0→0）。由圖1可見，當(dāng)t→∞即τ＝f·t→∞時則有~K0（r，t）→（fr／c0）（由該圖可見曲線2逼近直線3，在此K0是虛變量零階Bessel函數(shù)），即麥克唐納函數(shù)）0（r，t）圍繞著平衡位置K0（fr／c0）上下擺動（參見該圖上的曲線2）；但當(dāng)r很小時，即r＜＜c0／f，也即r遠(yuǎn)小于海洋運(yùn)動的Rossby變形半徑c0／f時，則0（r，t）恒為正；當(dāng)r較大時（fr／c0＞1），因K0（fr／c0）很小，0（r，t）才有可能為負(fù)，不過振幅很小。這說明在任一點上，其周圍不遠(yuǎn)地區(qū)的BΩ的貢獻(xiàn)是隨時間和隨地區(qū)積累的。若再設(shè)強(qiáng)迫海洋的風(fēng)是準(zhǔn)定常的或相對慣性時間尺度f－1變化得很緩慢（此時其屬大尺度大氣運(yùn)動，即其時間尺度大于1d，空間尺度T大于1d，空間k度大于2 000km，注意大尺度大氣的空間尺度典型值要遠(yuǎn)大于大尺度海洋），此時式（22）～（24）中第二個大括號中由BΩ所決定的這部分（該大括號中的第一項）就沿著比較確定的方向緩慢地演變著，呈現(xiàn)準(zhǔn)平衡的狀態(tài)，即是海洋中壓力梯度與科氏力之間的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡以及海洋Ekman體積輸送的散度場和風(fēng)應(yīng)力旋度場之間的準(zhǔn)平衡。再注意到，?0（r，t－t′）／?t′圍繞著0上下擺動（參見圖1上曲線4），周期約略等于慣性振動周期2π／f。這說明，各點周圍地區(qū)Bφ，Bu，Bu的貢獻(xiàn)在時間上和空間上是相互抵消的，由此可知，式（22）～（24）中第二個大括號中的這部分（該大括號中的第二項）大體是沿時間振動著的，而且周期短，其具有重力慣性波的特點?？傊庠磸?qiáng)迫即大尺度風(fēng)應(yīng)力的作用是使流場和壓力場沿著某一方向進(jìn)行著上述準(zhǔn)平衡的演變，但同時又激發(fā)出環(huán)繞著該基本方向的短周期重力慣性波。

圖1 Green函數(shù)隨時間的變化Fig.1 Variations of the Green function with time

圖2 Green函數(shù)的分布Fig.2 Distribution of the Green function

其中，

注意到影響最大的是r＝0附近的擾源，于是根據(jù)式（29）可知，若滿足以下的條件：的量級不小于的量級，?／?y的量級不小于f的量級，?／?x的量級不小于f的量級，則在t＞＞f－1之后，從整體來說，在式（27）的兩項中以第一項占優(yōu)，這種情況下外強(qiáng)迫即風(fēng)應(yīng)力所導(dǎo)致海洋響應(yīng)的總效果是比較緩慢的演變。此時海洋運(yùn)動以準(zhǔn)平衡狀態(tài)占優(yōu)。流場的重力慣性波部分（式（27）中的第二項）相對于流場的準(zhǔn)平衡部分（式（27）中的第一項）而言，其處于次要的地位。考慮到該風(fēng)應(yīng)力激發(fā)出的重力慣性波還會向全平面彌散，而使其振幅衰減，且準(zhǔn)平衡的運(yùn)動長期保留，并隨時間緩慢演變，這樣海洋在該風(fēng)應(yīng)力強(qiáng)迫下的這部分運(yùn)動就可分為“快過程”即重力慣性波和“慢過程”即準(zhǔn)平衡的演變過程兩部分。該風(fēng)應(yīng)力不斷激發(fā)出重力慣性波，同時使海洋沿著比較確定的方向比較緩慢地準(zhǔn)平衡演變，且激發(fā)出的重力慣性波會彌散掉，而準(zhǔn)平衡的演變則持續(xù)著。這就是海洋向該風(fēng)應(yīng)力的適應(yīng)以及其演變的情況。

以上假設(shè)了風(fēng)是準(zhǔn)定常的或相對慣性時間尺度f－1變化很緩慢的（其屬大氣大尺度運(yùn)動），而這種情況就是大尺度風(fēng)場強(qiáng)迫海洋的情況。在考慮到式（17）并注意到有后，則此時有

式中，τ為大尺度大氣運(yùn)動的時間尺度，即平流時間尺度（τ大于1d），并有τ＞f－1，在此f－1是慣性振動的時間尺度。此時有，

注意到τ＞f－1則有

同樣，

這里L(fēng)為大氣大尺度運(yùn)動的空間尺度（L＞2 000km）。此時，

故有，

同理有，

4 結(jié) 語

本研究建立了一個考慮海面風(fēng)應(yīng)力強(qiáng)迫的正壓原始方程海洋模型，以探討海洋向風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的具體過程。將海洋運(yùn)動對風(fēng)場的響應(yīng)分解成相對獨(dú)立的兩部分：第一部分是風(fēng)應(yīng)力作為直接強(qiáng)迫項驅(qū)動的強(qiáng)迫慣性振蕩，在該部分壓力梯度不起作用；第二部分是風(fēng)應(yīng)力引起的Ekman抽吸，此時則有該抽吸引起的垂直運(yùn)動，并通過其進(jìn)一步影響海洋運(yùn)動，該部分有壓力梯度。因第一部分已有研究，故本文章只討論第二部分，并僅對大尺度風(fēng)場強(qiáng)迫海洋運(yùn)動的情況做了解析研究。首先對風(fēng)應(yīng)力引起的Ekman抽吸做了估計，得到在大尺度海洋Ekman抽吸正比于風(fēng)應(yīng)力旋度的結(jié)論。然后通過對該抽吸引起的該海洋模型控制方程組的求解，給出了海洋向大尺度風(fēng)場風(fēng)應(yīng)力響應(yīng)的具體形式：其是使流場和壓力場沿著某一方向進(jìn)行準(zhǔn)平衡的演變，并有海洋中壓力梯度與科氏力之間的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡和海洋Ekman體積輸送的散度場與風(fēng)應(yīng)力旋度場之間的準(zhǔn)平衡。與此同時，有短周期的重力慣性波被激發(fā)出來。該重力慣性波會較快彌散掉，而準(zhǔn)平衡的演變則始終持續(xù)著。故海洋在大尺度風(fēng)場的強(qiáng)迫下其運(yùn)動由以下三部分組成：第一部分是強(qiáng)迫慣性振蕩，其時間尺度是f－1，這是1個快過程；第二部分是比較緩慢演變著的準(zhǔn)平衡過程；第三部分是重力慣性波，這也是快過程，其時間尺度比慣性振蕩還要短。第二部分與第三部分相比，前者占優(yōu)且后者還要向全平面彌散，故最終海洋運(yùn)動表現(xiàn)為強(qiáng)迫慣性振蕩和準(zhǔn)平衡演變過程。

最后要指出的是，本研究只討論了海洋運(yùn)動對大尺度風(fēng)場的響應(yīng)，對于海洋運(yùn)動對中小尺度風(fēng)場的響應(yīng)，則在文獻(xiàn)［9］中做了介紹。

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（杜素蘭 編輯）

Analytic Research on the Response of Ocean Movement to Large－scale Wind Field

ZHAO Yan－ling1，3，DENG Bing2，3，ZHANG Ming3，LIU Tian－jun2
（1.Unit 61741，P.L.A，Beijing 100094；2.Beijing Institute of Applied Meteorology，Beijing 100029；3.Laboratory of Atmospheric Circulation and Short－range Climate Forecast，Meteorological College，P.L.A.University of Science and Technology，Nanjing 211101）

A barotropic primitive ocean model forced by the sea surface wind stress is established for discussing the response processes of the ocean to the large－scale wind stress，and the Green function is used to solve the analytic solutions of the ocean equations.It has been found that the strength of the Ekman pumping induced by wind stress is positively proportional to the curl of wind stress，and that the response form of the ocean to the wind stress can be described as a quasi－equilibrium evolution between the flow field and the pressure field in the ocean，which includes the quasi－geostrophic equilibrium between the pressure gradient in the ocean and the Coriolis force and the quasi－equilibrium between the divergence of Ekman transportation and the wind stress curl.Meanwhile，inertia gravity waves with short period will be excited out，but disperse very soon.However，the quasi－equilibrium evolution is always sustained.The ocean movement forced by large－scale wind field consists of the following three parts：the inertia gravity waves，the forced inertial oscillation and the quasi－equilibrium evolution.The first two parts are quick processes，with the first one being quicker than the second，and the third one is a slow process.The final performance of the ocean movement is the superimpostion of the forced inertial oscillation and the quasi－equilibrium evolution.

large－scale wind field；ocean model；response；Ekman pumping

October 11，2011

P732

A

1671－6647（2012）03－0328－10

2011－10－11

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項目——北太平洋副熱帶環(huán)流變異對大氣強(qiáng)迫的反饋作用（2007CB411805）

趙艷玲（1980－），女 ，河北唐山人，工程師，博士，主要從事物理海洋方面研究.E－mail：bbygg99@yahoo.com.cn