王艷松， 吳建宏， 吳麗英

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海201804;2.岢嵐縣東校，忻州036300)

0 引言

離軸非球面反射鏡不斷大型化的發(fā)展趨勢(shì)對(duì)其制造技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)，嚴(yán)格地來(lái)講，非球面的加工與檢測(cè)技術(shù)是一個(gè)整體，在某種程度上，獲得高質(zhì)量的非球面的關(guān)鍵技術(shù)在于能否提供可靠的行之有效的檢測(cè)結(jié)果指導(dǎo)加工［1］.

然而，非球面元件從研磨階段到拋光階段，其面形精度的跨度為20～40um［2］，材料去除量比較大，同時(shí)，由于受到制造過(guò)程中諸多工藝參數(shù)的影響，非球面鏡的頂點(diǎn)曲率會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，超出了精度規(guī)定范圍.因此能否保證非球面各個(gè)擬合參數(shù)的精度是非球面制造工藝過(guò)程中的一個(gè)重要問(wèn)題.

光學(xué)系統(tǒng)中引入的非球面，多采用回轉(zhuǎn)曲面［3］，決定非球面輪廓的常用曲線有單調(diào)型，非單調(diào)型，極坐標(biāo)型，超二次型和法線象差型［4］.最常用的非球面有二次非球面和高次非球面［5］.

由于簡(jiǎn)單的二次非球面參數(shù)少，故可以利用線性或者非線性的擬合方法達(dá)到較好的擬合精度，但是高次非球面的擬合屬于高階非線性，多變量大范圍的擬合，使用一般的迭代算法，很難找到較好的擬合結(jié)果，而且由于其高度依賴初值，使得問(wèn)題復(fù)雜化;使用智能算法，則由于多變量，大范圍使得求解的時(shí)間變長(zhǎng)，求解的精度下降，甚至不能夠求解.本文就是針對(duì)這一難題進(jìn)行探討.

1 高次非球面模型及含義

超二次型的方程一般為［6］:

式中，c為頂點(diǎn)曲率，c=1/r0.H(x2)為高次項(xiàng)部分，常記為:

2 線性擬合拋物線型高次非球面

令 x1=x2，x2=z2，則(3)式變?yōu)?

該殘差需要通過(guò)高次項(xiàng)部分進(jìn)行補(bǔ)償，而高次項(xiàng)部分，則很容易轉(zhuǎn)化為線性化模型為:

圖1 拋物線型的擬合效果圖

圖2 拋物線型的擬合殘差圖

圖3 M型的擬合效果圖

由擬合結(jié)果便可求出高次項(xiàng)的系數(shù).采用拋物線型的超二次型(7參數(shù))實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用上述方法進(jìn)行擬合.圖1為拋物線型擬合的效果圖，由圖可知，利用線性化可以很好的擬合高次拋物線型高次非球面方程;圖2為拋物線型擬合殘差圖，可以得到擬合精度高達(dá)1um數(shù)量級(jí).

圖4 M型的擬合殘差圖

圖5 W型的擬合效果圖

圖6 W型的擬合殘差圖

3 線性擬合W和M型高次非球面

對(duì)于W型和M型的高次非球面，由于其本質(zhì)上是自變量的四階函數(shù)，所以其主要部分是z=，高次項(xiàng)起著補(bǔ)償作用，主要部分變形為:

c=2c1和.主要部分的擬合殘差為:

該殘差需要通過(guò)高次項(xiàng)部分進(jìn)行補(bǔ)償，擬合方法與前述方法類似.分別采用W和M型的超二次型(7參數(shù))實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用上述方法進(jìn)行擬合如圖3所示.

為M型擬合的效果圖，圖5為W型擬合效果圖，由圖可知，利用線性化可以較好的擬合高次拋物線型高次非球面方程;圖4為M型擬合殘差圖，圖6為W型擬合殘差圖，可以得到擬合精度高達(dá)10um數(shù)量級(jí).

4 結(jié)論

本文將高次非球面的擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元線性擬合問(wèn)題，經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，該方法取得了滿意的擬合效果和精度.該方法操作簡(jiǎn)單，可靠性高，不需要初值，在解決高階多變量大范圍問(wèn)題方面有難以取代的優(yōu)勢(shì).然而從擬合結(jié)果可以看出，該方法在局部區(qū)域擬合效果不佳，這還有待于進(jìn)一步研究，線性化的策略還需要進(jìn)行改進(jìn)，擬合精度還需要進(jìn)一步提高.

［1］程灝波，等.離軸非球面輪廓測(cè)量導(dǎo)軌精度補(bǔ)償模型［J］.光學(xué)技術(shù)，2003，29(2):533 －535.

［2］程灝波，王英偉，馮之敬，等.光學(xué)非球面二次曲面常數(shù)及頂點(diǎn)曲率的研究［J］.光學(xué)技術(shù)，2004，30(3):311 －317.

［3］Zverev，V.A，Rytova，E.S，Timoshchuk，I.N.How the Decentering of Surfaces of Revolution Affects The Position of the Image Plane［J］.Journal of Optical Technology，2010，6.P.

［4］袁呂軍，陳韜.高次非球面的工藝技術(shù)研究［J］.應(yīng)用光學(xué)，2011，32(2):335 －342.

［5］陳旭，劉偉奇，康玉思，等.Offner補(bǔ)償器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與裝調(diào)［J］.光學(xué)精密工程，2010，18(1):88 －93.

［6］Smith W J.Modern Optical Engineering［M］.USA:Printed and Bound by R R Donnelley＆ Sons Company，2000.